第十讲 反比例函数的图像和性质[学生用】

第十讲反比例函数的图像和性质（二）
一、【探索新知】
重点一、反比例函数的性质：
性质1、反比例函数
k
y
=（
k≠
）（1）当0
k>时，图象在一、三象限；在每个象限内，
y随x增大而减小；（2）、当0
k<
性质2、反比例函数
k
y
x
=（0
k≠）的图象是中心对称图形，也是轴对称图形；
因此，当点P（a，b）在图象上时，Q（－a，－b）和R（b，a）也在图象上。

性质3、从反比例函数
k
y
x
=（0
k≠）的图象上任意一点P，向坐标轴作垂线构成的矩形，
矩形面积S=k；向一条坐标轴作垂线构成的三角形，
三角形的面积S=1
2
k。

重点二：反比例函数与面积有关的问题
二、【精讲精炼】
考点一：用面积求反比例函数关系式
例１（2011年浙江省杭州市城南初级中学中考数学模拟试题）
如图３，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形
的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数的图象上．若
点A的坐标为（－2，－2），则k的值为________
[实战演练1]：
（1）（2011甘肃兰州）如图4，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数的图象上．若点A的坐标为（－2，－2），则k的值为________
（2）．(2012湖北荆门)如图，点A是反比例函数y=
2(x＞0)的图象
上任意一点，AB ∥x 轴交反比例函数y =－3x
的图象于点B ，以AB
为边作□ABCD ，其中C 、D 在x 轴上，则S □ABCD 为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
（3）. 如图，E 、F 在双曲线k
y x
=
上，FE 交y 轴于A 点，AE =EF ， FM ⊥x 轴于M ，若S △AME =2，则k =
（4）(2012江苏扬州)如图，双曲线y ＝ k
x 经过Rt △OMN 斜边上
的点A ，与直角边MN 相交于点B ，已知OA ＝2AN ，△OAB 的面积为5，则k 的值是 ．
1的图象与反比例函数y=
x
k 2
的图象交于点A (1，4)、B (3，m ) (1)求一次函数的解析式； (2)求△AOB 的面积．
例4、（2005梅州）如图，已知C 、D 是双曲线m
y x
=
在第一象限分支上的两点，直线CD 分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点。

设C （x 1，y 1）、D （x 2，y 2），连结OC 、OD （O 是坐标有
点），若∠BOC=∠AOD=α，且x 1:y 1= y 2: x 2=13
，
（1）求C 、D 的坐标和m 的值；
（2）双曲线上是否存在一点P ，使得ΔPOC 和ΔPOD 的 面积相等？若存在，给出证明，若不存在，说明理由。

[实战演练2]：
1、 如图所示，点A 、B 在反比例函数x
k
y =
的图像上，且A 、B 的横坐 标分别为a 、a 2)0(>a ，AC ⊥x 轴，垂足为C ，且△AOC 的面积为2. （1）、求该反比例函数的关系式.
（2）、若点) ,(1y a -、) ,2(2y a -在该反比例函数图像上， 试比较1y 与2y 的大小； （3）、求△AOB 的面积
三、【全能训练】
A 组 基础提升
1．如图，点M ，N 在反比例函数6
y x
=
（0>x ）的图象上，点A ，C 在y 轴上，点B ，D 在x 轴上，且四边形OBMA 是正方形，四边形ODNC
法中不正确的是（ ）．
A ．点M 的坐标为（6，6）．
B ．矩形ODN
C 的面积为C ．正方形OBMA 的面积等于矩形ODNC 的面积．
D ．矩形CEMA 的面积等于矩形BDN
E 的面积．
2. 如图，已知反比例函数)0(>=
k x
k
y 的图像经过Rt △OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C 。

若△OBC 则k = 。

3．（2011广西玉林、防港）如图，是反比例函数1
k y x
=
和 2
k y x
=
（12k k <）在第一象限的图象，直线AB//x 轴，并分交 两条曲线于A 、B 两点，若S △AOB =2，则21k k -的值是_______
4.（2011陕西） 如图，过y 轴正半轴上的任意一点P 作x 轴的平行线， 分别与反比例函数x
y x y 2
4=-
=和的图象交于点A 和点B ，若点C 是x 轴上任意一点，连接AC 、BC ，则△ABC 的面积为________.
5、如图，在x 轴的正半轴上依次截取OA 1=A 1A 2=A 2A 3=A 3A 4=A 4A 5， 过点A 1、A 2、A 3、A 4、A 5分别作x 轴的垂线与反比例函数)0(2
≠=
x x
y 的图象相交于点P 1、P 2、P 3、P 4、P 5，得直角三角形OP 1A 1、A 1P 2A 2、 A 2P 3A 3、A 3P 4A 4、A 4P 5A 5，并设其面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4、S 5， 则S 5的值为 . 则S n 的值为
6．如图，已知一次函数b kx y +=的图象与反比例函数x
y 8-= 的图象交于A 、B 两点，且点A 的横坐标和点B 的纵坐标都是2-，
求：（1）一次函数的解析式； （2）△AOB 的面积．
B 组 培优训练
1．如图，在反比例函数2
y x
=
（0x >）的图象上， 有点1234P P P P ，，，，它们横坐标依次为1，2，3，4． 分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所构 成的阴影部分的面积从左到右依次为123S S S ，，， 则123S S S ++= ．
2．两个反比例函数k y x =
和1y x =在第一象限内的图象如图所示，点P 在k
y x
=的图象上，
PC ⊥x 轴于点C ，交1y x =的图象于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交1
y x
=的图象于点B ，当点P
在k
y x
=
的图象上运动时，以下结论： ①△ODB 与△OCA 的面积相等；②四边形P AOB 的面积不会发生变化； ③P A 与PB 始终相等；④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点． 其中一定正确的是 （把你认为正确结论的序号都填上）．
3．如图，正比例函数12y x =
的图象与反比例函数k
y x
=(0)k ≠在第一象限的图象交于A 点，
过A 点作x 轴的垂线，垂足为M ，若OAM ∆的面积为1.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如果B 为反比例函数在第一象限图象上的点（点B 与 点A 不重合），且B 点的横坐标为1，在x 轴上有一点P 使PA PB +最小，求点P 的坐标.
4. 如图，点P 是直线221+=x y 与双曲线x
k
y =在第一象限内 的一个交点，直线22
1
+=
x y 与x 轴、y 轴的交点分别为A 、C ， 过P 作PB 垂直于x 轴，若AB ＋PB ＝9． (1)求k 的值；(2)求△PBC 的面积．
C 挑战中考
（2013•泰州） 如图，在平面直角坐标系中直线y=x-2与y 轴相交于 点A ，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点B （m ，2）． （1）求反比例函数的关系式；
（2）将直线y=x-2向上平移后与反比例函数图象在第一象限内交 于点C ，且△ABC 的面积为18，求平移后的直线的函数关系式．
家庭作业
第一部分：选择题
1.（2012山东临沂）如图，若点M 是x 轴正半轴上的任意一点， 过点M 作PQ ∥y 轴，分别交函数1(0)k y x x =
>和2(0)k
y x x
=> 的图像于点P 和Q ，连接OP 、OQ ，则下列结论正确的是（ ） (A) ∠POQ 不可能等于90°. (B)
1
2
k PM QM k =. (C) 这两个函数的图像一定关于x 轴对称. (D) △POQ 的面积是)(2
1
21k k +
第二部分：填空题
2. 如图，点A 、B 是双曲线3
y x
=上的点，分别经过
A 、
B 两点向x 轴、y 轴作垂线段，若1S =阴影，
则12S S += ．
第三部分：解答题
4、如图，已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数x
y 8-
=的 图象交于A 、B 两点，且点A 的横坐标和点B 的纵坐标都是-2． (1)求一次函数的解析式；(2)求△AOB 的面积．。