20101223 Probability and Statistics_8

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������, 则称
是接受的决策. 此时, 数 ������ 是检验上述假设的一个门槛值, 如果 |������|
������ 与 ������0 的差异是显著的, 这时拒绝假设 ������0 ; 如果 |������| < ������, 则称 ������ 与 ������0 的差
异是不显著的, 这时接受假设 ������0 .
{︁
|������−������0 | √ ������/ ������
}︁ ������������/2 .
由实际推断原则, 小概率事件在一次实验中发生的可能性很小, 当该小概率 事件发生时, 我们有理由怀疑所作假设 ������0 的真实性, 因而拒绝接受假设 ������0 .
李世唐 (福建师范大学)
李世唐 (福建师范大学)
概率论与数理统计 —— 第八章
2010 年 12 月 22 日
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概述
在总体的分布函数完全未知或只知道其形式, 但不知道其参数 的情况, 为了推断总体的某些未知特性, 提出某些关于总体的假设. 根据样本对所提出的假设作出是接受还是拒绝的决策. 假设检验 是作出这一决策的过程.
������ {当 ������0 为真时拒绝 ������0 } 或 ������������0 {拒绝 ������0 } 或 ������������∈������0 {拒绝 ������0 }
通常必须将犯这种随机错误的概率控制在一定限度之内, 为此, 给出一个较 小的数 ������ (0 < ������ < 1), 使犯这种错误的概率不超过 ������, 即
|������−������0 | √ ������/ ������
}︁ ������ = ������.
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概率论与数理统计 —— 第八章
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从而常数 ������ 的选择应当满足:
������ {当 ������0 为真拒绝 ������0 } = ������������0 {︁
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概率论与数理统计 —— 第八章
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借助于反证法的思想, 提出两个相互对立的假设:
������0 : ������ = ������0 = 0.5 与 ������1 : ������ ̸= ������0
其次, 给出一个合理的法则, 根据这一法则, 利用已知样本作出决策是接受 假设 ������0 (即拒绝假设 ������1 ), 还是拒绝假设 ������0 (即接收假设 ������1 ). 由于样本均值 ������ 是总体均值 ������ 的无偏估计, 因而 ������ 的观察值 ������ 在一 定程度上反映了 ������ 的大小. 如果假设 ������0 为真, 那么偏差 |������ − ������0 | 一般不应 太大, 从而如果 |������ − ������0 | 过大就怀疑假设 ������0 的正确性而拒绝 ������0 . 又当假设 ������0 为真时, 量
由于 ������ =
|������−������0 | √ ������/ ������
∼ ������ (0, 1), 从而 ������ = ������������/2 .
因此, 当 ������ 的观察值满足
|������| =
|������−������0 | √ ������/ ������
|������−������0 | √ ������/ ������
值 ������ 满足
������ 时就拒绝假设 ������0 , 否则就接受假设 ������0 .
概率论与数理统计 —— 第八章
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由于作出决策的依据是一个样本, 但实际上假设 ������0 为真时仍可能由于 偶然因素作出拒绝 ������0 的决策, 这是一种无法避免的随机错误, 犯这种错误 的概率记为:
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1
第一节 假设检验的基本思想和概念 第二节 正态总体均值的假设检验
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实例
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������ {当 ������0 为真拒绝 ������0 } ������.
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从而常数 ������ 的选择应当满足:
������ {当 ������0 为真拒绝 ������0 } = ����������������/ ������
}︁ ������ = ������.
由于 ������ =
|������−������0 | √ ������/ ������
∼ ������ (0, 1), 从而 ������ = ������������/2 .
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借助于反证法的思想, 提出两个相互对立的假设:
������0 : ������ = ������0 = 0.5 与 ������1 : ������ ̸= ������0
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������ = ������������/2
时, 拒绝假设 ������0 , 否则接受假设 ������0 .
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检验法则
由于 ������ 很小, 因此我们实际上是在假设 ������0 为真时构造了一个小概率事 件:
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借助于反证法的思想, 提出两个相互对立的假设:
������0 : ������ = ������0 = 0.5 与 ������1 : ������ ̸= ������0
其次, 给出一个合理的法则, 根据这一法则, 利用已知样本作出决策是接受 假设 ������0 (即拒绝假设 ������1 ), 还是拒绝假设 ������0 (即接收假设 ������1 ).
|������−������0 | √ ������/ ������ ������−������0 √ ������/ ������
∼ ������ (0, 1), 且衡量 |������ − ������0 | 的大小等价于衡
∼ ������ (0, 1) 大小, 为此可以考虑适当选择一个正数 ������, 当 ������ 的观察
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实例
Example 1.1
味精厂用一台包装机自动包装味精, 已知袋装味精的重量 ������ ∼ ������ (������, 0.0152 )
(单位为公斤), 机器正常时, 其均值 ������ = 0.5. 某日开工后随机抽取 9 袋袋装
味精, 其净重为 0.497, 0.506, 0.518, 0.524, 0.498, 0.511, 0.520, 0.515, 0.512. 问这 台包装机是否工作正常?
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从而常数 ������ 的选择应当满足:
������ {当 ������0 为真拒绝 ������0 } = ������������0 {︁
|������−������0 | √ ������/ ������
}︁ ������ = ������.
������ {当 ������0 为真时拒绝 ������0 } 或 ������������0 {拒绝 ������0 } 或 ������������∈������0 {拒绝 ������0 }
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由于作出决策的依据是一个样本, 但实际上假设 ������0 为真时仍可能由于 偶然因素作出拒绝 ������0 的决策, 这是一种无法避免的随机错误, 犯这种错误 的概率记为:
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实例
Example 1.1
味精厂用一台包装机自动包装味精, 已知袋装味精的重量 ������ ∼ ������ (������, 0.0152 )
(单位为公斤), 机器正常时, 其均值 ������ = 0.5. 某日开工后随机抽取 9 袋袋装
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检验法则
由于 ������ 很小, 因此我们实际上是在假设 ������0 为真时构造了一个小概率事 件:
{︁
|������−������0 | √ ������/ ������
}︁ ������������/2 .
由实际推断原则, 小概率事件在一次实验中发生的可能性很小, 当该小概率 事件发生时, 我们有理由怀疑所作假设 ������0 的真实性, 因而拒绝接受假设 ������0 . 因而上述检验法则实际上就是实际推断原理, 也就是小概率原理.
味精, 其净重为 0.497, 0.506, 0.518, 0.524, 0.498, 0.511, 0.520, 0.515, 0.512. 问这 台包装机是否工作正常? 分析: 实际重量与标准重量不完全一致, 造成这种差异的原因有两个: 一是偶然因素(比如: 电网电压的波动, 金属部件的不时伸缩, 衡量仪器的误 差)的影响, 二是条件因素(比如: 生产设备的缺陷, 机械部件过度损耗)的影 响. 由偶然因素导致的误差称为随机误差, 由条件因素引起的误差称为系统 误差. 如何判断观察到的该差异是偶然因素造成的还是条件因素造成的?
李世唐 (福建师范大学)
概率论与数理统计 —— 第八章
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借助于反证法的思想, 提出两个相互对立的假设:
������0 : ������ = ������0 = 0.5 与 ������1 : ������ ̸= ������0
其次, 给出一个合理的法则, 根据这一法则, 利用已知样本作出决策是接受 假设 ������0 (即拒绝假设 ������1 ), 还是拒绝假设 ������0 (即接收假设 ������1 ). 由于样本均值 ������ 是总体均值 ������ 的无偏估计, 因而 ������ 的观察值 ������ 在一 定程度上反映了 ������ 的大小. 如果假设 ������0 为真, 那么偏差 |������ − ������0 | 一般不应 太大, 从而如果 |������ − ������0 | 过大就怀疑假设 ������0 的正确性而拒绝 ������0 .
第八章
假设检验
李世唐
Email: tangshili@
福建师范大学 数学与计算机科学学院
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李世唐 (福建师范大学)
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目录
1
第一节 假设检验的基本思想和概念
2
第二节 正态总体均值的假设检验 单个正态总体 ������ (������, ������ 2 ) 均值 ������ 的检验 两个正态总体均值差的检验
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总结
当样本容量给定时, 选定 ������ 后, 数 ������ 的值可以确定, 此时利用统计量
������ =
|������−������0 | √ ������/ ������
的观察值 |������| 大于等于 ������ 还是小于 ������ 来对假设 ������0 作出拒绝还
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