沪科版九年级下册数学精品教学课件 第24章 圆 第2课时 圆内接四边形

1. 如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠B = 70°，
则∠D 的度数是 A. 110° B. 90° C. 70°
(A ) D. 50°
A
D O B
C
2. 若 ABCD 为圆内接四边形，则下列哪个选项可能成立 ( B)
A.∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 1∶2∶3∶4 B.∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 2∶1∶3∶4 C.∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 3∶2∶1∶4 D.∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 4∶3∶2∶1
第24章 圆
24.3 圆周角
第2课时 圆内接四边形
复习引入
1. 什么是圆周角？ 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.
A 2. 什么是圆周角定理？
圆上一条弧所对的圆周角等于 它所对的圆心角的一半.
O
C
B
观察与思考
圆内接四边形及其性质
观察图中的四边形，它有什么特点？
如果一个多边形的所有顶点都
∴∠C = 180°－∠CBD－∠BDC = 130°.
∴∠A = 180°－∠C = 50°.
A
O
B
D
C
6. 如图，AB 为⊙O 的直径，CF⊥AB 于 E，交⊙O 于 D，AF 交⊙O 于 G. 求证：∠FGD＝∠ADC. 证明：∵ 四边形 ACDG 内接于⊙O， ∴∠FGD＝∠ACD. 又∵ AB 为⊙O 的直径，CF⊥AB， ∴ AB 垂直平分 CD. ∴ AC＝AD. ∴∠ADC＝∠ACD. ∴∠FGD＝∠ADC.
∵∠E +∠F = α，∴ A 90 －1 .
2
(2) 若∠E +∠F = 60°，求∠A 的度数．
解：当 α = 60° 时，A 90 －1 60 .
2
圆内接 四边形
一个多边形所有顶点都在同一个圆上， 定义 这个多边形叫做圆的内接多边形，这
个圆叫做这个多边形的外接圆.
圆内接四边形的对角互补，且任何一 定理
练一练
如图，在⊙O 的内接四边形 ABCD 中，∠BOD＝
120°，那么∠BCD＝
( A)
A．120°
B．100°
C．80°
D．60°
解析：∵∠BOD＝120°，
∴∠A＝60°.
∴∠C＝180°－60°＝120°.
例3 如图，已知 A，B，C，D 是 ⊙O 上的四点，延长 DC，AB 相交于点 E. 若 BC＝BE. 求证：△ADE 是等 腰三角形． 证明：∵ BC＝BE，∴∠BCE＝∠E. ∵ 四边形 ABCD 是圆内接四边形， ∴∠A＋∠DCB＝180°. ∵∠BCE＋∠DCB＝180°， ∴∠A＝∠BCE. ∴∠A＝∠E. ∴ AD＝DE. ∴△ADE 是等腰三角形.
7. 如图，⊙O 的内接四边形 ABCD 两组对边的延长线分
别交于点 E，F．
(1) 若∠E +∠F = α，求∠A 的度数(用含 α 的式子表示)； 解：∵ 四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形， ∴∠A =∠BCF . ∴∠A +∠E =∠EBF = 180°－∠BCF－∠F，
= 180°－∠A－∠F， 即 2∠A =180°－(∠E +∠F).
个外角都等于它的内对角.
在同一个圆上，那么这个多边形叫
做
，这个圆叫做这
O C
问题1 如图，四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形，⊙O
为四边形 ABCD 的外接圆. ∠A 与∠C，∠B 与∠D 之间
有什么关系？
猜想：∠A +∠C = 180º，
B
∠B +∠D = 180º.
A
如何证明你的猜 想？
O
D
C
证明： 由于BAD 和 BCD 所对的圆心角之和是周角为 360°， 故∠A＋∠C＝180°.
3. 如图，等边三角形 ABC 内接于 ⊙O，P 是 AC 上的一点，则
C P
∠APC = 120 °.
O B
A
4. 若⊙O 的内接四边形 ABCD 中，∠A∶∠B∶∠C =
1∶2∶3 ，则∠D = 90 °.
5. 在⊙O 中，∠CBD =30°，∠BDC =20°，求∠A.
解：∵∠CBD = 30°，∠BDC = 20°，
__6_0__度．
解析：∵ 四边形 ABCD 是圆内接四边形， ∴∠B＋∠ADC＝180°. ∵ 四边形 OABC 为平行四边形，∴∠AOC＝∠B. 又由题 意可知∠AOC＝2∠ADC，∴∠ADC＝ 180°÷3＝60°. 连接 OD，则 AO＝OD＝ CO. ∴∠OAD＝∠ODA，∠OCD＝∠ODC. ∴∠OAD＋∠OCD＝∠ODA＋∠ODC＝∠ADC＝60°.
B 同理，得∠B＋∠D＝180°.
A
O
D
C
问题2 如图，延长 DC 到 E，∠A 与∠BCE 有什么关系？
解：∠A =∠BCE，理由如下：
∵∠A＋∠BCD = 180°，
B
∠BCE＋∠BCD = 180°，
∴∠A =∠BCE.
A
O
D
CE
归纳总结 圆内接四边形的性质：
B
A O
D
CE
练一练
如图，四边形 ABCD 是 ⊙O 的内接四边形，∠A =
110°，∠B = 80°，则∠BCD = 70 °，∠D = 100 °，
∠DCE = 110 °.
A
D
B
O
CE
典例精析
例1 在圆内接四边形 ABCD 中，∠A，∠B，∠C 的度数 之比是 2︰3︰6. 求这个四边形各角的度数. 解：设∠A，∠B，∠C 的度数分别等于 2x，3x，6x.
∵ 四边形 ABCD 内接于圆， ∴∠A +∠C =∠B +∠D = 180°，
∵ 2x + 6x = 180°， ∴ x = 22.5°. ∴∠A = 45°，∠B = 67.5°，∠C = 135°，
∠D = 180° - 67.5° = 112.5°.
例2 如图，点 A，B，C，D 在⊙O 上，点 O 在∠D 的内
部，四边形 OABC 为平行四边形，则∠OAD＋∠OCD =