人教版初中九年级数学课精品PPT教学课件-相似三角形的判定
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两个角对应相等，那么这两个三角形相似.两角 对应相等，两三角形相似.
A
A1
即：
B
CB1Βιβλιοθήκη 如果∠A=∠A1，∠B=∠B1. 那么△ABC∽△A1B1C1. C1
如果两个三角形有一个内角对应相 等，那么这两个三角形一定相似吗？
一角对应相等的两个三角形不一定相似.
常用的相等的角：
∠A=∠DCB；∠B=∠ACD
一定需要三个角吗？
即：如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形 的三个角对应相等，那么这两个三角形_相__似____.
你能证明吗？
角边角 角角边
ASA
AAS
角角 AA
已知：∠A=∠A1，∠B=∠B1 . 求证：△ABC∽△A1B1C1.
A1
A
B
C B1
C1
知识要点
角角 AA
√
判定三角形相似的定理之三 如果两个三角形的两个角与另一个三角形的
解：∵
AB AD
BC DE
AC ， AE
∴ΔABC∽ΔADE
∴∠BAC=∠DAE
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC A
即∠BAD=∠CAE.
E
D
C
B
探究2 边角边
SAS
A
已知：AB BC k, A1B1 B1C1
∠B=∠B1 . 求证：△ABC∽△A1B1C1.
A1
B
C B1
C1
你能证明吗？
A
证明：
12
D
E
∵DE∥BC ∴∠1=∠B，∠2=∠C且∠A=∠A，
B
C ∴△ADE与△ABC的对应角相等.
过E作EF∥AB交BC于F 又∵DE∥BC
A
∴四边形DBFE是平行四边形 ∴DE=BF，DB=EF， 又∵AD=DB
2
D
3E
∴AD=EF ∵∠A=∠3，∠2=∠C
B
F
C
∴△ADE≌△EFC
三角形的中位线
新课导入 这两个风筝图形相似，观察并思考：
大胆猜想，AB∥A1B1 那么，
若已知AB∥A1B1， 能否得出△ABC1∽△A1B1C1
A1 A
A
B1
B
C1
除了根据相似三角形的定义来判断是否相似， 还有其它的方法吗？
相似三角形的判定
已知：DE∥BC，且D是边AB的中点，DE交AC于E. 猜想：△ADE与△ABC有什么关系？并证明.
知识要点 判定三角形相似的定理之一：
边边边 √ SSS
如果两个三角形的三组对应边的比相等，
那么这两个三角形相似.
三边对应成比例，两三角形相似.
A
B
C
B1
A1 C1
即： 如果 AB BC AC
, A1B1 B1C1 A1C1
那么△ABC∽△A1B1C1.
小练习
已知：AADB
BC DE
AC AE
，求证：∠BAD=∠CAE.
A
D1
2 E
B
FC
相似. 你能证明吗？
知识要点
A型
平行于三角形一边的定理： 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，
所构成的三角形与原三角形相似.
你还能画出 其他图形吗？ D
B
A
即： 在△ABC中， E 如果DE∥BC， C 那么△ADE∽△ABC.
推论
平行于三角形一边的直线截其它两边，所得 的对应线段成比例.
即：
A
在△ABC中，
如果DE∥BC， 那么 AD AE DE , AB AC BC ,
AB AC BC AD AE DE
D
E
（上比全，全比上）
B
C
（下比全，全比下） DB EC ，AB AC ,
AB AC DB EC
AD AE , DB EC ,（上比下，下比上）
DB EC AD AE
∴△ADE∽△EFC
（两个角分别对应相等的两个三角形相似）
相似三角形对应高的比等于相似比 A1
A
B DC
B1
D1 C1
证明：∵△ABC∽△A1B1C1 ∴∠B=∠B1 又∵∠ADB=∠A1D1B1=900 ∴△ADB∽△A1D1B1（角角） ∴ AD AB k
HL
三角对
相似三 角形
应相等，三 边对应成比 例的两个三
角形相似.
判定三角形相似，是不是也有这么多种方法呢？
探究1 边边边
SSS
A
已知： AB BC AC .
A1B1 B1C1 A1C1
求证：△ABC∽△A1B1C1.
A1
B
C B1
C1
有效利用判定定理一去求证.
A D
A1 E
B
C B1
C1
证明：在线段 A1B1（或它的延长线）上截取A1D AB ， 过点D作 DE∥B1C1 ，交A1C1于点E根据前面的定理可 得 A1DE∽A1B1C1 .
A D
A1 E
B
C B1
C1
∴ A1D DE A1E
A1B1 B1C1 A1C1
又
AB BC A1B1 B1C1
AC A1C1
,
A1D
AB
∴ DE BC , A1E AC
B1C1 B1C1 A1C1 A1C1
∴ DE BC,
A1E AC
∴ A1DE≌ABC（SSS）
∵ A1DE∽A1B1C1 ∴ ABC∽A1B1C1
知识要点 判定三角形相似的定理之二：
边角边 √ SAS
如果两个三角形的两组对应边的比相等，并
且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.
两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似.
A
即：
A1
AB BC k,
如果 A1B1 B1C1
B
C
∠B=∠B1.
B1
C1
那么△ABC∽△A1B1C1.
探究3
大家一起画一个三角形，三个角 分别为60°、45°、75°，大家画出 的三角形相似吗？同桌的同学，通过 测量对应边的长度进行比较.
相似具有传递性
C E M
AND
B
如果再作MN∥DE，共有多少对相似三角形？
△ADE∽△ABC △AMN∽△ADE
△AMN∽△ABC 共有三对相似三角形.
回顾并思考
定义
判定方法
全等三 角形
三角、 三边对应相 等的两个三 角形全等
边边边 SSS
边角边 SAS
角边角 ASA
角角边 AAS
斜边与 直角边
∴DE=FC=BF，AE=EC
截得的三角形与
∴ ∴ AE 1 DE 1
AD AE DE 1
AC 2 BC 2 AB AC BC 2
∴△ADE与△ABC的对应边成比例，
∴△ADE∽△ABC
原三角形相似， 相似比 1 .
2
当点D在AB上任意一点时，上面的结论还成立吗？
已知：DE∥BC，△ADE与△ABC有什么关系？ 猜想：△ADE与△ABC有什么关系？
常用的成比例的线段：
AC BC AB CD AC2 AD AB A BC2 BD AB CD2 AD DB
C
D
B
例题 A
已知：DE∥BC，EF∥AB. 求证：△ADE∽△EFC.
D
E
解：
∵DE∥BC，EF∥AB（已知） ∴∠ADE=∠B=∠EFC
B
F
C
（两直线平行，同位角相等），
∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）
A
A1
即：
B
CB1Βιβλιοθήκη 如果∠A=∠A1，∠B=∠B1. 那么△ABC∽△A1B1C1. C1
如果两个三角形有一个内角对应相 等，那么这两个三角形一定相似吗？
一角对应相等的两个三角形不一定相似.
常用的相等的角：
∠A=∠DCB；∠B=∠ACD
一定需要三个角吗？
即：如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形 的三个角对应相等，那么这两个三角形_相__似____.
你能证明吗？
角边角 角角边
ASA
AAS
角角 AA
已知：∠A=∠A1，∠B=∠B1 . 求证：△ABC∽△A1B1C1.
A1
A
B
C B1
C1
知识要点
角角 AA
√
判定三角形相似的定理之三 如果两个三角形的两个角与另一个三角形的
解：∵
AB AD
BC DE
AC ， AE
∴ΔABC∽ΔADE
∴∠BAC=∠DAE
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC A
即∠BAD=∠CAE.
E
D
C
B
探究2 边角边
SAS
A
已知：AB BC k, A1B1 B1C1
∠B=∠B1 . 求证：△ABC∽△A1B1C1.
A1
B
C B1
C1
你能证明吗？
A
证明：
12
D
E
∵DE∥BC ∴∠1=∠B，∠2=∠C且∠A=∠A，
B
C ∴△ADE与△ABC的对应角相等.
过E作EF∥AB交BC于F 又∵DE∥BC
A
∴四边形DBFE是平行四边形 ∴DE=BF，DB=EF， 又∵AD=DB
2
D
3E
∴AD=EF ∵∠A=∠3，∠2=∠C
B
F
C
∴△ADE≌△EFC
三角形的中位线
新课导入 这两个风筝图形相似，观察并思考：
大胆猜想，AB∥A1B1 那么，
若已知AB∥A1B1， 能否得出△ABC1∽△A1B1C1
A1 A
A
B1
B
C1
除了根据相似三角形的定义来判断是否相似， 还有其它的方法吗？
相似三角形的判定
已知：DE∥BC，且D是边AB的中点，DE交AC于E. 猜想：△ADE与△ABC有什么关系？并证明.
知识要点 判定三角形相似的定理之一：
边边边 √ SSS
如果两个三角形的三组对应边的比相等，
那么这两个三角形相似.
三边对应成比例，两三角形相似.
A
B
C
B1
A1 C1
即： 如果 AB BC AC
, A1B1 B1C1 A1C1
那么△ABC∽△A1B1C1.
小练习
已知：AADB
BC DE
AC AE
，求证：∠BAD=∠CAE.
A
D1
2 E
B
FC
相似. 你能证明吗？
知识要点
A型
平行于三角形一边的定理： 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，
所构成的三角形与原三角形相似.
你还能画出 其他图形吗？ D
B
A
即： 在△ABC中， E 如果DE∥BC， C 那么△ADE∽△ABC.
推论
平行于三角形一边的直线截其它两边，所得 的对应线段成比例.
即：
A
在△ABC中，
如果DE∥BC， 那么 AD AE DE , AB AC BC ,
AB AC BC AD AE DE
D
E
（上比全，全比上）
B
C
（下比全，全比下） DB EC ，AB AC ,
AB AC DB EC
AD AE , DB EC ,（上比下，下比上）
DB EC AD AE
∴△ADE∽△EFC
（两个角分别对应相等的两个三角形相似）
相似三角形对应高的比等于相似比 A1
A
B DC
B1
D1 C1
证明：∵△ABC∽△A1B1C1 ∴∠B=∠B1 又∵∠ADB=∠A1D1B1=900 ∴△ADB∽△A1D1B1（角角） ∴ AD AB k
HL
三角对
相似三 角形
应相等，三 边对应成比 例的两个三
角形相似.
判定三角形相似，是不是也有这么多种方法呢？
探究1 边边边
SSS
A
已知： AB BC AC .
A1B1 B1C1 A1C1
求证：△ABC∽△A1B1C1.
A1
B
C B1
C1
有效利用判定定理一去求证.
A D
A1 E
B
C B1
C1
证明：在线段 A1B1（或它的延长线）上截取A1D AB ， 过点D作 DE∥B1C1 ，交A1C1于点E根据前面的定理可 得 A1DE∽A1B1C1 .
A D
A1 E
B
C B1
C1
∴ A1D DE A1E
A1B1 B1C1 A1C1
又
AB BC A1B1 B1C1
AC A1C1
,
A1D
AB
∴ DE BC , A1E AC
B1C1 B1C1 A1C1 A1C1
∴ DE BC,
A1E AC
∴ A1DE≌ABC（SSS）
∵ A1DE∽A1B1C1 ∴ ABC∽A1B1C1
知识要点 判定三角形相似的定理之二：
边角边 √ SAS
如果两个三角形的两组对应边的比相等，并
且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.
两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似.
A
即：
A1
AB BC k,
如果 A1B1 B1C1
B
C
∠B=∠B1.
B1
C1
那么△ABC∽△A1B1C1.
探究3
大家一起画一个三角形，三个角 分别为60°、45°、75°，大家画出 的三角形相似吗？同桌的同学，通过 测量对应边的长度进行比较.
相似具有传递性
C E M
AND
B
如果再作MN∥DE，共有多少对相似三角形？
△ADE∽△ABC △AMN∽△ADE
△AMN∽△ABC 共有三对相似三角形.
回顾并思考
定义
判定方法
全等三 角形
三角、 三边对应相 等的两个三 角形全等
边边边 SSS
边角边 SAS
角边角 ASA
角角边 AAS
斜边与 直角边
∴DE=FC=BF，AE=EC
截得的三角形与
∴ ∴ AE 1 DE 1
AD AE DE 1
AC 2 BC 2 AB AC BC 2
∴△ADE与△ABC的对应边成比例，
∴△ADE∽△ABC
原三角形相似， 相似比 1 .
2
当点D在AB上任意一点时，上面的结论还成立吗？
已知：DE∥BC，△ADE与△ABC有什么关系？ 猜想：△ADE与△ABC有什么关系？
常用的成比例的线段：
AC BC AB CD AC2 AD AB A BC2 BD AB CD2 AD DB
C
D
B
例题 A
已知：DE∥BC，EF∥AB. 求证：△ADE∽△EFC.
D
E
解：
∵DE∥BC，EF∥AB（已知） ∴∠ADE=∠B=∠EFC
B
F
C
（两直线平行，同位角相等），
∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）