七年级不等式与不等式同步训练(有答案)

七年级不等式与不等式同步训练（有答案）
一、单选题
1．某种商品的进价为80元，出售时标价为120元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打（）
A．六折B．七折C．八折D．九折
【答案】B
【解析】分析：设打x折，利用销售价减进价等于利润得到120•x
10
﹣80≥80×5%，然后解不等式求出x的范围，从而得到x的最小值即可．
详解：设打x折，根据题意得：
120•x
10
﹣80≥80×5%，
解得：x≥7．
所以最低可打七折．
故选B．
点睛：本题考查了一元一次不等式的应用：由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．注意打x折时，标价要乘0.1x为销售价．2．不等式3x﹣1≥x+3的解集是（）
A．x≤4B．x≥4C．x≤2D．x≥2
【答案】D
【解析】
【分析】按移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行求解即可得．
【详解】移项，得：3x﹣x≥3+1，
合并同类项，得：2x≥4，
系数化为1，得：x≥2，
故选D．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤以及注意事项是解题的关键.
3．若关于x的不等式组x<3a+2
x>a−4无解，则a的取值范围是（）
A．a≤﹣3B．a＜﹣3C．a＞3D．a≥3【答案】A
【解析】【分析】利用不等式组取解集的方法，根据不等式组无解求出a的取值范围即可．
【详解】∵不等式组x<3a+2
x>a−4无解，
∴a﹣4≥3a+2，
解得：a≤﹣3，
故选A．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解集，熟知一元一次不等式组的解集的确定方法“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无处找”是解题的关键.
4．若实数3是不等式2x–a–2<0的一个解，则a可取的最小正整数为（）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【解析】解：根据题意，x=3是不等式的一个解，∴将x=3代入不等式，得：6﹣a﹣2＜0，解得：a＞4，则a可取的最小正整数为5，故选D．
点睛：本题主要考查不等式的整数解，熟练掌握不等式解得定义及解不等式的能力是解题的关键．
5．关于x的不等式组
x−a≥0
3−2x＞−1的整数解共有5个，则a的取值范围（）
A．a=﹣3 B．﹣4＜a＜﹣3 C．﹣4≤a＜﹣3 D．﹣4＜a≤﹣3
【答案】D
【解析】分析：首先需要解不等式组,根据题意先确定的大体取值范围,再根据不等式组解集的性质确定等号的取舍即可.此题要注意等号的确定.
详解：解不等式①得x≥a，
解不等式②得x＜2，
因为不等式组有5个整数解，则这5个整数是1，0，-1，-2，-3，
所以a的取值范围是-4＜a≤-3，故选D.
点睛：正确解出不等式组的解集，确定a的范围，是解决本题的关键．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．6．不等式（2a-1）x＜2（2a-1）的解集是x＞2，则a的取值范围是（）
A．a＜0B．a＜1
2C．a＜−1
2
D．a＞−1
2
【答案】B
【解析】【分析】仔细观察，（2a-1）x＜2（2a-1），要想求得解集，需把（2a-1）这个整体看作x的系数，然后运用不等式的性质求出，给出的解集是x＞2，不等号的方向已
改变，说明运用的是不等式的性质3，运用性质3的前提是两边都乘以（•或除以）同一个负数，从而求出a的范围．
【详解】∵不等式（2a-1）x＜2（2a-1）的解集是x＞2，
∴不等式的方向改变了，
∴2a-1＜0，
∴a＜1
2
，
故选B．
【点睛】本题考查了利用不等式的性质解含有字母系数的不等式，解题的关键是根据原不等式和给出的解集的情况确定字母系数的取值范围，为此需熟练掌握不等式的基本性质，也是正确解一元一次不等式的基础．
7．若关于x的不等式组2x>3x−3
3x−a>5有实数解，则a的取值范围是（）
A．a＜4B．a≤4C．a＞4D．a≥4
【答案】A
【解析】分析：分别求出各不等式的解集，再根据不等式组有实数解即可得到关于a的不等式，求出a的取值范围即可．
详解：解不等式2x＞3x﹣3，得：x＜3，解不等式3x﹣a＞5，得：x＞a+5
3
．
∵不等式组有实数解，∴a+5
3
＜3，解得：a＜4．
故选A．
点睛：本题考查的是解一元一次不等式组，根据不等式组有实数解得出关于a的不等式是解答此题的关键．
8．若m＞n，则下列不等式正确的是（）
A．m﹣2＜n﹣2B．m
4>n
4
C．6m＜6n D．﹣8m＞﹣8n
【答案】B
【解析】【分析】将原不等式两边分别都减2、都除以4、都乘以6、都乘以﹣8，根据不等式得基本性质逐一判断即可得．
【详解】A、将m＞n两边都减2得：m﹣2＞n﹣2，此选项错误；
B、将m＞n两边都除以4得：m
4>n
4
，此选项正确；
C、将m＞n两边都乘以6得：6m＞6n，此选项错误；
D、将m＞n两边都乘以﹣8，得：﹣8m＜﹣8n，此选项错误，故选B．
【点睛】本题考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握握不等式的基本性质，尤其是性质不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
9．已知关于x的不等式3x﹣m+1＞0的最小整数解为2，则实数m的取值范围是（）A．4≤m＜7B．4＜m＜7C．4≤m≤7D．4＜m≤7
【答案】A
【解析】【分析】先解出不等式，然后根据最小整数解为2得出关于m的不等式组，解之即可求得m的取值范围．
【详解】解不等式3x﹣m+1＞0，得：x＞m−1
3
，
∵不等式有最小整数解2，
∴1≤m−1
3
＜2，
解得：4≤m＜7，
故选A．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，解一元一次不等式组，正确解不等式，熟练掌握一元一次不等式、一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．
10．关于x的不等式组x＞a
x＞1
的解集为x＞1，则a的取值范围是（）
A．a＞1B．a＜1C．a≥1D．a≤1
【答案】D
【解析】分析：根据其解集得出关于a的不等式，解答即可．
详解：因为不等式组x＞a
x＞1
的解集为x＞1，所以可得：a≤1．
故选D．
点睛：本题主要考查了不等式组的解集，关键是根据其解集得出关于a的不等式．
11．不等式组2x+1＜3
3x+1≥−2
的解集在数轴上表示正确的是（）
A．B．C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可．
【详解】
2x+1＜3①
3x+1≥−2②
∵解不等式①得：x＜1，
解不等式②得：x≥-1，
∴不等式组的解集为-1≤x＜1，
在数轴上表示为：，
故选A．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
12．关于x的不等式2(x−1)＞4
a−x＜0
的解集为x＞3，那么a的取值范围为（）
A．a＞3B．a＜3C．a≥3D．a≤3
【答案】D
【解析】分析：先解第一个不等式得到x＞3，由于不等式组的解集为x＞3，则利用同大取大可得到a的范围．
详解：解不等式2（x-1）＞4，得：x＞3，
解不等式a-x＜0，得：x＞a，
∵不等式组的解集为x＞3，
∴a≤3，
故选：D．
点睛：本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
13．已知关于x的不等式组
x>2a−3
2x≥3(x−2)+5仅有三个整数解，则a的取值范围是
（）.
A．1
2≤a＜1B．1
2
≤a≤1C．1
2
＜a≤1D．a＜1
【答案】A
【解析】分析：根据解不等式组，可得不等式组的解，根据不等式组的解是整数，可得答案．
详解：由x＞2a-3，
由2x＞3（x-2）+5，解得：2a-3＜x≤1，
由关于x的不等式组
x＞2a−3
2x≥3x−2+5
仅有三个整数：
解得-2≤2a-3＜-1，
解得1
2
≤a＜1，
故选：A．
点睛：本题考查了一元一次不等式组，利用不等式的解得出关于a的不等式是解题关键．
14．已知不等式组2x−a<1
x−2b>3的解集为﹣1＜x＜1，则（a+1）（b﹣1）值为（）
A．6B．﹣6C．3D．﹣3【答案】B
【解析】分析：
先解关于x的不等式组2x−a<1
x−2b>3得到用a、b表达的解集，并和解集﹣1＜x＜1对比
即可得到a、b的值，再代入(a+1)(b﹣1)进行计算即可.详解：
解不等式2x−a<1得：x<a+1
2
，
解不等式x−2b>3得：x>2b+3，
∴不等式组2x−a<1
x−2b>3的解集为：2b+3<x<
a+1
2
，
又∵不等式组2x−a<1
x−2b>3的解集为：﹣1＜x＜1，
∴2b+3=−1，a+1
2
=1，
解得：a=1，b=−2，
∴(a+1)(b−1)=2×(−3)=−6.故选B.
点睛：“通过解不等式组2x−a<1
x−2b>3得到解集：2b+3<x<
a+1
2
，并和解集﹣1＜x＜
1对比从而得到a=1，b=−2”是解答本题的关键.
15．把不等式组
x+1≥3
−2x−6＞﹣4中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的
为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】分析：先求出不等式组中各个不等式的解集，再利用数轴确定不等式组的解集．详解：解不等式x+1≥3，得：x≥2，
解不等式﹣2x﹣6＞﹣4，得：x＜﹣1，
将两不等式解集表示在数轴上如下：
故选B．
点睛：本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集时要注意解集的确定原则：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解了．
16．不等式组2x>−4
x−1≤1的解集，在数轴上表示正确的是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】分析：先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出选项．
详解：2x＞−4①x−1≤1②
∵解不等式①得：x＞-2，
解不等式②得：x≤2，
∴不等式组的解集为-2＜x≤2，
在数轴上表示为，
故选：B．
点睛：本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集得出不等式组的解集是解此题的关键．
17．如果a>b，那么下列结论中错误的是( )
A．a-3>b-3B．3a>3b
C．a
3>b
3
D．-a>-b
【答案】D
【解析】分析：根据不等式的基本性质判断，不等式的性质运用时注意:必须是加上,减去或乘以或除以同一个数或式子;另外要注意不等号的方向是否变化.
详解：A、不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变,a>b两边同时减3,不等号的方向不变,所以a-3>b-3正确;
B、C、不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,所以3a>3b和a
3>b
3
正确;
D、不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,a>b两边同乘以-1得到-a<-b,所以-a>-b错误;故选D.
点睛：不等式的性质运用时注意：必须是加上，减去或乘以或除以同一个数或式子；另外要注意不等号的方向是否变化．
18．不等式3x﹣6≥0的解集在数轴上表示正确的是（）
A．B．C．
D．
【答案】B
【解析】【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
【详解】3x﹣6≥0，
3x≥6，
x≥2，
在数轴上表示为：
，
故选B．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，正确求出不等式的解集是解此题的关键．
二、解答题
19
【答案】﹣1＜x＜3，不等式组的整数解为0、1、2．
【解析】试题分析：分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
试题解析：解不等式3x﹣1＜x+5，得：x＜3，
x﹣1，得：x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x＜3，
∴不等式组的整数解为0、1、2．
20．某网店销售甲、乙两种羽毛球，已知甲种羽毛球每筒的售价比乙种羽毛球多15元，王老师从该网店购买了2筒甲种羽毛球和3筒乙种羽毛球，共花费255元．
（1）该网店甲、乙两种羽毛球每筒的售价各是多少元？
（2）根据消费者需求，该网店决定用不超过8780元购进甲、乙两种羽毛球共200筒，
且甲种羽毛球的数量大于乙种羽毛球数量的3
5
，已知甲种羽毛球每筒的进价为50元，乙种羽毛球每筒的进价为40元．
①若设购进甲种羽毛球m筒，则该网店有哪几种进货方案？
②若所购进羽毛球均可全部售出，请求出网店所获利润W（元）与甲种羽毛球进货量m（筒）之间的函数关系式，并说明当m为何值时所获利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）该网店甲种羽毛球每筒的售价为60元，乙种羽毛球每筒的售价为45元；（2）①进货方案有3种，具体见解析；②当m=78时，所获利润最大，最大利润为1390元．
【解析】【分析】（1）设甲种羽毛球每筒的售价为x元，乙种羽毛球每筒的售价为y元，由条件可列方程组，则可求得答案；
（2）①设购进甲种羽毛球m筒，则乙种羽毛球为（200﹣m）筒，由条件可得到关于m 的不等式组，则可求得m的取值范围，且m为整数，则可求得m的值，即可求得进货方案；
②用m可表示出W，可得到关于m的一次函数，利用一次函数的性质可求得答案．【详解】（1）设甲种羽毛球每筒的售价为x元，乙种羽毛球每筒的售价为y元，
根据题意可得
x−y=15
2x+3y=255，解得
x=60
y=45，
答：该网店甲种羽毛球每筒的售价为60元，乙种羽毛球每筒的售价为45元；（2）①若购进甲种羽毛球m筒，则乙种羽毛球为（200﹣m）筒，
根据题意可得50m+4020−m≤8780
m>3
5
200−m，解得75＜m≤78，
∵m为整数，
∴m的值为76、77、78，
∴进货方案有3种，分别为：
方案一，购进甲种羽毛球76筒，乙种羽毛球为124筒，
方案二，购进甲种羽毛球77筒，乙种羽毛球为123筒，
方案一，购进甲种羽毛球78筒，乙种羽毛球为122筒；
②根据题意可得W=（60﹣50）m+（45﹣40）（200﹣m）=5m+1000，
∵5＞0，
∴W随m的增大而增大，且75＜m≤78，
∴当m=78时，W最大，W最大值为1390，
答：当m=78时，所获利润最大，最大利润为1390元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，弄清题意找准等量关系列出方程组、找准不等关系列出不等式组、找准各量之间的数量关系列出函数解析式是解题的关键.
21．先化简,再求值:x−3
x2−1÷x−3
x2+2x+1
−1
x−1
+1,其中x是不等式组
5x−3>3x+1
1
2
x−1<9−3
2
x的
整数解.
【答案】1
3
.
【解析】分析：原式利用除法法则变形，约分后计算得到最简结果，求出x的值，代入计算即可求出值．
详解：原式=x−3
x+1x−1•（x+1）
2
x−3
﹣1+x−1
x−1
=x+1 x−1﹣x
x−1
=1
x−1
，
不等式组解得：3＜x＜5，整数解为x=4，
当x=4时，原式=1
3
．
点睛：本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
22．为了落实党的“精准扶贫”政策，A、B两城决定向C、D两乡运送肥料以支持农村生产，已知A、B两城共有肥料500吨，其中A城肥料比B城少100吨，从A城往C、D 两乡运肥料的费用分别为20元/吨和25元/吨；从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为15元/吨和24元/吨．现C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨．
（1）A城和B城各有多少吨肥料？
（2）设从A城运往C乡肥料x吨，总运费为y元，求出最少总运费．
（3）由于更换车型，使A城运往C乡的运费每吨减少a（0＜a＜6）元，这时怎样调运才能使总运费最少？
【答案】（1）A城和B城分别有200吨和300吨肥料；（2）从A城运往D乡200吨，从B城运往C乡肥料240吨，运往D乡60吨时，运费最少，最少运费是10040元；（3）当0＜a<4时， A城200吨肥料都运往D乡，B城240吨运往C乡，60吨运往D乡；当a=4时，在0≤x≤200范围内的哪种调运方案费用都一样；当4＜a＜6时，A城200吨
肥料都运往C乡，B城40吨运往C乡，260吨运往D乡.
【解析】【分析】（1）根据A、B两城共有肥料500吨，其中A城肥料比B城少100吨，列方程或方程组得答案；
（2）设从A城运往C乡肥料x吨，用含x的代数式分别表示出从A运往运往D乡的肥料吨数，从B城运往C乡肥料吨数，及从B城运往D乡肥料吨数，根据：运费=运输吨数×运输费用，得一次函数解析式，利用一次函数的性质得结论；
（3）列出当A城运往C乡的运费每吨减少a（0＜a＜6）元时的一次函数解析式，利用一次函数的性质讨论，得结论．
【详解】（1）设A城有化肥a吨，B城有化肥b吨，
根据题意，得b+a=500
b−a=100，
解得a=200
b=300，
答：A城和B城分别有200吨和300吨肥料；
（2）设从A城运往C乡肥料x吨，则运往D乡（200﹣x）吨，从B城运往C乡肥料（240﹣x）吨，则运往D乡（60+x）吨，
设总运费为y元，根据题意，
则：y=20x+25（200﹣x）+15（240﹣x）+24（60+x）=4x+10040，
∵
x≥0
200−x≥0
240−x≥0
60+x≥0
，∴0≤x≤200，
由于函数是一次函数，k=4＞0，
所以当x=0时，运费最少，最少运费是10040元；
（3）从A城运往C乡肥料x吨，由于A城运往C乡的运费每吨减少a（0＜a＜6）元，所以y=（20﹣a）x+25（200﹣x）+15（240﹣x）+24（60+x）=（4﹣a）x+10040，
当4﹣a>0时，即0＜a<4时，y随着x的增大而增大，∴当x=0时，运费最少，A城200吨肥料都运往D乡，B城240吨运往C乡，60吨运往D乡；
当4-a=0时，即a=4时，y=10040，在0≤x≤200范围内的哪种调运方案费用都一样；
当4﹣a＜0时，即4＜a＜6时，y随着x的增大而减小，∴当x=240时，运费最少，此时A城200吨肥料都运往C乡，B城40吨运往C乡，260吨运往D乡.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、不等式组的应用、一次函数的应用等，弄清题意、根据题意找准等量关系、不等关系列出方程组，列出一次函数解析式是关键．注意（3）小题需分类讨论．
23．学校需要添置教师办公桌椅A、B两型共200套，已知2套A型桌椅和1套B型
桌椅共需2000元，1套A型桌椅和3套B型桌椅共需3000元．
（1）求A，B两型桌椅的单价；
（2）若需要A型桌椅不少于120套，B型桌椅不少于70套，平均每套桌椅需要运费10元．设购买A型桌椅x套时，总费用为y元，求y与x的函数关系式，并直接写出x 的取值范围；
（3）求出总费用最少的购置方案．
【答案】（1）A，B两型桌椅的单价分别为600元，800元；（2）y=﹣200x+162000（120≤x≤140）；（3）购买A型桌椅140套，购买B型桌椅60套，总费用最少，最少费用为134000元．
【解析】
【分析】
（1）根据“2套A型桌椅和1套B型桌椅共需2000元，1套A型桌椅和3套B型桌椅共需3000元”，建立方程组即可得出结论；
（2）根据题意建立函数关系式，由A型桌椅不少于120套，B型桌椅不少于70套，确定出x的范围；
（3）根据一次函数的性质，即可得出结论．
【详解】
（1）设A型桌椅的单价为a元，B型桌椅的单价为b元，
根据题意知，2a+b=2000
a+3b=3000，
解得，a=600
b=800，
即：A，B两型桌椅的单价分别为600元，800元；
（2）根据题意知，y=600x+800（200﹣x）+200×10=﹣200x+162000（120≤x≤140），（3）由（2）知，y=﹣200x+162000（120≤x≤140），
∴当x=140时，总费用最少，
即：购买A型桌椅140套，购买B型桌椅60套，总费用最少，最少费用为134000元．【点睛】
本题考查一次函数的应用，二元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，读懂题意，列出方程组或不等式是解本题的关键．
24．某大型快递公司使用机器人进行包裹分拣，若甲机器人工作2 h，乙机器人工作4 h，一共可以分拣700件包裹；若甲机器人工作3 h，乙机器人工作2 h，一共可以分拣650件包裹．
（1）求甲、乙两机器人每小时各分拣多少件包裹；
（2）“双十一”期间，快递公司的业务量猛增，要让甲、乙两机器人每天分拣包裹的总数量不低于2250件，它们每天至少要一起工作多少小时？
【答案】（1）甲机器人每小时分拣150件，乙机器人每小时分拣100件包裹；（2）它们每天至少要一起工作9小时．
【解析】试题分析：（1）设甲、乙两机器人每小时各分拣x件、y件包裹，根据“若甲机器人工作2h，乙机器人工作4h，一共可以分拣700件包裹；若甲机器人工作3h，乙机器人工作2h，一共可以分拣650件包裹”列出方程组，求解即可；
（2）设它们每天要一起工作t小时，根据“甲、乙两机器人每天分拣包裹的总数量不低于2250件”列出不等式，求解即可．
试题解析：（1）设甲机器人每小时分拣x件，乙机器人每小时分拣y件包裹，根据题意得：
2x+4y=700
3x+2y=650，解得：x=150
y=100．
答：甲机器人每小时分拣150件，乙机器人每小时分拣100件包裹．
（2）设它们每天要一起工作t小时，根据题意得：（150+100）t≥2250，解得t≥9．答：它们每天至少要一起工作9小时．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用；根据题意找到题中的等量关系，不等关系是解题的关键.
25．在美丽乡村建设中，某县通过政府投入进行村级道路硬化和道路拓宽改造.
（1）原计划是今年1至5月，村级道路硬化和道路拓宽的里程数共50千米，其中道路硬化的里程数至少是道路拓宽的里程数的4倍，那么，原计划今年1至5月，道路硬化和里程数至少是多少千米？
（2）到今年5月底，道路硬化和道路拓宽的里程数刚好按原计划完成，且道路硬化的里程数正好是原计划的最小值.2017年通过政府投入780万元进行村级道路硬化和道路拓宽的里程数共45千米，每千米的道路硬化和道路拓宽的经费之比为1 : 2，且里程数之比为2 : 1，为加快美丽乡村建设，政府决定加大投入.经测算：从今年6月起至年底，如果政府投入经费在2017年的基础上增加10a%（a>0），并全部用于道路硬化和道路拓宽，而每千米道路硬化、道路拓宽的费用也在2017年的基础上分别增加a%，5a%，那么道路硬化和道路拓宽的里程数将会在今年1至5月的基础上分别增加5a%，8a%，求a的值.
【答案】（1）40千米；（2）10.
【解析】
【分析】（1）设道路硬化的里程数是x千米，根据道路硬化的里程数至少是道路拓宽的里程数的4倍，列不等式进行求解即可得；
（2）根据题意先求出2017年道路硬化、道路拓宽的里程数以及每千米的费用，然后表示出今年6月起道路硬化、道路拓宽的经费及里程数，根据投入比2017年增加10%，列方程进行求解即可得.
【详解】（1）设道路硬化的里程数是x千米，则由题意得：
x≥4(50-x)，
解不等式得：x≥40，
答：道路硬化的里程数至少是40千米；
（2）由题意得：
2017年：道路硬化经费为：13万/千米，里程为：30km
道路拓宽经费为：26万/千米，里程为：15km
∴今年6月起：
道路硬化经费为：13（1+a%）万/千米，里程数：40（1+5a%）km，
道路拓宽经费为：26（1+5a%）万/千米，里程数：10（1+8a%）km，
又∵政府投入费用为：780（1+10a%）万元，
∴列方程：13(1+a%)×40(1+5a%)+26(1+5a%)×10(1+8a%)=780(1+10a%)，
令a%=t，方程可整理为：
13(1+t)×40(1+5t)+26(1+5t)×10(1+8t)=780(1+10t)，
520(1+t)(1+5t)+260(1+5t)(1+8t)=780(1+10t)，
化简得：2(1+t)(1+5t)+(1+5t)(1+8t)=3(1+10t)，
2(1+t)(1+5t)+(1+5t)(1+8t)=3 (1+10t)，
10t2-t=0，
t(10t-1)=0，
，
∴t1=0（舍去），t2=1
10
∴综上所述：a = 10，
答：a的值为10.
【点评】本题考查一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用，解决本题的关键是将道路硬化，道路拓宽的里程数及每千米需要的经费求出.
26．某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B 两种产品50件．生产一件A产品需要甲种原料9千克，乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B产品，需要甲种原料4千克，乙种原料10千克，可获利润1200元．
（1）设生产x件A种产品，写出其题意x应满足的不等式组；
（2）由题意有哪几种按要求安排A、B两种产品的生产件数的生产方案？请您帮助设计出来．
【答案】（1）9x+4(50−x)≤360
3x+10(50−x)≤290；（2）有3种生产方案：方案1：A产品30件，
B产品20件；方案2：A产品31件，B产品19件；方案3：A产品32件，B产品18件．
【解析】分析：（1）设生产x件A种产品，则生产B产品（50﹣x）件，共需要甲种原料[9x+4（50﹣x）]千克，乙种原料[3x+10（50﹣x）]千克，根据题意就可以建立不等式组；
（2）求出（1）的不等式组的解集，就可以确定x的值，从而求出生产方案．
详解：（1）设生产x件A种产品，则生产B产品（50﹣x）件，共需要甲种原料[9x+4（50﹣x）]千克，乙种原料[3x+10（50﹣x）]千克，由题意得：
9x+4（50−x）≤360
3x+10（50−x）≤290
；
（2）∵9x+4（50−x）≤360
3x+10（50−x）≤290
，解得：30≤x≤32，∴x为整数，∴x=30，31，32，
∴有3种生产方案：
方案1：A产品30件，B产品20件；
方案2：A产品31件，B产品19件；
方案3：A产品32件，B产品18件．
点睛：本题是一道方案设计题型，考查了列一元一次不等式组解实际问题的运用及一元一次不等式组的解法的运用，解答时找到题意中的不相等关系是建立不等式组的关键．
27．（1）解方程：x
x+2=2
x−1
+1；（2）解不等式组：
2x−4>0
x+1≤4(x−2)
【答案】（1）分式方程的解为x=﹣1
2
；（2）不等式组的解集为x≥3．
【解析】
【分析】
（1）两边都乘以（x﹣1）（x+2）化为整式方程，解整式方程后进行检验即可得；（2）分别求出不等式组中每一个不等式的解集，然后再根据不等式组解集的确定方法确定出不等式组的解集即可.
【详解】
（1）两边都乘以（x﹣1）（x+2），得：
x（x﹣1）=2（x+2）+（x﹣1）（x+2），
解得：x=﹣1
2
，
检验：当x=﹣1
2
时，（x﹣1）（x+2）≠0，
∴分式方程的解为x=﹣1
2
；
（2）解不等式2x﹣4＞0，得：x＞2，
解不等式x+1≤4（x﹣2），得：x≥3，
所以不等式组的解集为x≥3．
【点睛】
本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握解分式方程的步骤以及注意事项、解一元一次不等式组的一般步骤以及不等式组解集的确定方法是解题的关键. 28．某车行去年A型车的销售总额为6万元，今年每辆车的售价比去年减少400元．若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%．
（1）求今年A型车每辆车的售价．
（2）该车行计划新进一批A型车和B型车共45辆，已知A、B型车的进货价格分别是1100元，1400元，今年B型车的销售价格是2000元，要求B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获得最大利润，最大利润是多少？【答案】（1）今年A型车每辆车售价为1600元；（2）购进15辆A型车、30辆B型车时销售利润最大，最大利润是25500元．
【解析】分析：（1）设今年A型车每辆售价为x元，则去年每辆售价为（x+400）元，根据数量=总价÷单价，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设今年新进A型车a辆，销售利润为y元，则新进B型车（45﹣a）辆，根据销售利润=单辆利润×销售数量，即可得出y关于a的函数关系式，由B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
详解：（1）设今年A型车每辆售价为x元，则去年每辆售价为（x+400）元，
根据题意得：
60000 x+400=60000×(1−20%)
x
，
解得：x=1600，
经检验，x=1600是原分式方程的解，
∴今年A型车每辆车售价为1600元．
（2）设今年新进A型车a辆，销售利润为y元，则新进B型车（45﹣a）辆，
根据题意得：y=（1600﹣1100）a+（2000﹣1400）（45﹣a）=﹣100a+27000．
∵B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，
∴45﹣a≤2a，解得：a≥15．
∵﹣100＜0，
∴y随a的增大而减小，
∴当a=15时，y取最大值，最大值=﹣100×15+27000=25500，此时45﹣a=30．
答：购进15辆A型车、30辆B型车时销售利润最大，最大利润是25500元．
点睛：本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）利用一次函数的性质求出最大利润．
29．某商场销售A、B两种商品，售出1件A种商品和4件B种商品所得利润为600元，售出3件A种商品和5件B种商品所得利润为1100元；
（1）求每件A种商品和每件B种商品售出后所得利润各多少元？
（2）若该商场一次购进A、B两种商品共34件，全部售完后所得利润不低于4000元，那么该商场至少需要购进多少件A种商品？
【答案】（1）每件A种商品每件利润为200元，每件B种商品每件利润为100元；（2）威丽商场至少需购进6件A种商品．
【解析】【分析】（1）设每件A种商品每件利润为x元，每件B种商品每件利润为y元．列方程组，可解得；（2）设购进A种商品a件，则购进B种商品（34-a）件．列出不等式200a+100（34-a）≥4000可解得.
【详解】
解：（1）设每件A种商品每件利润为x元，每件B种商品每件利润为y元．
由题意，得：
x+4y＝600
，
3x+5y＝1100
解得：
x＝200
，
y＝100
答：每件A种商品每件利润为200元，每件B种商品每件利润为100元，（2）设购进A种商品a件，则购进B种商品（34-a）件．由题意，得200a+100（34-a）≥4000，
解得：a≥6，。