高考数学一轮复习两角和与差的三角函数

[解析]
1 原式＝sin(43° －13° )＝sin30° ＝ . 2
2．已知 tanα＝4，tanβ＝3，则 tan(α＋β)＝( 7 A.11 7 C. 13 7 B．－11 7 D．－ 13
)
[答案] B
[解析]
tanα＋tanβ 4＋3 7 tan(α＋β)＝ ＝ ＝－ . 11 1－tanαtanβ 1－4×3
[解析]
α 1 (1)∵tan ＝ ， 2 2
α α α ∴sinα＝sin 2· ＝2sin2cos2 2
α α α 1 2sin cos 2tan 2× 2 2 2 2 4 ＝ ＝ ＝ 1 ＝5. α α α 2 sin2 ＋cos2 1＋tan2 1 ＋ 2 2 2 2
1 (2012· 安徽高三“三校”联考)已知 α， β∈(0， π)， tanα＝－ ， 3 tan(α＋β)＝1. (1)求 tanβ 及 cosβ 的值； π 1＋ 2cos2β－4 (2)求 的值． π sin －β 2
[解析]
(1)tanβ＝tan(α＋β－α)
1 tanα＋β－tanα 1＋3 ＝ ＝ 1＝2， 1＋tanα＋β· tanα 1－3 ∵β∈(0，π)，tanβ＝2>0， π 5 ∴β∈(0， )，∴cosβ＝ . 2 5
π 4 3 (2)∵0<α< ，sinα＝ ，∴cosα＝ . 2 5 5 π 又 0<α<2<β<π，∴0<β－α<π. 2 π 由 cos(β－α)＝ ，得 0<β－α< . 10 2 98 7 2 ∴sin(β－α)＝ 10 ＝ 10 ， ∴sinβ＝sin[(β－α)＋α]
3 π π 5π 4．若 sinα＝ ，α∈(－ ， )，则 cos(α＋ )＝( 5 2 2 4 7 2 A．－ 10 2 C. 10 2 B．－ 10 2 D. 10
)
[答案] B
[解析]
π π 3 4 由 α∈(－ ， )，sinα＝ 可得 cosα＝ ，由两角和 2 2 5 5
5π 2 2 与差的余弦公式得： cos(α＋ 4 )＝－ 2 (cosα－sinα)＝－ 10 ， 故选 B.
条件求值问题
[例 2] 的值． [分析]
π 1 π 已知 α∈(0， )，tanα＝ ，求 tan2α 和 sin(2α＋ ) 2 2 3
(1)利用二倍角公式求 tan2α；
(2)利用两角和的公式求值，对 sin2α，cos2α 的求解可先 求 sinα，cosα 的值．
[解析]
1 ∵tanα＝2，
π π 6．化简：cos3＋α＋sin6＋α＝________.
[答案] cosα
[解析]
π π cos3＋α＋sin6＋α
π π π π ＝cos3cosα－sin3sinα＋sin6cosα＋cos6sinα 1 3 1 3 ＝ cosα－ sinα＋ cosα＋ sinα＝cosα. 2 2 2 2
考向预测 1．利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角函 数式的化简求值是高考常考的内容． 2．公式逆用、变形用(尤其是余弦二倍角的变形用 )是高 考热点． 3．在选择题、填空题、解答题中都可能考查．
课前自主预习
知识梳理
cosβ＋sinα· sinβ 1．cos(α－β)＝ cosα· (Cα－β) cosαcosβ－sinαsinβ cos(α＋β)＝ (Cα＋β) sinα· cosβ－cosα· sinβ sin(α－β)＝ (Sα－β) sinαcosβ＋cosαsinβ sin(α＋β)＝ (Sα＋β)
2 2
π π π ∴sin(2α＋ )＝sin2αcos ＋cos2αsin 3 3 3 4 1 3 3 4＋3 3 ＝ × ＋ × ＝ . 5 2 5 2 10
[ 点评 ]
(1) 在三角函数式的求值过程中，要始终做好
“角”的文章； 特殊角与特殊值的转化； 角的合并； 角的分解． (2)已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般 思路为： ①先化简所求式子或所给条件； ②观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及 角入手)； ③将已知条件代入所求式子，化简求值．
1 2×2 2tanα 4 ∴tan2α＝ ＝ 1＝3， 1－tan2α 1－4 sinα 1 且cosα＝2，即 cosα＝2sinα， 又 sin2α＋cos2α＝1， π ∴5sin α＝1，而 α∈(0， )， 2
2
5 2 5 ∴sinα＝ ，cosα＝ . 5 5
5 2 5 4 ∴sin2α＝2sinαcosα＝2× × ＝ ， 5 5 5 4 1 3 cos2α＝cos α－sin α＝5－5＝5，
2
∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB
2 5 5 10 2 3 10 ＝－ 5 ×－ － 5 × 10 ＝ 2 ① 10
π π 又∵ <A<π， <B<π， 2 2 ∴π<A＋B<2π. 7π 由①②知 A＋B＝ . 4
[点评]
(Hale Waihona Puke )通过求角的某种三角函数值来求角， 在选取函
4 π 3． 若 cosα＝－ ， α 是第三象限的角， 则 sin(α＋ )＝( 5 4 7 2 A．－ 10 2 C．－ 10 7 2 B. 10 2 D. 10
)
[答案] A
[解析]
4 由于 α 是第三象限角且 cosα＝－ ， 5
3 ∴sinα＝－5， π π π ∴sin(α＋ )＝sinαcos ＋cosαsin 4 4 4 2 4 3 7 ＝ 2 (－5－5)＝－10 2.
cos20° (2) · cos10° ＋ 3sin10° tan70° －2cos40° sin20° cos20° cos10° 3sin10° sin70° ＝ sin20° ＋ cos70° －2cos40° cos20° cos10° ＋ 3sin10° cos20° ＝ －2cos40° sin20° cos20° cos10° ＋ 3sin10° ＝ －2cos40° sin20°
tan(α－β)＝
tanα－tanβ 1＋tanα· tanβ
tanα＋tanβ 1－tanα· tanβ
(Tα－β)
tan(α＋β)＝
(Tα＋β)
前面 4 个公式对任意的 α，β 都成立，而后面两个公式成立 π π π 的条件是 a≠kπ＋2，β≠kπ＋2，k∈Z，且 α＋β≠kπ＋2(Tα＋β 需 π 满足)，α－β≠kπ＋ (Tα－β 需满足)k∈Z 时成立，否则是不成立 2 的．当 tanα、tanβ 或 tan(α± β)的值不存在时，不能使用公式 Tα±β 处理有关问题，应改用诱导公式或其它方法求解．
tanα＋β－tanα－tanβ tanαtanβ＝ tanα＋β
，
tanα－tanβ－tanα＋β tanα－β ＝
.
基 础 自 测
1.计算 sin43° cos13° －cos43° sin13° 的结果等于( 1 A.2 2 C. 2 3 B. 3 3 D. 2 )
[答案] A
第四章
第五节 两角和与差的三角函数
高考目标
3
课堂典例讲练
课前自主预习
4
思想方法点拨
5
课后强化作业
高考目标
考纲解读 1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式． 2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公 式． 3．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、 正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的 内在联系．
2cos20° cos10° sin30° ＋sin10° cos30° ＝ －2cos40° sin20° 2cos20° sin40° －2sin20° cos40° ＝ ＝2. sin20°
[点评]
在三角函数的化简、求值、证明中，常常对条件
和结论进行合理变换、转化，特别是角的变化、名称的变化、 切化弦、常数代换、幂的代换、结构变化都是常用的技巧和方 法．
5 ． 函数 ________．
[答案]
π y ＝ sinx ＋ cos x－6 的最大值和最小值分别为
3，－ 3
[解析]
π π y＝sinx＋cosxcos ＋sinxsin 6 6
π 3 3 ＝2sinx＋ 2 cosx＝ 3sinx＋6.
π 当 x＝2kπ＋ (k∈Z)时，ymax＝ 3； 3 2π 当 x＝2kπ－ 3 (k∈Z)时，ymin＝－ 3.
7．若锐角 α，β 满足(1＋ 3tanα)(1＋ 3tanβ)＝4，求 α＋β 的值．
[解析]
∵(1＋ 3tanα)(1＋ 3tanβ)
＝1＋ 3tanα＋ 3tanβ＋3tanαtanβ＝4， ∴ 3(tanα＋tanβ)＝3(1－tanαtanβ)， 即 tanα＋tanβ＝ 3(1－tanαtanβ)， tanα＋tanβ ∴tan(α＋β)＝ ＝ 3， 1－tanαtanβ 又 α、β 均为锐角， π ∴0<α＋β<π，∴α＋β＝3.
2．要辩证地看待和角与差角，根据需要，可以进行适当的 变换：α＝(α＋β)－β，α＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α ＝(α＋β)－(β－α)等等．
3．在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决 问题：如公式的正用、逆用和变形用等．如 Tα±β 可变形为：
β)(1∓tanαtanβ) tanα± tanβ＝ tan(α±
数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已
π 知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0，2，
选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的
π π 范围为－2，2，选正弦较好．
π α 1 2 已知 0<α< <β<π，tan ＝ ，cos(β－α)＝ . 2 2 2 10 (1)求 sinα 的值； (2)求 β 的值．
cos15° sin9° ＋sin6° 求值： . sin15° sin9° －cos6°
[解析]
cos15° sin9° ＋sin15° －9° 原式＝ sin15° sin9° －cos15° －9°
cos15° sin9° ＋sin15° cos9° －cos15° sin9° ＝ sin15° sin9° －cos15° cos9° ＋sin15° sin9° sin15° cos9° ＝ ＝－tan15° －cos15° cos9° tan45° －tan30° ＝－ ＝ 3－2. 1＋tan45° tan30°
2 5 (2)sinβ＝ 1－cos β＝ ， 5
2
π 1＋ 2cos2β－4 1＋cos2β＋sin2β ∴ ＝ π cosβ sin2－β 2cos2β＋2sinβcosβ 6 5 ＝ ＝2cosβ＋2sinβ＝ 5 . cosβ
给值求角问题
[例 3]
5 10 若 sinA＝ ，sinB＝ ，且 A，B 均为钝角， 5 10
求 A＋B 的值． [分析] 欲求 A＋B，先求 A＋B 的一个三角函数值，然
后再由 A、B 的范围求得 A＋B 的值．
[解析]
5 10 ∵A、B 均为钝角且 sinA＝ ，sinB＝ ， 5 10
2
2 2 5 ∴cosA＝－ 1－sin A＝－ ＝－ 5 ， 5 3 3 10 cosB＝－ 1－sin B＝－ ＝－ 10 ， 10
关系上找联系，构造利用公式的条件．
[解析]
1 3 1 3 (1)∵ 2 － 2 ＝ 2 － 2 cos 80° cos 10° sin 10° cos 10°
cos210° －3sin210° ＝ sin210° cos210° cos10° ＋ 3sin10° cos10° － 3sin10° ＝ sin210° cos210° 4cos50° · cos70° 16· sin40° · sin20° ＝ ＝ ＝32cos20° . 1 2 sin220° sin 20° 4 1 ∴原式＝32cos20° · ＝32. cos20°
课堂典例讲练
化简求值问题
[例 1]
求下列各式的值：
1 3 1 (1)( 2 － 2 ) ； cos 80° cos 10°cos20° cos20° (2) sin20° · cos10° ＋ 3sin10° tan70° －2cos40° .
[分析]
给角求值问题，应从角的关系、函数关系、运算