第六章3-求检验数的方法

第三节 求检验数的的求法
如图示： 顶点 （ 1） 非基变量 （ 2） 基变量 （ 3） 基变量 （ 6） 基变量 （ 4） 基变量 （ 5） 基变量
非基变量的检验数就等于闭回路上所有奇数顶点（顶点 （ 1） 、 （ 3） 、 （ 5） ）对应的单位运价之和减去所有偶数顶点（顶 点（ 2） （ 4） 、 （ 6） ）对应的单位运价之和。
第三节 求检验数的的求法
通过上述的闭回路法，可以把所有非基变量的检 验数求出来。 从运算上说，都是加减运算，难就难在寻找闭回 路，但是只要多练习，还是比较容易的。 二、位势法 用闭回路法求检验数，需要对每一个非基变量 （表上画“×”的地方）寻找闭回路，然后再去求检 验数，当一个运输问题的产销点很多时，这种方法 的计算工作量是很大的，不如位势法简单，下面通 过实例简单介绍一下位势法。
第三节 求检验数的的求法
本节主要介绍表上作业法中求检验数的两种方法 由于表上作业法也是一个迭代算法，何时终止 迭代，总得有一个判定条件，这个判定条件类似 于单纯法中的检验数，只是由于运输问题的特殊 性，求检验数的方法与单纯形法有所不同，下面 给出求检验数的两种方法。 一、闭回路法 1．定理：运输问题的表上作业法中，任一个非基变 量都能和若干个基变量构成唯一的闭回路。
第三节 求检验数的的求法
下面通过上例给出说明 销地 B1 产地 运费 A1 x 11 = × 3 A2 x 21= 3 1 A3 × 7 3 销量
B2
×
B3 x
13
B4 =4 10
× 3
产量 7 4 9
11
×
3 x 23= 1 2
×
9 6 4 6
8 3 5 6
10 5
第三节 求检验数的的求法
要计算非基变量x11的检验数，按照定理非基变 量x11 与基变量 x13 、x23 、 x21组成唯一的闭回路。 闭回路的奇数顶点对应的单位运价之和为3+2，偶数 顶点对应的单位运价之和为3+1，所以x11的检验数 为5-4=1。 利用闭回路法求检验数可以作出如下的经济解 释。
第三节 求检验数的的求法
λ = c u v i j i j i j 以 前 我 们 用 闭 回 路 法 求 出 的 x 的 检 验 数 为 1 ， 1 1 现 在 用 位 势 法 求 ， 比 较 一 下 结 果 。 λ = c u v = 3 0 2 = 1 1 1 1 1 1 1 与 以 前 结 果 一 样 。
第三节 求检验数的的求法
u u u u u u
1 1 2 2 3 3
+ v3 =3 + v4 =10 + v1 =1 + v3 =2 + v2 =4 + v4 =5
由 于 是 7 个 未 知 数 6 个 方 程 ，所 以 必 须 给 某 一 变 量 初 始 值 。一 般 是 令 u 1= 0 ， 可 以 解 出 其 它 的 位 势 如 表 上 所 示 。 根 据 定 理 （ 课 本 上 的 定 理 5） 非 基 变 量 x ij 的 检 验 数
是非基变量）分配了1个单位的运量，将增加1×3个 单位的运费；同时为保持产量平衡，对应的x13 处就 要减少一个单位的运量，这样将减少 1×3 个单位的 运费；与此同时，由于表上作业法中表的每列上分 配的运量之和是一个常数（等于对应销地的销量） 所以当x13减少了1个单位的运量时，为保持销量平衡 x23将增加1个单位的运量，这样将增加1×2个单位的 运费；同理可知对应的x21 处就要减少一个单位的运 量，将减少1×1个单位的运费。
第三节 求检验数的的求法
简单的说，位势法就是通过与基变量的对应的 单位运价把各行、各列对应的位势（可以先设成未 知数）求出来，再利用它求出非基变量检验数的一 种方法，这种方法的合理性来自于线性规划问题的 对偶理论（有兴趣的同学可以参考文献（1）86页的 内容）。 在线性规划问题的对偶理论和单纯型法，在基变 量对应的检验数为零，所以有下面的方程组：
第三节 求检验数的的求法
产地 A1
销地 运费
B1
×
B2
×
B3 4 3 1 2 6
×
B4
3
ui(位势) u1= 0 u2= -1 3 u3= -5
3 A2 1 A3 vj（位势）
×
11 3 9 4 v2=9
×
10
×
8 5 v4=10
7 v1=2
10 v3+1 3 -1 1 列平衡 2 列平衡 3 +1 行平衡 -1 行平衡
就是把运量给 x11 处分配一个单位，看看会对目 标函数值带来什么影响（增加还是减少）。由于表上 作业法中表的每行上分配的运量之和是一个常数（等 于对应产地的产量），所以若给x11（分配前x11=0，
第三节 求检验数的的求法
第三节 求检验数的的求法
综上所述，目标函数值增加了3+2，同时又减少了 3+1 。所以目标函数总的变化量为：（3+2） -（3+1） =1。这就是说，每给x11分配一个单位的运量，目标 函数（总运费）将增加一个单位。因此在表上作业法 中对检验数大于零的地方不再分配运量，若所有非基 变量的检验数全大于零，任何形式的运量调整只能使 目标函数值增加，所以算法终止，此时的解就是最优 解。请大家参考上面的例子仔细想一想，若非基变量 的检验数小于零，是否应该给该处分配运量把非基变 量调整成基变量？答案是肯定的，为什么？