甘肃省兰州高三上学期期中考试文数试题解析(原卷版)

甘肃省兰州2016届高三上学期期中考试文数试题
说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分,考试时间120分钟。

答案写在答题卡上,交卷时只交答题卡。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A ={}{}|1,|12,x x B x x >=-<<则（C R A ）B =( )
A ．{}|1x x >-
B ．{}|11x x -<≤
C ．{}|12x x -<<
D ．{}|12x x <<
2.已知函数()(cos 2cos sin 2sin )sin ,f x x x x x x =+x R ∈,则()f x 是( )
.A 最小正周期为π的奇函数 .B 最小正周期为π的偶函数
.C 最小正周期为2π
的奇函数 .D 最小正周期为2π
的偶函数
3.下列说法中，正确的是（ ）
A .命题“若a b <，则22am bm <”的否命题是假命题
B .设,αβ为两不同平面，直线l α⊂，则“l β⊥”是 “αβ⊥” 成立的充分不必要条件
C .命题“存在2,0x R x x ∈->”的否定是“对任意2,0x R x x ∈-<”
D .已知x R ∈，则“1x >”是“2x >”的充分不必要条件
4.设向量a ＝(－1，2)，b ＝(m ，1),如果向量a ＋2b 与2a －b 平行,则a 与b 的数量积等于( ) A ．－72 B ．－12 C .32 D .52
5.若0.52a =，log 3b π=，22log sin 5c π
=，则( )
A ．a b c >>
B ．b a c >>
C ．c a b >>
D ．b c a >>
6.已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )
A ．12
B . －12
C ．－32
D .3
2
7.函数)(x f 是奇函数,且在（+∞,0）内是增函数,0)3(=-f ,则不等式0)(<⋅x f x 的解集为( )
A ．}303|{><<-x x x 或
B ．}303|{<<-<x x x 或
C ．}33|{>-<x x x 或
D ．}3003|{<<<<-x x x 或
8.为了得到函数y ＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，可将函数y ＝sin 2x 的图象( ) A ．向左平移
5π6个单位长度 B ．向右平移5π6个单位长度 C ．向左平移5π12个单位长度 D ．向右平移5π12
个单位长度 9．设f(x)、g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当x ＜0时,()()()()0f x g x f x g x ''+> 且g(3)=0.则不等式()()0f x g x <的解集是( )
A ．（－3,0)∪(3,+∞)
B ．(－3,0)∪(0, 3)
C ．(－∞,- 3)∪(3,+∞)
D ．(－∞,－ 3)∪(0, 3)
10.如图所示，两个不共线向量OA ,OB 的夹角为θ，,M N 分别为OA 与OB 的中点，点C 在直线MN 上，
且(,)OC xOA yOB x y R =+∈，则22x y +的最小值为( )
.A .B 18
.C .D 12 11.设()f x 是定义在R 上的增函数，且对任意x ，都有()()0f x f x -+=恒成立，如果实数,m n 满足不等
式22
(621)(8)0f m m f n n -++-<，那么22m n +的取值范围是( ) .A （9，49） .B （13，49） .C （9，25） .D （3，7）
12.已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝(12
)x －m ，若对∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是( )
A ．[14，＋∞)
B ．(－∞，14]
C ．[12，＋∞)
D ．(－∞，－12
] 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO →＝λAB →＋μBC →，则
λ＋μ=________.
14.若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin a ＝335，则sin 56πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭
＝________. 15.已知向量a ，b 满足|a |＝1，|a ＋b |＝7，〈a ，b 〉＝π3
，则|b |＝________. 16.设函数f (x )＝ln x －12
ax 2－bx ，若x ＝1是f (x )的极大值点，则a 的取值范围为________. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题10分）
已知AC ＝(cos x 2＋sin x 2，－sin x 2)，BC ＝(cos x 2－sin x 2，2cos x 2
). (1)设f (x )＝AC BC ⋅ ，求f (x )的最小正周期和单调递减区间；
(2)设有不相等的两个实数x 1，x 2∈[,]22
ππ-
，且f (x 1)＝f (x 2)＝1，求x 1＋x 2的值.
18. （本小题12分）
根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米.某城市环保部门随机抽取了一居民区去年20天PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：
(Ⅰ)从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的5天中，随机抽取2天，求恰好有一天PM2.5
的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率；
（Ⅱ）求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由．
19. （本小题12分）
如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，侧棱ABCD PD 底面⊥,2,PD DC E ==是PC 的中点.
（Ⅰ）证明EDB PA 平面//；
（Ⅱ）求三棱锥A -BDP 的体积.
20. （本小题12分）
己知A 、B 、C 是椭圆m ：22
221x y a b
+=（0a b >>）上的三点，其中点A 的坐标为，BC 过椭圆的中心，且0AC BC ⋅=，||2||BC AC =。

（Ⅰ）求椭圆m 的方程；
（Ⅱ）过点(0,)t 的直线l (斜率存在时)与椭圆m 交于两点P ，Q ，设D 为椭圆m 与y 轴负半轴的交点，且||||DP DQ =，求实数t 的取值范围．
21. （本小题12分） 已知函数1()()ln (,)f x a x b x a b R x =--∈，2
()g x x =.
（1）若1a =，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与y 轴垂直，求b 的值；
（2）在（1）的条件下，求证：()()2ln 2;g x f x >-
22．选考题（本小题10分） 请从下列三道题当中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，请在答题卷上注明题号。

22—1.（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲
如图，AB 是⊙O 的一条切线，切点为B ，直线ADE ，CFD ，CGE 都是⊙O 的割线，已知AC=AB.
(1) 若CG =1，CD =4，求
GF
DE 的值. (2) 求证：FG//AC ;
22—2．（本小题满分10分）选修4～4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos ,2sin x t y t αα
=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）在极坐标系（与直角坐标系
xOy 取相同的长度单位。

且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为6sin .ρθ=
（I ）求圆C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设圆C 与直线l 交于点A ，B ．若点P 的坐标为（1,2）,求||||PA PB +的最小值．
22—3．（本小题满分10分）选修4～5：不等式选讲
设不等式－2<|x －1|－|x ＋2|<0的解集为M ，a ，b ∈M . (1)证明：⎪⎪⎪⎪⎪⎪13a ＋16b <14
； (2)比较|1－4ab |与2|a －b |的大小，并说明理由．。