人教A版高中数学选择性必修第二册 分层作业册精品课件 第四章 第2课时 等差数列的性质及应用

且被5除余3,且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列{an},那
么此数列的项数为( D )
A.17
B.18
C.19
D.20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
解析 由题意得3,5,7的最小公倍数为105,则能被3除余2,被5除余3,被7除余1
A级 必备知识基础练
1.[探究点一]已知点(1,5),(2,3)是等差数列{an}图象上的两点,则数列{an}为
( B )
A.递增数列
B.递减数列
C.常数列
D.无法确定
解析 等差数列{an}的图象所在直线的斜率k=
5-3
=-2<0,则直线呈下降趋
1-2
势,故数列{an}为递减数列.故选B.
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当

25
时,即

=
D.7
=
1
1
25
1

25
(a+b)( + )= (26+ +
),当且仅
18


18


b=5a,a=3 时,有最小值.
所以公差d=2,得17=1+(n+2-1)×2,即n=7,故选D.
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10.[探究点一]在等差数列{an}中,已知am=n,an=m,m,n∈N*,m≠n,则am+n的值
0
为
.
- -
解析 设等差数列的公差为d,则d= - = -=-1,从而am+n=am+(m+n-m)d
=n+n·(-1)=0.
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7.[探究点三](多选题)已知四个数成等差数列,它们的和为28,中间两项的积
为40,则这四个数依次为( AB )
A.-2,4,10,16
B.16,10,4,-2
C.2,5,8,11
D.11,8,5,2
解析 设这四个数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d,d≠0,
6.[探究点二·2024甘肃金昌高二校考阶段练习]在等差数列{an}中,若
a3+a9=26,则a3+3a7=( D )
A.13
B.26
C.39
D.52
解析 因为{an}是等差数列,所以a3+a9=2a6=26,解得a6=13,
所以a3+3a7=a3+a7+2a7=2(a5+a7)=4a6=52.
故选D.
17.已知中位数为1 010的一组数构成等差数列,其末项为2 017,则该数列的
首项为
3
.
解析 设等差数列为{an},若这组数有(2m+1)个,则am+1=1 010,a2m+1=2 017.
又a1+a2m+1=2am+1,即a1+2 017=2×1 010,所以a1=3;若这组数有2m个,则
am+am+1=1 010×2=2 020,a2m=2 017.又a1+a2m=am+am+1,即a1+2 017=2 020,
a1+a2+a3=9,a1·a2·a3=24,
则3a2=9,所以a2=3,则a1+a3=6,a1·a3=8,
故 a1=2,a3=4,故
4-2
d= =1,
2
故a11+a12+a13=3a12=3×(2+11×1)=39.
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B级 关键能力提升练
12.在等差数列{an}中,若a4+a6+a8+a10+a12=120,则
A.14
B.15
C.16
1
a9- a11
3
的值为( C )
D.17
解析 设公差为 d,∵a4+a6+a8+a10+a12=120,∴5a8=120,a8=24,
1
1
2
∴a9- a11=(a8+d)- (a8+3d)= a8=16.
15.[2024山东校级高二月考]在等差数列{an}中,a1=-11,a5=-3,记
Tn=a1a2…an(n=1,2,…),则数列{Tn}( C )
A.有最大项,有最小项
B.有最大项,无最小项
C.无最 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
14.我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”,它在世界数学
史上具有光辉的一页,堪称数学史上名垂百世的成就,而且一直启发和指引
着历代数学家们.定理涉及的是数的整除问题,其数学思想在近代数学,当
代密码学研究及日常生活中都有着广泛的应用,为世界数学的发展做出了
巨大贡献,现有这样一个整除问题:将1到2 022这2 022个数中能被3除余2,
an=a1+(n-1)d得a16=137 cm;后10排(包括第16排)也成等差数列,记为{bn},则
b1=a16=137 cm,d'=10 cm,得b10=137+9×10=227(cm).
所以最后一排离教室地面的高度为227 cm.
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2
6
π
sin(a4+a6)=sin(2a5)=sin3
=
3
.
2
故选 D.
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π
a1+a5+a9= ,则
2
5.[探究点四]现有茶壶九只,容积从小到大成等差数列,最小的三只茶壶容
积之和为0.5升,最大的三只茶壶容积之和为2.5升,则第5只茶壶的容积为
的数构成首项为8,公差为105的等差数列,故an=105(n-1)+8=105n-97,
n∈N*,
令 1≤105n-97≤2
98
2 119
19
022,解得105≤n≤ 105 =20105,
因为n∈N*,所以n=1,2,3,…,20,故此数列的项数为20.
故选D.
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解记每天售出件数构成递增的等差数列{an},其公差为d1.记每天的价格构
成递减的等差数列{bn},其公差为d2.则a1=10 000,a21=15 000,b1=100,b21=60,
故
21 -1
d1=
21-1
=
15 000-10 000
21 -1
=250,d
2=
20
21-1
=
60-100
8.[探究点二·2024西藏日喀则高二期末]在等差数列{an}中,若
a1+a2+a3+a4+a5=120,则2a5-a7=
24
.
解析 因为在等差数列{an}中,有a1+a5=a2+a4=2a3,所以由
a1+a2+a3+a4+a5=120,
得5a3=120,a3=24,又a3+a7=2a5,所以2a5-a7=a3=24.
2.[探究点一]在等差数列{an}中,a3+a4+a5+a6+a7=450,则a2+a8=( A )
A.180
B.45
C.75
D.300
解析 ∵{an}是等差数列,∴a3+a4+a5+a6+a7=5a5=450,∴a5=90,
∴a2+a8=2a5=2×90=180.故选A.
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T6=-10 395×(-1)=10 395>0,
+1 1 2 …+1
又当n≥6时,Tn=a1a2a3a4a5a6…an>0,且 = … =an+1=2n-11≥1,

1 2

即Tn+1≥Tn,所以当n≥6时,数列{Tn}递增,
所以数列{Tn}无最大项,有最小项T5=-10 395.
( B )
A.0.25升
B.0.5升
C.1升
D.1.5升
解析 将九只茶壶按容积从小到大依次记为a1,a2,…,a9,
由题意可得a1+a2+a3=0.5,a7+a8+a9=2.5,
所以a1+a2+a3+a7+a8+a9=6a5=3,所以a5=0.5.故选B.
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11.[探究点四·北师大版教材习题]有一个阶梯教室,共有座位25排,第一排
离教室地面高度为17 cm,前16排前后两排高度差8 cm,从第17排起,前后两
排高度差是10 cm(含16,17排之间高度差).求最后一排离教室地面的高度.
解 前16排离地高度成等差数列,记为{an},则a1=17 cm,公差d=8 cm,n=16,由
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9.[探究点三·2024安徽宿州高二期末]设{an}是公差为正数的等差数列,若
a1+a2+a3=9,a1·a2·a3=24,则a11+a12+a13=
39
.
解析 由题意知{an}是公差为正数的等差数列,则公差为d>0,
-3 + - + + + + 3 = 28,
则
(-)( + ) = 40,
= 7,
= 7,
解得
或
=3
= -3,
所以这四个数依次为-2,4,10,16或16,10,4,-2.故选AB.
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对于D,设数列{bn}中的第k项是数列{an}中的第m项,则m=3+4(k-1)=4k-1,
所以当k=506时,m=4×506-1=2 023,即数列{bn}中的第506项是{an}中的第
2 023项,故D错误.
故选AC.
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3
3
3
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13.在1和17之间插入n个数,使这n+2个数成等差数列,若这n个数中第一个
1 25
为a,第n个为b,当 +
取最小值时,n=( D )

A.4
B.5
C.6
解析
1
25
由题意知,a+b=18,所以 +
所以a1=3.综上,该数列的首项为3.
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18.某商店出售一种儿童玩具,若每天售出件数成递增的等差数列,其中第1
天售出10 000件,第21天售出15 000件;每天的价格成递减的等差数列,第1
天每件100元,第21天每件60元.试求该店第几天收入达到最高?
3.[探究点一]已知等差数列{an}的公差为d(d≠0),且a3+a6+a10+a13=32,若
am=8,则m为( B )
A.12
B.8
C.6
D.4
解析 由等差数列性质得,
a3+a6+a10+a13=(a3+a13)+(a6+a10)=2a8+2a8=4a8=32,
∴a8=8,
又d≠0,∴m=8.
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4.[探究点二·2024 浙江杭州高二期末]在等差数列{an}中,若
sin(a4+a6)=( D )
1
A.2
解析
B.1
C.0
D.
3
2
π
π
在等差数列{an}中,3a5=a1+a5+a9= ,解得 a5= ,所以
故选C.
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16.(多选题)在等差数列{an}中,首项a1=3,公差d=-5,依次取出项的序号被4
除余3的项组成数列{bn},则( AC )
A.b1=-7
B.b2=27
C.an=8-5n
D.{bn}中的第506项是{an}中的第2 022项
5 -1 -3 + 11
解析 依题意可得公差d=
=2,an=a1+(n-1)d=-11+2n-2=2n-13,
=
5-1
4
所以当n≤6时,an<0,当n≥7时,an>0.
因为T1=-11<0,T2=-11×(-9)=99>0,T3=-11×(-9)×(-7)=-693<0,
T4=-11×(-9)×(-7)×(-5)=3 465>0,T5=3 465×(-3)=-10 395<0,
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解析 因为a1=3,d=-5,所以an=3+(n-1)×(-5)=8-5n,故C正确;
数列{an}中项的序号被4除余3的项是第3项、第7项、第11项、…,所以
b1=a3=-7,b2=a7=-27,故A正确,B错误;