高三数学上学期第一次模拟考试试题含解析 试题

高三数学上学期第一次模拟考试试题〔含解析〕
一、填空题〔本大题一一共12题，1-6每一小题4分，7-12每一小题5分，一共54分〕1．集合M＝{x|x＞2}，集合N＝{x|x≤1}，那么M∪N＝．
2．向量在向量方向上的投影为．
3．二项式〔3x﹣1〕11的二项展开式中第3项的二项式系数为．
4．复数的一共轭复数为．
5．y＝f〔x〕是定义在R上的偶函数，且它在[0，+∞〕上单调递增，那么使得f〔﹣2〕≤f〔a〕成立的实数a的取值范围是．
6．函数f〔x〕＝arcsin〔2x+1〕，那么f﹣1〔〕＝．
7．x∈R，条件p：x2＜x，条件q：≥a〔a＞0〕，假设p是q的充分不必要条件，那么实数a的取值范围是．
8．等差数列{a n}的公差d＝3，S n表示{a n}的前n项和，假设数列{S n}是递增数列，那么a1的取值范围是．
9．数字不重复，且个位数字与千位数字之差的绝对值等于2的四位数的个数为．10．过抛物线C：y2＝2x的焦点F，且斜率为的直线交抛物线C于点M〔M在x轴的上方〕，l为抛物线C的准线，点N在l上且MN⊥l，那么M到直线NF的间隔为．11．数列{a n}的前n项和为S n，对任意n∈N*，S n＝〔﹣1〕n a n++n﹣3且〔a1﹣p〕〔a2﹣p〕＜0，那么实数p的取值范围是．
12．函数f〔x〕＝关于x的不等式f〔x〕﹣mx﹣2m﹣2＜0的解集是〔x1，x2〕∪〔x3，+∞〕，假设x1x2x3＞0，那么x1+x2+x3的取值范围是．
二.选择题〔本大题一一共4题，每一小题5分，一共20分〕
13．过点〔﹣1，0〕，且与直线＝有一样方向向量的直线的方程为〔〕A．3x+5y﹣3＝0 B．3x+5y+3＝0 C．3x+5y﹣1＝0 D．5x﹣3y+5＝0 14．一个棱锥被平行于底面的平面所截截面面积恰好是棱锥底面面积的一半，那么截得的小棱锥与原棱锥的高之比是〔〕
A．1：2 B．1：8 C．：2 D．：4
15．假设圆C1：x2+y2＝1和圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y﹣k＝0没有公一共点，那么实数k的取值范围是〔〕
A．〔﹣9，11〕B．〔﹣25，﹣9〕
C．〔﹣∞，﹣9〕∪〔11，+∞〕D．〔﹣25，﹣9〕∪〔11，+∞〕
16．设H是△ABC的垂心，且3+4+5＝，那么cos∠BHC的值是〔〕A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣
三.解答题〔本大题一一共5题，一共14+14+14+16+18＝76分〕
17．如下图，圆锥SO的底面圆半径|OA|＝1，母线SA＝3．
〔1〕求此圆锥的体积和侧面展开图扇形的面积；
〔2〕过点O在圆锥底面作OA的垂线交底面圆圆弧于点P，设线段SO中点为M，求异面直线AM与PS所成角的大小．
18．设函数f〔x〕＝x2+|x﹣a|〔x∈R，a为实数〕．
〔1〕假设f〔x〕为偶函数，务实数a的值；
〔2〕设a＞，求函数f〔x〕的最小值〔用a表示〕．
19．如图，某郊外景区内一条笔直的公路a经过三个景点A、B、C，景区管委会又开发了风景优美的景点D，经测量景点D位于景点A的北偏东30°方向8km处，位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西75°方向上，AB＝5km．
〔1〕景区管委会准备由景点D向景点Bkm〕
〔2〕求景点C与景点Dkm〕
20．〔16分〕给正有理数、〔i≠j，i，j∈N*，m i，n i，m j，n j∈N*，且m i＝m j和n i ＝n j不同时成立〕，按以下规那么P排列：①假设m i+n i＜m j+n j，那么排在前面；
②假设m i+n i＝m j+n j，且n i＜n j，那么排在的前面，按此规那么排列得到数列{a n}．〔例
如：，，，……〕．
〔1〕依次写出数列{a n}的前10项；
〔2〕对数列{a n}中小于1的各项，按以下规那么Q排列：①各项不做化简运算；②分母小的项排在前面；③分母一样的两项，分子小的项排在前面，得到数列{b n}，求数列{b n}的前10项的和S10，前2021项的和S2021；
〔3〕对数列{a n}中所有整数项，由小到大取前2021个互不相等的整数项构成集合A＝{c1，c2，c3，…，c2021}，A的子集B满足：对任意的x，y∈B，有x+y∉B，求集合B中元素个数的最大值．
21．〔18分〕椭圆Γ：+＝1〔a＞b＞0〕，点A为椭圆短轴的上端点，P为椭圆上异于A点的任一点，假设P点到A点间隔的最大值仅在P点为短轴的另一端点时取到，那么称此椭圆为“圆椭圆〞，b＝2．
〔1〕假设a＝，判断椭圆Γ是否为“圆椭圆〞；
〔2〕假设椭圆Γ是“圆椭圆〞，求a的取值范围；
〔3〕假设椭圆Γ是“圆椭圆〞，且a取最大值，Q为P关于原点O的对称点，Q也异于A 点，直线AP、AQ分别与x轴交于M、N两点，试问以线段MN为直径的圆是否过定点？证明你的结论．
2021年徐汇区高考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、填空题〔本大题一一共12题，1-6每一小题4分，7-12每一小题5分，一共54分〕1．集合M＝{x|x＞2}，集合N＝{x|x≤1}，那么M∪N＝{x|x≤1或者x＞2} ．【解答】解：∵M＝{x|x＞2}，N＝{x|x≤1}，
∴M∪N＝{x|x≤1或者x＞2}．
故答案为：{x|x≤1或者x＞2}．
2．向量在向量方向上的投影为 3 ．
【解答】解：∵向量在向量，
∴cos〔，〕＝＝＝，
∴向量在向量方向上的投影为：cos〔，〕＝5×＝3，故答案为3；
3．二项式〔3x﹣1〕11的二项展开式中第3项的二项式系数为55 ．
【解答】解：二项式〔3x﹣1〕11的二项展开式的通项公式T r+1＝•〔3x〕11﹣r•〔﹣1〕r，
令r＝2，可得中第3项的二项式系数为＝＝55，
故答案为：55．
4．复数的一共轭复数为．
【解答】解：∵＝，
∴．
故答案为：．
5．y＝f〔x〕是定义在R上的偶函数，且它在[0，+∞〕上单调递增，那么使得f〔﹣2〕≤f〔a〕成立的实数a的取值范围是a≤﹣2或者a≥2 ．
【解答】解：∵函数f〔x〕是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞〕上单调递增．∴不等式f〔﹣2〕≤f〔a〕等价为f〔2〕≤f〔|a|〕，
即2≤|a|，
∴a≤﹣2或者a≥2，
故答案为：a≤﹣2或者a≥2．
6．函数f〔x〕＝arcsin〔2x+1〕，那么f﹣1〔〕＝．
【解答】解：令arcsin〔2x+1〕＝
即sin＝2x+1＝
解得x＝
故答案为：
7．x∈R，条件p：x2＜x，条件q：≥a〔a＞0〕，假设p是q的充分不必要条件，那么实数a的取值范围是〔0，1] ．
【解答】解：因为x∈R，条件p：x2＜x，所以p对应的集合为A＝〔0，1〕；
因为条件q：≥a〔a＞0〕，所以q对应的集合为B＝〔0，]；
因为p是q的充分不必要条件，
所以A⫋B，
所以，
所以0＜a≤1，
故答案为：〔0，1]．
8．等差数列{a n}的公差d＝3，S n表示{a n}的前n项和，假设数列{S n}是递增数列，那么a1的取值范围是〔﹣3，+∞〕．
【解答】解：S n＝na1+．
∵数列{S n}是递增数列，
∴S n+1＞S n，
∴〔n+1〕a1+×3＞na1+．
化为：a1＞﹣3n，对于∀n∈N*都成立．
∴a1＞﹣3．
故答案为：〔﹣3，+∞〕．
9．数字不重复，且个位数字与千位数字之差的绝对值等于2的四位数的个数为840 ．【解答】解：根据题意，0到9十个数字中之差的绝对值等于2的情况有8种：0与2，1与3，2与4，3与5，4与6，5与7，6与8，7与9
分2种情况讨论：
①当个位与千位数字为0，2时，只能千位为2，个位为0，有A82＝56种，
②当个位与千位数字为1与3，2与4，3与5，4与6，5与7，6与8，7与9时，先排
千位数字，再排十位数字，最后排个位与百位，有7×A82×A22＝784种，
一共784+56＝840；
故答案为：840．
10．过抛物线C：y2＝2x的焦点F，且斜率为的直线交抛物线C于点M〔M在x轴的上方〕，l为抛物线C的准线，点N在l上且MN⊥l，那么M到直线NF的间隔为．
【解答】解：抛物线C：y2＝2x的焦点F〔，0〕，且斜率为的直线方程为，
所以，整理得9x2﹣15x+4＝0，解得，
当x＝时，解得y＝，
设点M〔〕，
l为抛物线C的准线，点N在l上且MN⊥l，
所以N〔，〕．
所以NF的直线方程为，
所以当M〔〕到直线的间隔d＝
＝．
故答案为：
11．数列{a n}的前n项和为S n，对任意n∈N*，S n＝〔﹣1〕n a n++n﹣3且〔a1﹣p〕〔a2﹣p〕＜0，那么实数p的取值范围是〔〕．
【解答】解：数列{a n}的前n项和为S n，对任意n∈N*，S n＝〔﹣1〕n a n++n﹣3，当n＝1时，，解得，
当n＝3时，，整理得，①
当n＝4时，，整理得，②
由①②得：，
所以，整理得，
解得，
所以：实数p的取值范围是〔〕，
故答案为：〔〕．
12．函数f〔x〕＝关于x的不等式f〔x〕﹣mx﹣2m﹣2＜0的解集是〔x1，x2〕∪〔x3，+∞〕，假设x1x2x3＞0，那么x1+x2+x3的取值范围是[2﹣12，+∞〕．【解答】解：画出函数y＝f〔x〕的图象，
x的不等式f〔x〕﹣mx﹣2m﹣2＜0，
即为f〔x〕＜m〔x+2〕+2，
作出直线y＝m〔x+2〕+2，其恒过定点〔﹣2，2〕，
由解集是〔x1，x2〕∪〔x3，+∞〕，
假设x1x2x3＞0，
可得x1＜0，x2＜0，x3＞0，
当x≤﹣1时，x1，x2，是方程x2+6x+10﹣mx﹣2m﹣2＝0的两个实根；
即x2+〔6﹣m〕x+8﹣2m＝0的两个实根，∴x1+x2＝m﹣6；
当x＞﹣1时，x3是方程﹣4x+1﹣mx﹣2m﹣2＝0的实根；
∴x3＝；
∴结合图象可得m＜0，
当直线y＝m〔x+2〕+2经过〔0，1〕时，可得2m+2＝1，
解得m＝﹣；
当直线y＝m〔x+2〕+2与直线y＝1﹣4x平行时，
m＝﹣4．
由直线y＝m〔x+2〕+2在y＝f〔x〕的上方，可得
﹣4＜m＜﹣．
∴m+4＞0，
∴x1+x2+x3＝m﹣6+＝m+4+﹣12≥2﹣12＝2﹣12；
当且仅当m+4＝时，即m＝﹣4+时取等号；
故答案为：[2﹣12，+∞〕．
二.选择题〔本大题一一共4题，每一小题5分，一共20分〕
13．过点〔﹣1，0〕，且与直线＝有一样方向向量的直线的方程为〔〕A．3x+5y﹣3＝0 B．3x+5y+3＝0 C．3x+5y﹣1＝0 D．5x﹣3y+5＝0 【解答】解：由＝可得，3x+5y+8＝0，即直线的斜率﹣，
由题意可知所求直线的斜率率k＝﹣，
故所求的直线方程为y＝﹣〔x﹣1〕即3x+5y+3＝0．
应选：B．
14．一个棱锥被平行于底面的平面所截截面面积恰好是棱锥底面面积的一半，那么截得的小棱锥与原棱锥的高之比是〔〕
A．1：2 B．1：8 C．：2 D．：4
【解答】解：∵在棱锥中，平行于底面的平面截棱锥所得的截面与底面相似，
相似比等于截得的小棱锥与原棱锥对应棱长之比．
又∵一个棱锥被平行于底面的平面所截截面面积恰好是棱锥底面面积的一半，
∴相似比为1：＝：2．
那么截得的小棱锥与原棱锥的高之比是：2．
应选：C．
15．假设圆C1：x2+y2＝1和圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y﹣k＝0没有公一共点，那么实数k的取值范围是〔〕
A．〔﹣9，11〕B．〔﹣25，﹣9〕
C．〔﹣∞，﹣9〕∪〔11，+∞〕D．〔﹣25，﹣9〕∪〔11，+∞〕
【解答】解：化圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y﹣k＝0为〔x﹣3〕2+〔y﹣4〕2＝25+k，
那么k＞﹣25，圆心坐标为〔3，4〕，半径为，
圆C1：x2+y2＝1的圆心坐标为〔0，0〕，半径为1．
要使圆C1：x2+y2＝1和圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y﹣k＝0没有公一共点，
那么|C1C2|或者|C1C2|＜，
即5＞或者5，
解得﹣25＜k＜﹣9或者k＞11．
∴实数k的取值范围是〔﹣25，﹣9〕∪〔11，+∞〕．
应选：D．
16．设H是△ABC的垂心，且3+4+5＝，那么cos∠BHC的值是〔〕A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣
【解答】解：由三角形垂心性质可得，，不妨设
＝x，
∵3+4+5＝，
∴，
∴，同理可求得，
∴．
应选：D．
三.解答题〔本大题一一共5题，一共14+14+14+16+18＝76分〕
17．如下图，圆锥SO的底面圆半径|OA|＝1，母线SA＝3．
〔1〕求此圆锥的体积和侧面展开图扇形的面积；
〔2〕过点O在圆锥底面作OA的垂线交底面圆圆弧于点P，设线段SO中点为M，求异面直线AM与PS所成角的大小．
【解答】解：〔1〕圆锥SO的底面圆半径|OA|＝1，母线SA＝3．所以圆锥的高为h＝．
所以，S圆锥侧＝π•1•3＝3π．
〔2〕如下图：
在圆锥中，作MN∥SP，交OP于N，那么异面直线AM与PS所成的角为∠AMN．
依题意：AM＝，MN＝，AN＝，
所以＝，
所以面直线AM与PS所成角的大小．
18．设函数f〔x〕＝x2+|x﹣a|〔x∈R，a为实数〕．
〔1〕假设f〔x〕为偶函数，务实数a的值；
〔2〕设a＞，求函数f〔x〕的最小值〔用a表示〕．
【解答】解：〔1〕假设函数f〔x〕为偶函数，那么f〔﹣x〕＝f〔x〕对于任意实数恒成立．
即：x2+|﹣x﹣a|＝x2+|x﹣a|，所以|x+a|＝|x﹣a|恒成立，即a＝0．
〔2〕在的根底上，讨论x﹣a的符号，
①当x≥a时，f〔x〕＝x2+x﹣a，所以函数f〔x〕的对称轴为x＝，此时．
②当x＜a时，f〔x〕＝x2+x﹣a，所以函数f〔x〕的对称轴为x＝，此时．
又由于a时，，所以函数f〔x〕的最小值为．
19．如图，某郊外景区内一条笔直的公路a经过三个景点A、B、C，景区管委会又开发了风景优美的景点D，经测量景点D位于景点A的北偏东30°方向8km处，位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西75°方向上，AB＝5km．
〔1〕景区管委会准备由景点D向景点Bkm〕
〔2〕求景点C与景点Dkm〕
【解答】解：〔1〕如图，过点D作DE⊥AC于点E，过点A作AF⊥DB，交DB的延长线于点F
在Rt△DAF中，∠ADF＝30°，∴AF＝AD＝×8＝4，∴DF＝
；
在Rt△ABF中，BF＝＝3，∴BD＝DF﹣BF＝4﹣3
sin∠ABF＝，在Rt△DBE中，sin∠DBE＝，
∵∠ABF＝∠DBE，∴sin∠DBE＝，∴DE＝BD•sin∠DBE＝×〔4﹣3〕＝
≈3.1〔km〕
∴景点D向公路akm；
〔2〕由题意可知∠CDB＝75°，由〔1〕可知sin∠DBE＝＝0.8，所以∠DBE＝53°，∴∠DCB＝180°﹣75°﹣53°＝52°
在Rt△DCE中，sin∠DCE＝，∴DC＝≈4〔km〕
∴景点C与景点D之间的间隔约为4km．
20．〔16分〕给正有理数、〔i≠j，i，j∈N*，m i，n i，m j，n j∈N*，且m i＝m j和n i
＝n j不同时成立〕，按以下规那么P排列：①假设m i+n i＜m j+n j，那么排在前面；
②假设m i+n i＝m j+n j，且n i＜n j，那么排在的前面，按此规那么排列得到数列{a n}．〔例如：，，，……〕．
〔1〕依次写出数列{a n}的前10项；
〔2〕对数列{a n}中小于1的各项，按以下规那么Q排列：①各项不做化简运算；②分母小的项排在前面；③分母一样的两项，分子小的项排在前面，得到数列{b n}，求数列{b n}的前10项的和S10，前2021项的和S2021；
〔3〕对数列{a n}中所有整数项，由小到大取前2021个互不相等的整数项构成集合A＝{c1，c2，c3，…，c2021}，A的子集B满足：对任意的x，y∈B，有x+y∉B，求集合B中元素个数的最大值．
【解答】解：〔1〕依题意，数列{a n}的前10项为：，，，，，，，，，；
〔2〕依题意按规那么Q排列后得：{，，，，，，，，，，…}，∴前10项和为：S10＝+++＝5；
求前2021项的和S2021时，先确定最后一个分数的值，令2021＝1+2+3+…+n即＝2021，∴n∈〔63，64〕，
数列分母取慢2﹣64时，一共有＝2021项，所有分母为65的还有3项，即：，，，
∴数列{b n}前2021项为：{，，，，，，，，，，…，，，，}，
当n∈[2，64]时，对分母为n的小段求和：S＝+++…+＝，
∴当n∈[2，64]时，对63个小段相加求和：S′＝+++…+＝•＝1008，
S2021＝S′+＝1008，
〔3〕依题意：A＝{1，2，3，…，2021}，B＝{2021，2021，2107，2021，…，1010}一共1010项，这种情况B中的元素最多．
21．〔18分〕椭圆Γ：+＝1〔a＞b＞0〕，点A为椭圆短轴的上端点，P为椭圆上异于A点的任一点，假设P点到A点间隔的最大值仅在P点为短轴的另一端点时取到，那么称此椭圆为“圆椭圆〞，b＝2．
〔1〕假设a＝，判断椭圆Γ是否为“圆椭圆〞；
〔2〕假设椭圆Γ是“圆椭圆〞，求a的取值范围；
〔3〕假设椭圆Γ是“圆椭圆〞，且a取最大值，Q为P关于原点O的对称点，Q也异于A 点，直线AP、AQ分别与x轴交于M、N两点，试问以线段MN为直径的圆是否过定点？证明你的结论．
【解答】解：〔1〕由题意得椭圆方程：＝1，所以A〔0，2〕，
设P〔x，y〕那么|PA|2＝x2++〔y﹣2〕2＝5•〔1﹣〕+〔y﹣2〕2＝﹣y2﹣4y+9，y∈[﹣2，2]，
二次函数开口向下，对称轴y＝﹣8，y∈[﹣2，2]上函数单调递减，
所以y＝﹣2时，函数值最大，此时P为椭圆的短轴的另一个端点，
∴椭圆是“圆椭圆〞；
〔2〕由〔1〕的方法：椭圆方程：+＝1，A〔0，2〕设P〔〔x，y〕，那么|PA|2
＝x2+〔y﹣2〕2＝a2•〔1﹣〕+〔y﹣2〕2＝〔﹣+1〕y2﹣4y+4+a2，y∈[﹣2，2]，由题意得，
当且仅当y＝﹣2时，函数值到达最大，
讨论：①当开口向上时，满足：⇒⇒﹣2＜a＜2〔舍〕；
②当开口向下时，满足⇒2＜a≤2，
综上a的范围：〔2，2]．
〔3〕a＝2，椭圆方程：+＝1，由题意：设P〔2cosθ，sinθ〕，θ∈[0，2π]，且，那么Q〔﹣2cosθ，﹣sinθ〕，那么直线AP：y＝x+2⇒M 〔，0〕
那么直线AQ：y＝+2⇒N〔，0〕，
MN为直径的圆过定点C〔m，n〕那么，＝0，
所以得定点〔0，2〕．
励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

厚积薄发，一鸣惊人。

关于努力学习的语录。

自古以来就有许多文人留下如头悬梁锥刺股的经典的，而近代又有哪些经典的高中励志赠言出现呢?小编筛选了高中励志赠言句经典语录，看看是否有些帮助吧。

好男儿踌躇满志，你将如愿;真巾帼灿烂扬眉，我要成功。

含泪播种的人一定能含笑收获。

贵在坚持、难在坚持、成在坚持。

功崇惟志，业广为勤。

耕耘今天，收获明天。

成功，要靠辛勤与汗水，也要靠技巧与方法。

常说口里顺，常做手不笨。

不要自卑，你不比别人笨。

不要自满，别人不比你笨。

高三某班，青春无限，超越梦想，勇于争先。

敢闯敢拼，**协力，争创佳绩。

丰富学校体育内涵，共建时代校园文化。

奋勇冲击，永争第一。

奋斗冲刺，誓要蟾宫折桂;全心拼搏，定能金榜题名。

放心去飞，勇敢去追，追一切我们为完成的梦。

翻手为云，覆手为雨。

二人同心，其利断金。

短暂辛苦，终身幸福。

东隅已逝，桑榆非晚。

登高山，以知天之高;临深溪，以明地之厚。

大智若愚，大巧若拙。

聪明出于勤奋，天才在于积累。

把握机遇，心想事成。

奥运精神，永驻我心。

“想”要壮志凌云，“干”要脚踏实地。

**燃烧希望，励志赢来成功。

楚汉名城，喜迎城运盛会，三湘四水，欢聚体坛精英。

乘风破浪会有时，直挂云帆济沧海。

不学习，如何养活你的众多女人。

不为失败找理由，要为成功想办法。

不勤于始，将悔于终。

不苦不累，高三无味;不拼不搏，高三白活。

不经三思不求教不动笔墨不读书，人生难得几回搏，此时不搏，何时搏。

不敢高声语，恐惊读书人。

不耻下问，学以致用，锲而不舍，孜孜不倦。

博学强识，时不我待，黑发勤学，自首不悔。

播下希望，充满**，勇往直前，永不言败。

保定宗旨，砥砺德行，远见卓识，创造辉煌。

百尺高梧，撑得起一轮月色;数椽矮屋，锁不住五夜书声。