分形几何与动力系统的若干问题分析

分形几何与动力系统的若干问题分析摘要：分形几何的应用使越来越多的学科开始变得愈加精密。

传统的几何解决办法，不能够有效地解决问题，而分形几何因其图形自相似层次结构和无限复杂分析对象的适用性开始被越来越多的学科采用。

笔者对几何分形与动力系统的关系及其若干问题进行了分析。

关键词：分形几何；离散动力系统；单调动力系统
AnalysisofSomeProblemsinFractalGeometryandDynamicalSystems DUYanhong
（PolytechnicInstituteTaiyuanUniversityofTechnology，Taiyuan030021，China）
Keywords：fractalgeometry；discretedynamicalsystem；monotonicdynamicalsystem
1分形幾何产生的背景
进入20世纪以后，科学技术的飞速发展，特别是计算机的普及以及欧式几何存在缺陷，人们开始探寻新的计算方法。

随着人们结构的改变，其对世界的认识也发生了很大的变化，其发现欧式几何不再适合对复杂结构进行分析，如花瓣的形态，木板的裂纹等，所以其开始探寻新的计算方法，以满足复杂结构分析的需要。

20世纪中期B.B.Mandelbro提出来了这样一个问题，英格兰的海岸线到底有多长？这个问题大部分人都会用相似的折线来代替弯弯曲曲的海岸线来近似计算，但是海岸线大部分并不是直线，而是弯曲的圆弧，用相
似折线来代替弯曲弧线的近似计算结果显然会与实际长度存在较大出入，
这个问题的提出对以欧氏几何为核心的传统几何提出了挑战。

几何学是一门数学学科，其又可分为欧式几何、分形几何等。

传统的
几何主要解决规则图形问题，而对于复杂的图形或者线条问题，比如断裂
曲线的长度、山的体积、云朵的轮廓，其往往不能够有效解决。

传统的几
何解决方式，与当时人们的认识水平，理解及解决问题的能力相符合，与
当时的生产力水平相适应，能够解决实际应用中的各种问题。

但是随着社
会的发展和科技的不断进步，传统几何不能够有效解决当今实际应用中的
问题，例如其不能达到计算复杂线条，复杂轮廓，及精度要求，其弊端日
益显现出来，于是分形几何就诞生了。

为便于读者更好地理解分形几何，
我们提出以下设想。

试问：亚洲的精确面积有多大？亚洲的边境线有多长？
传统几何解决这一类问题时必须把其细化成极小的微原单位，然后累
积计算，计算量大且困难。

于是B.B.Mandelbrot在1975年提出分形概念，分形的本意是破碎的，不规则的。

具有分形结构的事物基本特征是：其组
成部分与整体以某种方式相似，即自相似或仿射相似。

1.1自相似
常规自相似分为三类：1.简单自相似图形；2.特殊自相似图形；3.复
杂自相似图形。

在费教授的文献中，自相似分为两类，大体可以概括为：
数学理想情况下，物体放大或者缩小后与原来物体形体一致。

其分形集有Cantor集、Koch典线、Sierpinski垫片及Vicsek图形等；还有一种是
实际存在的自相似，实际存在的嵌套：无穷嵌套自相似。

1.2分形几何定义
到目前为止，分形还没有一个完全严格的公认的定义。

一般如果称集
合F是分形，即认为它具有以下典型性质：
（1）F具有精细的结构，在极小的尺度下都有复杂的细节；
（2）F非常不规则，导致他的整体和局部都不能用准确的文字描述；
（3）F具有自相似性，可以是形状的，也可以是数字的；
（4）F在某种意义下的分形维数通常大于它的拓扑维数；
（5）F能由迭代产生。

1.3分数维数是分形几何的重要标准之一
我们通常通过一个模型的维数来形容这个图形，它表达了物体空间占
有度。

相应的维数越高，这个图形越复杂，越难以描述。

例如欧式空间几何维数，当线段长度变成原来的2倍时，则长度乘以2，当二维图形边长放大2倍时，则面积变成原来的2的平方倍，相应的
n维图形边长变成原来的2倍时，则其面积变成原来的2的n次方倍。

维
数越高越复杂。

1.4Hausdorff维数计算
自相似集是最简单的集合，通过Hausdorff可以得到完美结果，但自
相似集结构特点导致Hausdorff发展进展缓慢。

想要解决这一个问题，必
须通过上凸密度来计算，在某种意义上，上凸密度的计算与Hausdorf测
度计算是一样的。

1.5分形几何自身的问题
第一，怎样用分形理论求取物性参数，以建立物性参数的分形模型。

第二，研究对象分形与否不确定。

分形目前在数学上没有一个明确的定义，当遇到数量有限的情况时，按照比例划分。

目前分形中存在许多不确定的因素，因此运用有效的办法给分形下定义十分必要。

第三，分形重构问题。

分形有正问题和反问题。

分形的正问题是通过有轨迹的放大或者迭代产生，其结果具有自相似。

反问题也可以叫做分形重构，它是指给定一个具有自相似特征的对象，找到其生成规律或以某种方式使其生成。

但是重构出的对象如何，是否与原图形自相似都需进一步的验证。

分形重构研究尚处于起步阶段，对于这些问题的解决需要进行更深入的研究。

第四，分形产生原因。

对于分形产生原因的解释目前有两类：一类认为和分形最终现象有关；另一类认为，在该系统演化过程中出现过很多状态和集合，这些状态是独立的，分形的。

2动力系统
动力系统中常用的基本概念熵，在动力系统中非常重要。

熵是描述物体运动混乱度的一个参量，非常重要。

在大多数情况下，我们把物体简单规则运动称为零熵，把物体复杂运动称为正熵。

所以，怎样判断物体是零熵还是正熵或是简单运动还是复杂运动非常重要。

因零熵运动便于计算，所以在大多数情况下，零熵是我们最希望看到的。

因此我们通常在诸多运动中寻找并证明物体是零熵运动，但寻找难度较大，且判断经常有误。

下面我们就来简单探讨分形几何和动力系统的若干问题：
问题一：在什么条件下，等式H"（E）=EY成立？
在对自相似集不断研究的基础上，周教授于2003年在“全国数学分形理论与动力系统学术研讨会”上提出这样一个话题，维数是否大于1给
分形的性质带来了极大的影响，这个问题关系到上凸密度、最好覆盖等性质。

同时，其还提出了相似压缩不动点，得到了相似集的上凸密度，并且
证明了估算原理成立条件，解决了相似集上凸密度上下限的估计问题。

半序Banach空间非线性算子关于动力系统的动力学问题。

半序Banach空间非线性算子通过迭代后，离散（半）动力系统不动点存在唯
一性与全局渐近稳定性。

非线性积分方程以及单调动力系统和竞争生态系
统通过运用非线性算子的动力学理论，得到了非线性积分方程的解的存在、迭代收敛性、唯一性等许多有用的结果。

对于这些理论研究；非线性算子离散动力系统不动点的唯一性与全局
渐近稳定性结果的运用，极大的促进了非线性动力学的稳定性理论，无论
是对动力系统还是竞争生态系统，这些研究都有重要的价值。

问题二：Hausdorff的准确度。

分形几何对研究不规则物体形状的作用巨大。

在日常生活中，诸多问
题都需要用几何分形来解决，几何分形在数学、在化学、物理、光学、生
物学等方面应用广泛，且这些应用都基于Hausdroff维数理论研究。

Hausdroff维数与Hausdroff测度是分形几何研究的重要组成部分，虽然Hausdoff维数与Hausdorf测度能够清晰描述和反映任何几何，但它们是
两个不同的概念，Hausdroff测度决定了Hausdroff维数，其能够体现物
体的不规则程度，但是其相关研究进展缓慢。

与之相反，经过努力，近年
来Hausdorf维数的计算与估计取得了很大进步。

但至今为止，Hausdroff
测度和Haudroff维数还没有准确的估计测算值。

近年来，关于满足开集条件的自相似集的研究进展较快，且取得了显
著成果，但Hausdoff测度计算研究还迟步不前，人们对其形状结构认识
比较模糊，无法对其进行具体研究。

但专家学者并没有因此就放弃研究，
而是仍致力于Hausdoff测度研究。

20世纪后期，加拿大学者J.Marion
提出了关于Koch曲线和Sierpinski垫片的Hausdoff测度猜测，此后十
年间，此问题研究一直停滞不前；1998年，周教授提出了关于自相似集
的部分估计原理，并且利用这个原理对Koch曲线和Sierpinski垫片的Hausdorf测度进行了比较好的估计；1999年周教授否定了加拿大学者的
两个估计；2022年，周教授第一次计算出平面上维数为1的分形的准确值，并先后提出了关于Hausdorf测度与拓扑熵等多个问题，Hausdorf测
度研究取得了里程碑式的进展。

目前为止，我们对维数不超过1的分形Hausdof测度计算研究取得了
较大突破。

但对于维数大于1的分形Hausdof测度计算研究仍然进展缓慢。

1976年，保序算子被H.Aman提出，此后八年间，混合单调算子被郭大均
和Skemilathan提出，1999年ascending算子被提出，保序算子、混合
单调算子、ascending算子是三種非常重要的非线性算子。

数据显示，过
去对于这些非线性算子的研究都是单独进行，而没有对其进行综合研究，
到目前为止对这些非线性算子的研究还是方法各异，没有达成一致。

对于
混合单调算子的研究一般孤立进行，不考虑其与其他算子之间的相互影响。

混合单调算子是一类十分重要的非线性算子，广泛存在于非线性微分
方程和积分方程的研究中。

设E是半序Banach空间，DCE，A：DxD→E是
混合单调算子。

研究混合单调算子可以分成两种情况，一种是其定义域为
序区间的Descartes集；另一种是其定义域为凸锥的Descartes集。

而后
者-般考虑算子的某种凹凸性，因为凸维的范围往往比序区间的范围大得多，这就为验证算子的某种凹凸性带来不便，将定义域为P限制在序区间
上讨论，引入序区间上一元中φ凹（凸）算子，得到了不动点的存在唯
一性，把具有二元凹（（-4）凸）性的混合单调算子限制在序区间的Descartes集上，即讨论序区间Descartes集上二元凹（（-中）凸）混
合单调算子，同样得到了不动点的存在唯一性与迭代收敛性，进而得到了-类混合单调算子的若干新不动点定理。

（具体验证步骤请参考周作领《自相似集的结构》）。

3结论
这些年来，一些学者对Banach空间线性算子迭代的动力学的研究，取得了令人瞩目的成就。

1999年，Karl-goswin对动力学的研究取得了若干成果。

2003年，NothS.Feldma对常规条件下线性算子的轨道研究也取得了显著成果。

其实在实际应用中，线性算子占比很小，大部分还是非线性算子，而非线性算子杂乱无章，难以研究。

大家都知道，动力系统中最重要、最简单的是自相似集，它可以用维数来表示，如Husdorff、Packing、Bouligar等。

维数的大小表达了集合的复杂程度。

Hausdorf测度与Hausdorf维数理论是分形理论的基础，Hausdorf维数与Hausdorf 测度能非常精确地反映物体结构的复杂程度，所以对Hausdorf测度和Hausdrof维度进行研究意义重大。