高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.1.1 空间向量及其线性运算学案 苏教版选修21

3.1.1 空间向量及其线性运算
学习目标 1.了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示与字母表示.2.掌握空间向量的线性运算(加法、减法和数乘)及其运算律．
知识点一 空间向量的概念
思考 类比平面向量的概念，给出空间向量的概念． 答案 在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量．
梳理 (1)在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模． 空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，向量a 的起点是A ，终点是B ，则向量a 也可记作AB →，其模记为|a |或|AB →|. (2)几类特殊的空间向量
知识点二 空间向量及其线性运算 1．空间向量的线性运算
已知空间向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，AB →
＝c ，与平面向量的运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算的意义为： OB →＝OA →＋AB →
＝a ＋c ； BA →＝OA →－OB →
＝a －b ＝－c .
若P 在直线OA 上，则OP →
＝λa (λ∈R )． 2．空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律： (1)a ＋b ＝b ＋a ；
(2)(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )； (3)λ(a ＋b )＝λa ＋λb (λ∈R )．
知识点三 共线向量(或平行向量)
1．定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．若向量a 与b 平行，记作a ∥b ，规定零向量与任意向量共线． 2．共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b (a ≠0)，b 与a 共线的充要条件是存在实数λ，使b ＝λa .
1．在空间中，单位向量唯一．(×)
2．在空间中，任意一个向量都可以进行平移．(√) 3．在空间中，互为相反向量的两个向量必共线．(√)
4．空间两非零向量相加时，一定可用平行四边形法则运算．(×)
类型一 空间向量的概念及应用
例1 如图所示，以长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中：
(1)试写出与AB →
相等的所有向量； (2)试写出AA 1—→
的相反向量；
(3)若AB ＝AD ＝2，AA 1＝1，求向量AC 1—→
的模．
解 (1)与向量AB →相等的所有向量(除它自身之外)有A 1B 1—→，DC →及D 1C 1—→
，共3个． (2)向量AA 1—→的相反向量有A 1A —→，B 1B —→，C 1C —→，D 1D —→
，共4个． (3)|AC 1—→|＝
|AB →|2＋|AD →|2＋|AA 1—→|2
＝22
＋22
＋12
＝9＝3. 引申探究
如图，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB ＝3，AD ＝2，AA ′＝1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：
(1)单位向量共有多少个？
(2)试写出模为5的所有向量．
解 (1)由于长方体的高为1，所以长方体的四条高所对应的向量AA ′—→，A ′A —→，BB ′—→，B ′B —→
，
CC ′—→，C ′C ——→，DD ′—→，D ′D ——→
，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单
位向量共有8个．
(2)由于长方体的左右两侧面的对角线的长均为5，故模为5的向量有AD ′—→，D ′A ——→
，A ′D ——→，DA ′—→，BC ′—→，C ′B ——→，B ′C ——→，CB ′—→.
反思与感悟 在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反． 跟踪训练1 给出以下结论：
①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同； ②若空间向量a ，b 满足|a |＝|b |，则a ＝b ； ③在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1→
； ④若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p . 其中不正确的命题的序号为________． 答案 ①②
解析 两个空间向量相等，它们的起点、终点不一定相同，故①不正确；若空间向量a ，b 满足|a |＝|b |，则不一定能判断出a ＝b ，故②不正确；在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，必有AC →
＝A 1C 1—→
成立，故③正确；④显然正确．
类型二 空间向量的线性运算
例2 如图，已知长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．
(1)AA ′—→－CB →； (2)AA ′—→＋AB →＋B ′C ′——→.
解 (1)AA ′—→－CB →＝AA ′—→－DA →＝AA ′—→＋AD →＝AD ′—→
.
(2)AA ′—→＋AB →＋B ′C ′——→＝(AA ′—→＋AB →)＋B ′C ′——→＝AB ′—→＋B ′C ′——→＝AC ′—→. 向量AD ′—→，AC ′—→
如图所示．
引申探究
利用本例题图，化简AA ′—→＋A ′B ′——→＋B ′C ′——→＋C ′A —→
. 解 结合加法运算，得
AA ′—→＋A ′B ′——→＝AB ′—→，AB ′—→＋B ′C ′——→＝AC ′—→，AC ′—→＋C ′A —→
＝0.
故AA ′—→＋A ′B ′——→＋B ′C ′——→＋C ′A —→
＝0.
反思与感悟 1.化简向量表达式时，要结合空间图形，分析各向量在图形中的表示，然后利用运算法则，把空间向量转化为平面向量解决，并化简到最简为止．
2．首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；若首尾相接的若干个向量构成一个封闭图形，则这些向量的和为0.
跟踪训练2 在如图所示的平行六面体中，求证：AC →＋AB ′—→＋AD ′—→＝2AC ′—→
.
证明 ∵平行六面体的六个面均为平行四边形， ∴AC →＝AB →＋AD →，AB ′—→＝AB →＋AA ′—→，AD ′—→＝AD →＋AA ′—→， ∴AC →＋AB ′—→＋AD ′—→
＝(AB →＋AD →)＋(AB →＋AA ′—→)＋(AD →＋AA ′—→) ＝2(AB →＋AD →＋AA ′—→
)． 又∵AA ′—→＝CC ′—→，AD →＝BC →，
∴AB →＋AD →＋AA ′—→＝AB →＋BC →＋CC ′—→＝AC →＋CC ′—→＝AC ′—→. ∴AC →＋AB ′—→＋AD ′—→＝2AC ′—→. 类型三 向量共线定理的理解与应用
例3 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E —→＝2ED 1—→
，F 在对角线A 1C 上，且A 1F —→＝23
FC —→.
求证：E ，F ，B 三点共线． 证明 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1—→
＝c ， 因为A 1E —→＝2ED 1—→，A 1F —→＝23FC →，
所以A 1E —→＝23A 1D 1—→，A 1F —→＝25A 1C —→，
所以A 1E —→＝23AD →＝2
3
b ，
A 1F —→＝25(AC →－AA 1—→)＝25(A
B →＋AD →－AA 1—→
)
＝25a ＋25b －25
c . 所以EF →＝A 1F —→－A 1E —→＝25a ＋25b －25c －23b ＝25a －415b －25c ＝25⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23b －c .
又EB →＝EA 1—→＋A 1A —→＋AB →
＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ，
所以EF →＝25
EB →
，
又因为EF →与EB →
有公共点E ，所以E ，F ，B 三点共线．
反思与感悟 1.判定共线：判定两向量a ，b (b ≠0)是否共线，即判断是否存在实数λ，使
a ＝λ
b .
2．求解参数：已知两非零向量共线，可求其中参数的值，即利用若a ∥b ，则a ＝λb (λ∈R )．
3．判定或证明三点(如P ，A ，B )是否共线 (1)是否存在实数λ，使PA →＝λPB →
. (2)对空间任意一点O ，是否有OP →＝OA →＋tAB →
.
(3)对空间任意一点O ，是否有OP →＝xOA →＋yOB →
(x ＋y ＝1)．
跟踪训练3 如图，在四面体ABCD 中，点E ，F 分别是棱AD ，BC 的中点，用AB →，CD →
表示向量EF →.
解 EF →＝AF →－AE → ＝12(AB →＋AC →)－12
AD → ＝12AB →－12(AD →－AC →)＝12AB →－12
CD →.
1．下列说法中正确的是________．(填序号)
①若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等，方向相同或相反； ②若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |； ③空间向量的减法满足结合律； ④在四边形ABCD 中，一定是AB →＋AD →＝AC →. 答案 ②
解析 若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等，方向不确定，故①不正确；相反向量是指长度相同，方向相反的向量，故②正确；空间向量的减法不满足结合律，故③不正确；在▱ABCD 中，才有AB →＋AD →＝AC →
，故④不正确．
2．在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′的各条棱所在的向量中，与向量A ′B ′→
相等的向量有________个．
答案 3
3．在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，已知下列各式：
①(AB →＋BC →)＋CC 1—→；②(AA 1—→＋A 1D 1—→)＋D 1C 1—→；③(AB →＋BB 1—→)＋B 1C 1—→；④(AA 1—→＋A 1B 1—→)＋B 1C 1—→.其中运算的结果为AC 1—→
的有________个． 答案 4
解析 根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断：①(AB →＋BC →)＋CC 1—→＝AC →
＋CC 1—→＝AC 1—→；
②(AA 1—→＋A 1D 1—→)＋D 1C 1—→＝AD 1—→＋D 1C 1—→＝AC 1—→； ③(AB →＋BB 1—→)＋B 1C 1—→＝AB 1—→＋B 1C 1—→＝AC 1—→； ④(AA 1—→＋A 1B 1—→)＋B 1C 1—→＝AB 1—→＋B 1C 1—→＝AC 1—→. 所以4个式子的运算结果都是AC 1—→
.
4．化简2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →
＝________. 答案 0
解析 2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →＝2AB →＋2BC →＋2CD →＋2DA →＋CD →＋DA →＋AC →
＝0. 5．若非零空间向量e 1，e 2不共线，则使k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线的k ＝________. 考点 空间向量的数乘运算 题点 空间共线向量定理及应用 答案 ±1
解析 由k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线， 得k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)，
即⎩
⎪⎨
⎪⎧
k ＝λ，1＝λk ，故k ＝±1.
空间向量加法、减法运算的两个技巧：
(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．
(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．
一、填空题
1．下列命题中，假命题是________．(填序号) ①任意两个向量都是共面向量；
②空间向量的加法运算满足交换律及结合律； ③只有零向量的模等于0； ④共线的单位向量都相等． 答案 ④
解析 容易判断④是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量．
2．已知空间四边形ABCD 中，AB →＝a ，BC →＝b ，AD →＝c ，则CD →
＝________.(用a ，b ，c 表示) 答案 c －a －b 解析 如图，
∵AB →＋BC →＋CD →＋DA →
＝0， 即a ＋b ＋CD →
－c ＝0， ∴CD →
＝c －a －b .
3．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB →－CD →＋BC →－DA →
＝________. 答案 2AC →
解析 AB →－CD →＋BC →－DA →＝(AB →＋BC →)－(CD →＋DA →) ＝AC →－CA →＝2AC →.
4．对于空间中的非零向量AB →，BC →，AC →
，有下列各式：
①AB ＋BC →＝AC →；②AB →－AC →＝BC →；③|A B →|＋|B C →|＝|A C →|；④|A B →|－|A C →|＝|B C →
|.其中一定不成立的是____________．(填序号) 答案 ②
解析 根据空间向量的加减法运算，对于①：A B →＋B C →＝A C →恒成立；对于③：当A B →，B C →
，
A C →方向相同时，有|A
B →|＋|B
C →|＝|A C →|；对于④：当B C →，A B →，A C →在一条直线上且B C →与
A B →，A C →方向相反时，有|A B →|－|A C →|＝|B C →|.
只有②一定不成立．
5．在三棱锥A －BCD 中，若△BCD 是正三角形，E 为其中心，则AB →＋12BC →－32DE →－AD →
化简的结
果为________． 答案 0
解析 延长DE 交边BC 于点F ，则AB →＋12BC →＝AF →，32DE →＋AD →＝DF →＋AD →
＝AD →＋DF →＝AF →
，
故AB →＋12BC →－32
DE →－AD →＝AF →－AF →
＝0.
6.如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB →＋AD →＋AA 1→＝________，DD 1→－AB →＋BC →＝________.
答案 AC 1—→ BD 1—→
解析 AB →＋AD →＋AA 1—→＝AB →＋BC →＋CC 1—→＝AC 1—→， DD 1—→－AB →＋BC →＝DD 1—→－(AB →－AD →) ＝DD 1—→－DB →＝BD 1—→.
7．在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，若C A →＝a ，C B →＝b ，C C →1＝c ，则A 1B —→
＝________.
答案 －a ＋b －c 解析 如图，
A 1
B —→＝A 1A —→＋AB →＝
C 1C —→＋(CB →－CA →) ＝－CC 1—→＋CB →－CA →
＝－c ＋b －a .
8．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1E —→＝14A 1C 1—→，AE →＝x AA 1—→＋y (AB →＋AD →
)，则x ＝________，y
＝________. 答案 1 1
4
解析 ∵AE →＝AA 1—→＋A 1E —→＝AA 1—→＋14A 1C 1—→
＝AA 1—→＋14AC →＝AA 1—→＋14(AB →＋AD →)，
∴x ＝1，y ＝1
4
.
9．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若点F 是侧面CD 1的中心，且AF →＝AD →＋mAB →－n AA 1—→
，则m ，
n 的值分别是________．
答案 12，－12
解析 由于AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋12(DC →＋DD 1—→)
＝AD →＋12AB →＋12AA 1—→，
所以m ＝12，n ＝－12
.
10．在空间四边形ABCD 中，若E ，F ，G ，H 分别为AB ，BC ，CD ，DA 边上的中点，则下列各式中成立的是________．(填序号) ①EB →＋BF →＋EH →＋GH →
＝0； ②EB →＋FC →＋EH →＋GE →
＝0； ③EF →＋FG →＋EH →＋GH →
＝0； ④EF →－FB →＋CG →＋GH →
＝0. 答案 ②
解析 易知四边形EFGH 为平行四边形， 所以EB →＋FC →＋EH →＋GE →＝EB →＋BF →＋GE →＋EH → ＝EF →＋GH →
＝0.
11.如图，已知在空间四边形ABCD 中，AB →＝a －2c ，CD →＝5a ＋6b －8c ，对角线AC ，BD 的中点
分别为E ，F ，则EF →＝________.(用向量a ，b ，c 表示)
答案 3a ＋3b －5c
解析 设G 为BC 的中点，连结EG ，FG ，则EF →＝EG →＋GF →
＝12AB →
＋12CD →
＝12(a －2c )＋12(5a ＋6b －8c )
＝3a ＋3b －5c
二、解答题
12.如图所示，在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，化简下列表达式．
(1)AB →＋BC →；
(2)AB →＋AD →＋AA ′—→；
(3)AB →＋CB →＋AA ′—→；
(4)AC ′—→＋D ′B —→－DC →.
解 (1)AB →＋BC →＝AC →.
(2)AB →＋AD →＋AA ′—→＝AC →＋AA ′—→
＝AC ′—→.
(3)AB →＋CB →＋AA ′—→＝AB →＋DA →＋BB ′—→＝DA →＋AB →＋BB ′—→＝DB ′—→.
(4)AC ′—→＋D ′B —→－DC →＝(AB →＋BC →＋CC ′—→)＋(DA →＋DC →＋C ′C —→)－DC →＝DC →.
13.如图，设O 为▱ABCD 所在平面外任意一点，E 为OC 的中点，若AE →＝12
OD →＋xOB →＋yOA →，求x ，y 的值．
解 ∵AE →＝AB →＋BC →＋CE →
＝OB →－OA →＋OC →－OB →－12
OC → ＝－OA →＋12OC →＝－OA →＋12
(OD →＋DC →) ＝－OA →＋12
(OD →＋AB →) ＝－OA →＋12OD →＋12
(OB →－OA →) ＝－32OA →＋12OD →＋12
OB →， ∴x ＝12，y ＝－32
. 三、探究与拓展
14．设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，且
A ，
B ，D 三点共线，则k ＝________.
答案 －8
解析 ∵BD →＝BC →＋CD →＝(－e 1－3e 2)＋(2e 1－e 2)＝e 1－4e 2，
又∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →＝λBD →，
即2e 1＋k e 2＝λ(e 1－4e 2)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2＝λ，k ＝－4λ，∴k ＝－8.
15.如图，设点A 是△BCD 所在平面外的一点，点G 是△BCD 的重心． 求证：AG →＝13(AB →＋AC →＋AD →
)．
证明 连结BG ，延长后交CD 于点E ，由点G 为△BCD 的重心，知BG →＝23BE →
.
∵E 为CD 的中点，
∴BE →＝12BC →＋12BD →
.
∴AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE →
＝AB →＋13(BC →＋BD →
)
＝AB →＋13[(AC →
－AB →)＋(AD →－AB →)]
＝13(AB →＋AC →＋AD →)．。