周期为L的周期函数的傅立叶级数

河海大学理学院《高等数学》
nx an F ( x ) cos dx l l l l 1 l nx f ( x ) cos dx l l l 1
l

a0 n n x bn sin x) ∴ f ( x ) ( an cos 2 n 1 l l 1 l n 其中 an f ( x ) cos xdx, l l l x bn 1 l f ( x ) sin n xdx. z l l l
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k k nx n f ( x ) [1 ( 1) ]sin 2 n 1 n 2
k 1 2 n (1 cos n ) bn k sin xdx n 2 0 2 k n [1 ( 1) ] n
1 2 n k cos xdx 0, 2 0 2
( n 1,2,)
三、小结
以2l为周期的傅氏系数; 利用变量代换求傅氏展开式; 求傅氏展开式的步骤; 1.画图形验证是否满足狄氏条件(收敛域,奇偶性);
2.求出傅氏系数;
3.写出傅氏级数,并注明它在何处收敛于 f ( x ).
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l px 0 x 2 2 1.将M ( x ) 展开成正弦级数 . p( l x ) l x l n 1 2 2 ( 1) 2 2 pl bn 0( n 2,4,), bn ( n 1,3,). 2 2 n 0 1 x 0 2.设f ( x ) S ( x )为f ( x )的 傅 立 叶 级 数 2 x 1 0 x 1
0 2 x 0 上的表达式为 f ( x ) , 将其展 k 0 x 2 y
成傅氏级数. . 解 l 2, 满足狄氏充分条件
k
1 0 1 2 a0 0dx kdx 2 2 2 0
k,
4
2
0
2
4
x
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an
( x ; x 0,2,4,) k x ＝ 2n ( n ＝ 0，1，2，…）时，F — 级数收敛于 . 2
同理可证 bn .

l
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注: (1) 如果f ( x )为奇函数, 则有 nx f ( x ) bn sin , l n 1 2 l nx 其中系数 bn为 bn f ( x ) sin dx, l 0 l ( n 1,2,) ( 2) 如果f ( x )为偶函数, 则有
1 l nx bn f ( x ) sin dx , l l l
( n 1, 2,)
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f ( x )定义在 (l , l )上也行 .
x 证明 令z , l x l z , l lz 设f ( x ) f ( ) F ( z ), F ( z )以2为周期.
2 l nx 其中系数 an为 an f ( x ) cos dx l 0 l
a0 nx f ( x ) an cos , 2 n 1 l
f ( x )定义在 (0, l )上也行 . ( Fra bibliotek 0,1,2,)
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二、典型例题
例 1 设 f ( x ) 是周期为 4 的周期函数,它在[ 2,2)
结论仍是: 连续点收敛于自己 , 间断点收敛于左右极限 的平均值.
a0 F ( z ) (an cos nz bn sin nz ), 2 n 1 1 其中 an F ( z ) cos nzdz, 1 bn F ( z ) sin nzdz.
高 等 数 学 (下)
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第十二章
级数
高等数学（下）
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第四节 以2L为周期的傅氏级数
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一、以2L为周期的傅氏级数
定理 设周期为 2l的周期函数f ( x )满足Dirichle
收敛定理的条件 , 则它的傅里叶级数展开 式为 a0 nx nx f ( x ) ( an cos bn sin ), 2 n 1 l l 其中系数 an , bn为 1 l nx an f ( x ) cos dx, ( n 0,1, 2,) l l l
XT
1 求S ( ), S (0), S (1), S ( 2) 2 1 1 3 1 S ( ) 0, S (0) , S (1) , S ( 2) . 2 2 2 2
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