课件6：5.4.3 正切函数的性质与图象

【思考】 (1)正切函数在整个定义域上都是增函数吗?
提示:不是. 正切函数在每一个区间(- + kπ, +kπ)(k∈Z)上是增函数. 但在整个定义域上不是增函数. (2)函数 y=tan x 的图象的对称中心是(kπ, 0)(k∈Z)吗?
提示:不是,y=tan x 的图象的对称中心是( kπ,0)(k∈Z).
是 (-π+4kπ,3π+4kπ)(k∈Z). 解析:y=tan(- x+ )=-tan( x- ), 由- +kπ< x- < +kπ(k∈Z),得-π+4kπ<x<3π+4kπ(k∈Z), 所以函数 y=tan(- x+ )的单调递减区间是 (-π+4kπ,3π+4kπ)(k∈Z).
(2)利用正切函数的单调性比较下列两个函数值的大小: ①tan(- )与 tan(- ); ②tan 2 与 tan 9.
【基础自测】
1.函数 y=tan x - ≤x≤ ,且 x≠0 的值域是( )
A.[-1,1]Biblioteka B.[-1,0)∪(0,1]
C.(-∞,1]
D.[-1,+∞)
解析:根据正切函数的单调性可得.
答案:B
2.函数 y=
是( )
A.奇函数 C.既是奇函数也是偶函数
B.偶函数 D.非奇非偶函数
解析:设 y=f(x)=
又因为 y=tan x 在区间(- , )上是增函数, 所以 tan(2-π)<tan(3-π)<tan 1,即 tan 2<tan 3<tan 1.
探索点三 正切函数的图象与性质的综合问题 【例 3】作出函数 y=|tan x|的图象,并根据图象判断其单调 区间、奇偶性、周期性.
解:由 y=|tan x|,得 y=
2kπ- <x<2kπ+ (k∈Z),所以原函数的单调递增区间为
(2kπ- ,2kπ+ )(k∈Z),故选 B. 答案:B
3.比较 tan 1,tan 2,tan 3 的大小.
解:tan 2=tan(2-π),tan 3=tan(3-π), 因为 <2<π,所以- <2-π<0.
因为 <3<π,所以- <3-π<0，所以- <2-π<3-π<1< .
【跟踪训练】 1.函数 y=tan x( ≤x≤ ,且 x≠ )的值域是 (-∞,-1]∪[1,+∞) . 解析:函数 y=tan x 在区间[ , )上单调递增, 在( , ]上单调递增,所以函数的值域是(-∞,-1]∪[1,+∞).
探索点二 正切函数的单调性及应用 【例 2】 (1)函数 y=tan(- x+ )的单调递减区间
【跟踪训练】 4.将本例中的函数变为 f(x)=tan |x|,求其单调区间、周期 性、奇偶性. 解:f(x)=tan |x|化为 f(x)=
根据 y=tan x 的图象,作出 f(x)=tan |x|的图象,如图所示, 由图象知,f(x)不是周期函数,是偶函数,单调递增区间 [0, ),(kπ+ ,kπ+ π)(k∈N); 单调递减区间为 (- ,0],(kπ- π,kπ- ((k=0,-1,-2,…).
(2)因为- <x< ,所以- <2x- < ,
所以 tan(2x- )<1,即原函数的值域为(-∞,1).
方法规律 求正切函数的定义域的方法 (1)求与正切函数有关的函数的定义域时,除了求函数定义域的 一般要求外,还要保证正切函数 y=tan x 有意义,即 x≠ +kπ,k∈Z. (2)求正切型函数 y=Atan(ωx+φ)(A≠0,ω>0)的定义域时,要将 “ωx+φ”视为一个整体,令 ωx+φ≠kπ+ ,k∈Z,解得 x 的范围.
点( ,0)(k∈Z)中心对称,令 x+φ= ,k∈Z,得 x= -φ,k∈Z,分别 令 k=1,2 知 B,C 项正确,D 项显然正确. 答案:BCD
【课堂建构】
本课结束
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【重点探究】
探索点一 正切函数的定义域、值域问题
【例 1】(1)函数 y=3tan
- 的定义域为 {x|x≠-
-4kπ,k∈Z}
.
(2)函数 y=tan(2x- ),x∈(- , )的值域为 (-∞,1) .
解析:(1)由 - ≠ +kπ,k∈Z,得 x≠- -4kπ,k∈Z,
即原函数的定义域为{x|x≠- -4kπ,k∈Z}.
5.已知函数 f(x)=tan( x+ ), (1)求 f(x)的最小正周期和定义域; (2)求 f(x)的单调区间.
解:(1)对于函数 f(x)=tan( x+ ),它的最小正周期为 =2,
令 x+ ≠kπ+ ,k∈Z,得 x≠2k+ ,k∈Z, 所以函数 f(x)=tan( x+ )的定义域为{x|x≠2k+ ,k∈Z}.
解:①因为 tan(- )=tan(-π- )=tan(- ), tan(- )=tan(-2π+ )=tan , 又因为函数 y=tan x 在区间(- , )上是增函数,- <- < < , 所以 tan(- )<tan ,即 tan(- )<tan(- ). ②tan 9=tan(9-2π), <2<9-2π<π, 因为函数 y=tan x 在区间( ,π)上是增函数,
函数
y=tan x,x∈R
周期 奇偶性
最小正周期为 π 奇函数
单调性 在每一个区间(- +kπ, +kπ)(k∈Z)上都单调递增 .
值域
R
2.正切函数的图象
(1)正切函数的图象如右图所示.
(2)正切函数的图象叫做
正切曲线 .
(3)正切函数的图象的特征: 正切曲线是被与 y 轴平行的一系列直线 x= +kπ,k∈Z 所 隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的.
5.4.3 正切函数的性质与图象
【学习目标】
1.经历绘制正切函数图象的过程,理解其中运用的图象变 换的思想. 2.经历利用函数图象研究正切函数的周期性、单调性、奇 偶性、值域的过程,掌握正切函数的周期性、单调性、奇 偶性、值域并能解决有关问题,发展直观想象素养.
【预习导学】
一、正切函数的性质与图象 [知识梳理] 1.正切函数的性质
,定义域为
,
且 f(x)=
= ,f(-x)=
所以原函数为奇函数. 答案:A
= =-f(x),
3.函数 y=-tan x 的单调递减区间是 (- + kπ, +kπ)(k∈Z) . 解析:因为 y=tan x 与 y=-tan x 的单调性相反, 所以 y=-tan x 的单调递减区间为(- + kπ, +kπ)(k∈Z).
(2)令 kπ- < x+ <kπ+ ,k∈Z,得 2k- <x<2k+ ,k∈Z, 所以函数 f(x)的单调递增区间为(2k- ,2k+ )(k∈Z), 函数 f(x)没有单调递减区间.
6.下列关于 x 的函数 f(x)=tan(x+φ)的说法,正确的是( ) A.对任意的 φ,f(x)都是非奇非偶函数 B.f(x)的图象关于点( -φ,0)中心对称 C.f(x)的图象关于点(π-φ,0)中心对称 D.f(x)是以 π 为最小正周期的周期函数 解析:A 项,若取 φ=kπ(k∈Z),则 f(x)=tan x,此时,f(x)为奇函数,所 以 A 项错;观察正切函数 y=tan x 的图象(图略),知 y=tan x 关于
作出函数 y=|tan x|的图象,如图所示.由图象可知, 函数 y=|tan x|是偶函数. 函数 y=|tan x|的周期 T=π, 函数 y=|tan x|的单调递增区间 为[kπ,kπ+ )(k∈Z),单调递减区间为(kπ- ,kπ)(k∈Z).
方法规律 1.作函数 y=|f(x)|的图象的方法 (1)保留函数 y=f(x)的图象在 x 轴上方的部分; (2)将函数 y=f(x)的图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴向上翻折. 2.若函数为周期函数,则可先研究其一个周期上的图象,再 利用周期性,拓展到定义域上.
方法规律 运用正切函数的单调性比较大小的方法 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一 单调区间上. (2)运用单调性比较大小关系.
【跟踪训练】 2.函数 f(x)=tan( - )的单调递增区间是 ( )
A.
,k∈Z B.
C.
,k∈Z D.
,k∈Z ,k∈Z
解析:函数 f(x)=tan( - ),令- +kπ< - < +kπ(k∈Z),解得