2020-2021学年辽宁省鞍山市高二(下)期末数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年辽宁省鞍山市高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）
1.设集合A={x|x>3}，B={x|2−x
x−5
≤0}，则(∁R A)∩B=()
A. (−∞,2]
B. [3,5]
C. [2,3]
D. [3,5)
2.若a<b<0，则下列不等式中不能成立的是()
A. 1
a >1
b
B. 1
a−b
>1
a
C. |a|>|b|
D. a2>b2
3.某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为0.5，知道正确答案
时，答对的概率为100%，而不知道正确答案时猜对的概率为0.25，那么他答对题目的概率为()
A. 0.625
B. 0.75
C. 0.5
D. 0
4.在(x−2
x2
)5的二项展开式中，x2的系数是()
A. 8
B. −8
C. 10
D. −10
5.疫情期间，课的方式进行授课，某省级示范中学对在家学习的100名同学每天的学
习时间(小时)进行统计，服从正态分布N(9,12)，则100名同学中，每天学习时间超过10小时的人数为()(四舍五入保留整数)
参考数据：P(μ−σ<Z≤μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<Z≤p+2σ)=0.9545，P(μ−3σ<Z≤μ+3σ)=0.9973．
A. 15
B. 16
C. 31
D. 32
6.下列说法错误的是()
A. “若x≠3，则x2−2x−3≠0”的逆否命题是“若x2−2x−3=0，则x=3”
B. “∀x∈R，x2−2x−3≠0”的否定是“∃x0∈R，x02−2x0−3=0”
C. “x>3”是“x2−2x−3>0”的必要不充分条件
D. “x<−1或x>3”是“x2−2x−3>0”的充要条件
7.等差数列{a n}的前n项和记为S n，若a1>0，S10=S20，则不成立是()
A. d<0
B. a16<0
C. S n的最大值是S15
D. 当且仅当S n<0时，n=32
8.定义在R上的可导函数f(x)，当x∈(1,+∞)时，(x−1)f′(x)−f(x)>0恒成立，
a=f(2)，b=1
2
f(3)，c=(√2+1)f(√2)，则a、b、c的大小关系为()
A. c<a<b
B. b<c<a
C. a<c<b
D. c<b<a
9. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=6，a n+1+2=a n ，则( )
A. {a n }是等比数列
B. {a n }是单调递增数列
C. {a n }是单调递减数列
D. S n 的最大值为12
10. 若正实数a ，b 满足a +b =2，则下列说法正确的是( )
A. ab 的最大值为1
B. √a +√b 的最大值为2
C. a 2+b 2的最小值为1
D. 2a 2+b 2的最小值为8
3
11. 从甲袋中摸出一个红球的概率是1
3，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋各摸
出一个球，下列结论正确的是( )
A. 2个球都是红球的概率为1
6 B. 2个球不都是红球的概率为1
3 C. 至少有1个红球的概率为2
3
D. 2个球中恰有1个红球的概率为1
2
12. 已知函数f(x)=−x 2lnx ，则( )
A. f(x)≤0恒成立
B. f(x)是(0,+∞)上的减函数
C. f(x)在x =e −1
2得到极大值1
2e
D. f(x)只有一个零点
三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 《算法统宗》是中国古代数学名著，其中有诗云：“九百九十六斤棉，赠分八子盘
缠，次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”这首歌诀的意思是：996斤棉花分别赠送给八个子女做旅费，从第二个孩子开始，每人分得的棉花比前一人多17斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要长幼分明，使孝顺子女的美德外传，则第五个孩子分得棉花为______ 斤. 14. 函数f(x)=x
x 2+1的单调递减区间为______．
15. 《航拍中国》是中央广播电视台推出的以空中视角俯瞰中国的纪录片，立体化展示
了我国历史人文景观、自然地理风貌及经济社会发展，全景式俯瞰了观众们既熟悉又新鲜的美丽中国、生态中国、文明中国．小明同学观看完《四川》这一集后，决定利用四天假期时间游玩峨眉山、黄龙、九寨沟和都江堰四个景区，每天游玩一个景区，且黄龙和九寨沟两个不同景区不在相邻两天游玩，则该同学的不同游玩方法种数为______．
16. 某商场销售某种商品，经验表明，该商品每日的销售量y(千克)与销售价格x(元/千
克)满足关系式y =2
x−3+10(x −6)2，x ∈(3,6)，若该商品的成本为3元/千克，则当销售价格为______元/千克时，该商场每日销售该商品所获得的利润最大．
17.已知数列{a n}是等差数列，且a8=1，S16=24，数列{b n}是递增的等比数列且b1+
b4=9，b2b3=8．
(1)求数列{a n}的通项公式a n；
(2)求(a1+b1)+(a3+b3)+(a5+b5)+⋯+(a2n−1+b2n−1).
18.盲盒里面通常装的是动漫、影视作品的周边，或者设计师单独设计出来的玩偶，由
于盒子上没有标注，购买者只有打开才会知道自己买到了什么，因此这种惊喜吸引了众多年轻人，形成了“盲盒经济”，某款盲盒内可能装有某一套玩偶的A、B、C 三种样式，且每个盲盒只装一个．
(1)某销售网点为调查该款盲盒的受欢迎程度，随机发放了200份问卷，并全部收
；而在未回，经统计，有30%的人购买了该款盲盒，在这些购买者当中，女生占2
3购买者当中，男生女生各占50%，请根据以上信息填写下表，并判断是否有95%的把握认为购买该款盲盒与性别有关？
，其中n=a+b+c+d．
附：K2=n(ac−bd)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
参考数据：
(2)该销售网点已经售卖该款盲盒6周，并记录了销售情况，如表：
由于电脑故障，第二周数据现已丢失，该销售网点负责人决定用第4、5、6周的数据求线性回归方程，再用第1，3周数据进行检验．
①请用4，5，6周的数据求出少关于x 的线性回归方程y ̂
=b ̂
x +a ̂
；
(注：b ̂
=∑(n
i=1x i −x −
)(y i −y −
)∑(n i=1x i −x −)2=∑x i n
i=1y i −nx −y −
∑x i 2n i=1−nx
−2，a ̂=y −−b ̂
x −) ②若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2盒，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问①中所得的线性回归方程是否可靠？
19. 已知关于x 的不等式mx 2+5x +m <0，m ∈R ．
(1)若m =2，则求上述不等式的解集；
(2)若上述不等式对一切x ∈R 恒成立，则求m 的取值范围．
20. 已知函数f(x)=1
3x 3+ax 2+bx ，且f′(−1)=−4，f′(1)=0．
(1)求函数f(x)的解析式； (2)求函数f(x)的单调区间．
21.从2021年开始，某省将试行“3+1+2”的普通高考新模式，其中“3”为全国统
考科目语文，数学、外语，所有学生必考；“1”为首选科目，考生须在物理、历史两科中选择一科；“2”为再选科目，考生可在化学、生物，思想政治、地理4个科目中选择两科.现有某校学生甲和乙准备进行选科目，假设他们首选科目都是物理，再选科目时，他们选择每个科目的可能性相等，且他们的选择互不影响，已知甲和乙各选考了3个科目．
(1)求甲和乙再选科目中恰有1个科目相同的概率；
(2)用随机变量X表示甲和乙所选的3个选考科目中相同科目的个数，求X的分布
列和数学期望．
−ax+lnx．
22.已知函数f(x)=1−a
x
(1)当a=2时，求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)若关于x的不等式xf(x)>1−2a在[1,+∞)上有实数解，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：因为集合A ={x|x >3}， 所以∁R A ={x|x ≤3}，
又B ={x|2−x
x−5≤0}={x|x ≤2或x >5}， 故(∁R A)∩B =(−∞,2]． 故选：A ．
先利用分式不等式的解法求出集合B ，然后由补集和交集的定义求解即可． 本题考查了集合补集与交集的求解，分式不等式的解法，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：∵a <b <0，f(x)=1
x 在(−∞,0)单调递减，所以1
a >1
b 成立；
∵a <b <0，0>a −b >a ，f(x)=1
x 在(−∞,0)单调递减，所以1
a−b <1
a ，故B 不成立； ∵f(x)=|x|在(−∞,0)单调递减，所以|a|>|b|成立； ∵f(x)=x 2在(−∞,0)单调递减，所以a 2>
b 2成立； 故选：B ．
由于a <b <0，利用函数单调性可以比较大小． 本题考查了函数单调性与数值大小的比较，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：设“考生答对题目”为事件A ，“考生知道正确答案”为事件B ， 则P(B)=0.5，P(A|B)=1，P(A|B −
)=0.25，
P(A)=P(AB)+P(AB −
)=P(A|B)P(B)+P(A|B −
)P(B)−
=1×0.5+0.25×0.5=0.625． 故选：A ．
设“考生答对题目”为事件A ，“考生知道正确答案”为事件B ，则P(B)=0.5，P(A|B)=1，P(A|B −
)=0.25，
再结合条件概率公式，以及互斥事件的概率加法公式，即可求解．
本题主要考查了条件概率公式，以及互斥事件的概率加法公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
4.【答案】D
)5的二项展开式的通项公式为T r+1=C5r⋅(−2)r⋅x5−3r，
【解析】解：∵(x−2
x2
令5−3r=2，求得r=1，可得展开式中x2的系数是−10，
故选：D．
在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得展开式中x2的系数．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．
5.【答案】B
×(1−0.6826)=0.15865，
【解析】解：P(Z>10)=1
2
故所求人数为100×0.15865≈16．
故选：B．
先根据正态分布的性质，算出P(Z>10)的概率，然后再乘以100即可．
本题考查正态分布的性质，以及学生的逻辑推理能力．属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：对于A，“若x≠3，则x2−2x−3≠0”的逆否命题是“若x2−2x−3=0，则x=3”，正确；
对于B，“∀x∈R，x2−2x−3≠0”的否定是∃x0∈R，x02−2x0−3=0”，正确；对于C，“x2−2x−3>0”等价于“x<−1或x>3”，
∴“x>3”是“x2−2x−3>0”的充分不必要条件，错误；
对于D，“x<−1或x>3”是“x2−2x−3>0”的充要条件，正确．
故选：C．
利用逆否命题、命题的否定、充分必要性的概念逐一判断即可．
本题考查命题的真假的判断，充要条件的应用，命题的否定的判断四种命题的逆否关系
的应用，是基础题．
7.【答案】D
【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，由S10=S20，得10a1+45d=20a1+190d，即2a1+29d=0，
又a1>0，所以d<0，故选项A正确；
由2a1+29d=0，得a1+14d+a1+15d=0，即a15+a16=0，所以a15>0；a16<0，即{a n}是递减数列，且n≤15时，a n>0；当n≥16时，a n<0，所以选项C正确．因为S31=31
2
(a1+a31)=31a16<0，所以选项D错误．
故选：D．
设等差数列{a n}的公差为d，由S10=S20可得10a1+45d=20a1+190d，即2a1+
29d=0，又a1>0，所以d<0，从而a15+a16=0，所以a15>0；a16<0，即{a n}是递减数列，且n≤15时，a n>0；当n≥16时，a n<0，所以即可对选项逐一判断．
本题主要考查等差数列的性质，考查学生的归纳推理和运算求解的能力，属于基础题．8.【答案】A
【解析】解：构造函数g(x)=f(x)
x−1
，当x∈(1,+∞)时，
g′(x)=f′(x)(x−1)−f(x)
(x−1)2
>0，即函数g(x)单调递增，
则a=f(2)=f(2)
2−1=g(2)，b=1
2
f(3)=f(3)
3−1
=g(3)，c=(√2+1)f(√2)=√2)
√2−1
=
g(√2)，
则g(√2)<g(2)<g(3)，
即c<a<b，
故选：A．
构造函数g(x)=f(x)
x−1
，求函数的导数，判断函数的单调性即可得到结论
本题主要考查函数值的大小比较，构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．
9.【答案】CD
【解析】解：根据题意，数列{a n}中，a n+1+2=a n，则有a n+1−a n=−2，
依次分析选项：
对于A，{a n}是等差数列，A错误；
对于B，a n+1−a n=−2，是公差为负的等差数列，{a n}是单调递增数列，B错误；
对于C，由B的结论，C正确；
对于D，{a n}是等差数列，a1=6，d=−2，则a n=8−2n，有n=4时，a n=0，则n=3或4时，S n最大，且S n的最大值为6+4+2=12，D正确；
故选：CD．
根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
本题考查等差数列的定义和前n项和的性质，涉及数列的递推公式，属于基础题．10.【答案】ABD
【解析】解：因为正实数a，b满足a+b=2，
由基本不等式ab≤(a+b
2
)2=1，当且仅当a=b=1时取等号，A正确；
因为(√a+√b)2≤2(a+b)=4，当且仅当a=b=1时取等号，即√a+√b的最大值2，B正确；
因为2(a2+b2)≥(a+b)2=4，
所以a2+b2≥2，当且仅当a=b=1时取等号，C错误；
2a2+b2=2a2+(2−a)2=3a2−4a+4，a∈(0,2)，
根据二次函数的性质可知，当a=2
3时，取得最小值8
3
，D正确．
故选：ABD．
由已知结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可判断．
本题主要考查了基本不等式及相关结论的应用，解题的关键是公式的灵活应用，属于中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：设“从甲袋中摸出一个红球”为事件A 1，从“乙袋中摸出一个红球”为事件A 2，
则P(A 1)=1
3，P(A 2)=1
2，
对于A 选项，2个球都是红球为A 1A 2，其概率为1
3×1
2=1
6，故A 选项正确，
对于B 选项，“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为1−1
6=
56
，故B 选项错误，
对于C 选项，2个球至少有一个红球的概率为1−P(A 1−
)P(A 2−
)=1−23
×12
=23
，故C 选项正确，
对于D 选项，2个球中恰有1个红球的概率为1
3×1
2+2
3×1
2=1
2，故D 选项正确． 故选：ACD ．
设“从甲袋中摸出一个红球”为事件A 1，从“乙袋中摸出一个红球”为事件A 2，则P(A 1)=1
3，P(A 2)=1
2，结合相互独立事件的概率乘法公式，即可求解．
本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
12.【答案】CD
【解析】解：函数f(x)=−x 2lnx(x >0)， 则f′(x)=−2xlnx −x =−x(2lnx +1)， 令f′(x)>0，可得0<x <e −1
2， 令f′(x)<0，可得x >e −1
2， 所以f(x)在(0,e −1
2)上单调递增，
在(e −1
2,+∞)上单调递减，故选项B 错误；
当x =e −1
2时，f(x)取得极大值f(e −1
2)=1
2e
，故选项C 正确；
在区间(0,+∞)内，f(x)有唯一的极大值即最大值f(e −1
2)>0，故选项A 错误； 因为当x →0时，f(x)→0，当x →+∞时，f(x)→−∞，
又f(√e )=1
2e >0，f(e)=−e 2lne =−e 2<0，则f(√e )⋅f(e)<0，
由零点的存在性定理可得，f(x)在区间(√e e)内存在唯一的零点，故选项D 正确．
故选：CD ．
利用导数求出函数f(x)的单调区间，即可判断选项B ；利用极值的定义求出函数f(x)的极值，即可判断选项C ；由函数的最值即可判断选项A ；利用函数的单调性以及函数值，结合零点的存在性定理，即可判断选项 D ．
本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题，函数的零点以及零点存在性定理的运用，不等式恒成立问题，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
13.【答案】133
【解析】解：根据题意，这八个孩子分得棉花的斤数构成等差数列{a n }，且公差d =17，根据a 1+a 2+a 3+⋯+a 8=8a 1+
8×72
×17=996，
解得a 1=65，所以a 5=a 1+4d =65+4×17=133． 故答案为：133．
由题意可知：这八个孩子分得棉花的斤数构成等差数列{a n }，且公差d =17，再根据a 1+a 2+a 3+⋯+a 8=8a 1+8×72
×17=996即可算出a 1，最后由a 5=a 1+4d 即可得出结
果．
本题主要考查等差数列的通项与求和公式，考查理解和与运算求解能力，属于基础题．
14.【答案】(−∞,−1]、[1,+∞)
【解析】解：根据题意，函数f(x)=x
x 2+1，其导数f′(x)=(x 2+1)−x×(2x)
(x 2+1)2
=1−x 2
(x 2+1)2，
若f′(x)≤0，即1−x 2
(x 2+1)2≤0， 解可得：x ≤−1或x ≥1，
即函数f(x)的单调递减区间为(−∞,−1]、[1,+∞)； 故答案为：(−∞,−1]、[1,+∞)．
根据题意，求出函数的导数，解f′(x)≤0，利用导数与函数单调性的关系分析可得答案． 本题考查函数导数与单调性的关系，注意正确求出函数的导数，属于基础题．
15.【答案】12
【解析】解：根据题意，分2步进行分析：
①黄龙和九寨沟两个不同景区不在相邻两天游玩，则这两个风景区可以安排在第一、三天和第二、四天或第一、四天游玩，
有3×A22=6种不同游玩方法，
②剩下2天游玩其余的两个风景区，有A22=2种不同游玩方法，
则有6×2=12种不同游玩方法，
故答案为：12．
根据题意，分2步进行分析：先分析黄龙和九寨沟两个不同景区的安排方法，再计算“剩下2天游玩其余的两个风景区”的安排方法，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
16.【答案】4
【解析】解：由题意可得，商场每日销售该商品所获得的利润为f(x)=(x−3)[2
x−3
+ 10(x−6)2]=2+10(x−3)(x−6)2，3<x<6，
求导可得f′(x)=30=30(x−4)(x−6)，
令f′(x)=0，解得x=4或x=6(舍去)，
当x∈(3,4)时，f′(x)>0，当x∈(4,6)时，f′(x)<0，
故函数f(x)在(3,4)上单调递增，在(4,6)上单调递减，
∴当x=4时，函数f(x)取得最大值f(4)=42，
故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润，最大值为42元．故答案为：4．
根据已知条件，写出利润函数的表达式，并对表达式求导，结合单调性，即可求解．本题主要考查了函数与导数的综合应用，需要学生熟练掌握导数公式，属于基础题．17.【答案】解：(1)设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，
由a8=1，S16=24，得{a1+7d=1
16a1+16×15
2
d=24，解得{
a1=−6
d=1，
∴a n=−6+(n−1)×1=n−7；
(2)在等比数列{b n}中，由b2b3=8，得b1b4=8，
又b1+b4=9，∴b1，b4为方程x2−9x+8=0的两根，又数列{b n}是递增的等比数列，∴b1=1，b4=8，
∴q =√b
4b 1
3
=√83
=2，则b n =2n−1，
∴(a 1+b 1)+(a 3+b 3)+(a 5+b 5)+⋯+(a 2n−1+b 2n−1) =(a 1+a 3+...+a 2n−1)+(b 1+b 3+...+b 2n−1) =(−6−4−2+...+2n −8)+(1+4+16+...+4n−1) =
n(−6+2n−8)
2
+
1−4n 1−4
=n 2−7n +4n −13
．
【解析】(1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由题意列方程组求得首项与公差，即可求得数列{a n }的通项公式a n ；
(2)由题意，根据等比数列的性质建立方程组，求出等比数列的首项与公比，即可得到等比数列的通项公式，再由数列的分组求和及等差数列与等比数列的前n 项和公式求解． 本题考查等差数列与等比数列的通项公式及前n 项和，考查运算求解能力，是基础题．
18.【答案】解：(1)2×2列联表：
K 2
=
200×(40×70−20×70)2
110×90×60×140
≈4.714．
因为4.714>3.841，
故有95%把握认为“购买该款盲盒与性别有关”； (2)①由数据，求得x −
=5，y −
=27．
b ̂
=
(4−5)(25−27)+(5−5)(26−27)+(6−5)(30−27)
(4−5)2+(5−5)2+(6−5)2
=5
2
， a ̂
=y −
−b ̂
x −=27−5
2×5=14.5．
所以y 关于x 的线性回归方程为y ̂
=2.5x +14.5．
②当x =1时，y ̂
=2.5×1+14.5=17，|17−16|=1<2； 当x =3时，y ̂
=2.5×3+14.5=22，|22−23|=1<2．
所以，所得到的线性回归方程是可靠的．
【解析】(1)填写联列表，求出K 2，结合临界值表得结论；
(3)①求出回归直线的斜率以及截距，然后求解y 关于x 的线性回归方程；
②当x =1，x =3时，求出预报值，判断极差，说明所得到的线性回归方程是可靠的． 本题考查独立检验思想的应用，回归直线方程的求法与应用，考查计算能力，是中档题．
19.【答案】解：(1)当m =2时，不等式mx 2+5x +m <0，
可化为：2x 2+5x +2<0，即(2x +1)(x +2)<0， ∴−2<x <−1
2
，
∴不等式的解集为{x|−2<x <−1
2}. (2)若mx 2+5x +m <0对一切x ∈R 恒成立， ①当m =0时，5x <0，即x <0，不符合题意； ②当m ≠0时，
则有{m <0
Δ=25−4m 2
<0
，解得m <−52． 综合①②，可得m <−5
2． 故实数m 的取值范围为(−∞,−5
2).
【解析】(1)将m =2代入，即可列出关于x 的不等式，求解即可得到不等式的解集； (2)对m 进行分类讨论，利用二次函数的性质列出不等关系，求解即可．
本题考查了一元二次不等式的解法，函数的恒成立问题，同时考查了二次函数的相关性质，属于中档题．
20.【答案】解：(1)f(x)=1
3x 3+ax 2+bx ，
f′(x)=x 2+2ax +b ， ∵f′(−1)=−4，f′(1)=0，
∴{f′(−1)=1−2a +b =−4f′(1)=1+2a +b =0，解得：{a =1b =−3，
故f(x)=1
3x 3+x 2−3x ； (2)由(1)得：f′(x)=x 2+2x −3，
令f′(x)>0，解得：x >1或x <−3， 令f′(x)<0，解得：−3<x <1，
故f(x)在(−∞,−3)递增，在(−3,1)递减，在(1,+∞)递增．
【解析】(1)求出函数的导数，根据f′(−1)=−4，f′(1)=0，得到关于a ，b 的方程组，解出即可求出f(x)的解析式；
(2)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可． 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是中档题．
21.【答案】解：(1)由题意可得，甲和乙再选科目中恰有1个科目相同的概率为P =
C 41C 31C 21C 42C 4
2=2
3
；
(2)由题意，X 的可能取值为1，2，3， 所以P(X =1)=C 4
2C 42C 42=1
6，P(X =1)=
C 41C 31C 21C 42C 4
2=2
3，P(X =1)=C 4
2C 42C 4
2=1
6，
故X 的分布列为：
所以E(X)=1×1
6+2×2
3+3×1
6=2．
【解析】(1)利用古典概型的概率公式求解即可；
(2)先求出随机变量X 的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解即可
本题考查了古典概型概率公式的应用，离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)f(x)=
1−a x −ax +lnx 的导数为f′(x)=
a−1x 2
−a +1
x ，
当a =2时，f′(x)=1
x 2−2+1
x ，
可得曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为0， 切点为(1,−3)，则切线的方程为y =−3；
(2)关于x 的不等式xf(x)>1−2a 在[1,+∞)上有实数解， 即为1−a −ax 2+xlnx >1−2a 在[1,+∞)上有实数解， 等价为a(x 2−1)<xlnx 在[1,+∞)上有实数解， 当x =1时，0<0不成立；
当x >1时，可得a <xlnx
x 2−1在(1,+∞)上有实数解， 由xlnx
x 2−1−1
2=
2xlnx−x 2+12(x 2−1)
，
设g(x)=2xlnx −x 2+1，x >1，g′(x)=2(1+lnx)−2x =2(1+lnx −x)， 由y =lnx +1−x(x >1)的导数为y′=1
x −1<0，可得lnx +1−x <0， 所以g′(x)<0，g(x)在(1,+∞)递减，可得g(x)<g(1)=0， 所以x >1时，xlnx
x 2−1−1
2=
2xlnx−x 2+12(x 2−1)
<0，即
xlnx
x 2−1
<1
2
恒成立， 可得a <1
2，即a 的取值范围是(−∞,1
2).
【解析】(1)求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，进而得到切线的方程； (2)由题意可得a(x 2−1)<xlnx 在[1,+∞)上有实数解，当x =1时，0<0不成立；当x >1时，可得a <xlnx
x 2−1在(1,+∞)上有实数解，考虑xlnx
x 2−1与1
2的关系，可得所求范围． 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．。