步进电机运动控制系统设计

PMM8713是日本三洋电机公司生产的步进电机脉冲分配器。

该器件采用DIP 16封装，适用于二相或四相步进电机。

PMM8713在控制二相或四相步进电机时都可选择三种励磁方式(1相励磁，2相励磁，3相励磁三种励磁方式之一)，每相最小的拉电流和灌电流为20mA，它不但可满足后级功率放大器的要求，而且在所有输人端上均内嵌有施密特触发电路，抗干扰能力很强，其原理框图如图1所示，表1所列是PMM8713的引脚功能。

在PMM8713的内部电路中，时钟选通部分用于设定步进电机的正反转脉冲输入法。

PMM8713有两种脉冲输人法:双脉冲输人法和单脉冲输人法。

采用双脉冲输人法的连线方式如图4-3-2(A)所示，其中CPI CA两端分别输人步进电机正反转的控制脉冲。

当采用单脉冲输人法时，其连线方式如图2所示；
但PID算法有两种分别为: 位置式、增量式.
位置式PID控制算法
（5-4）
（5-5）由(5-5)与(5-6)式可以推出下式
（5-6）
位置式控制算法提供执行机构的位置uk，需要累计Ek.
增量式PID控制算法
（5-8）
(5-9)
由(1)与(2)式可推出下式:
（5-10）
增量式控制算法提供执行机构的增量\* MERGEFORMAT 只需要保持.现时以前3个时刻的偏差值即可.增量式算法不需做累加，计算误差和计算精度问题对控制量的计算影响较小；位置式算法要用到过去偏差的累加值，容易产生较大的累计误差。

控制从手动切换到自动时，位置式算法必须先将计算机的输出值置为原始值\* MERGEFORMAT 时，才能保证无冲击切换；增量式算法与原始值无关，易于实现手动到自动的无冲击切换。

在实际应用中，应根据被控对象的实际情况加以选择。

一般认为，在以闸管或伺服电机作为执行器件，或对控制精度要求较高的系统中，应当采用位置式算法；而在以步进电机或多圈电位器作执行器件的系统中，则应采用增量式算法。

因本次设计对步进电机的调速范围与控制精确的要求,应采用增量式PID控制：系统的流程框图如5-2所示:
图5-2 步进电机调速系统的控制流程图
第6章软件的设计
6.1 显示子程序的设计
图6-1-1 显示程序流程图
6.2键盘子程序的设计
图6-2-1 键盘程序流程图
6.3驱动程序流程的设计：
图6-3-1 主程序流程图
6.4正反转程序流程图
6.4.1正反转程序流程图
图6-4-1 正反转程序流程图
6.4.2 转速快慢程序流程图
6-4-2 转速快慢程序流程图
6.4.3定时中断流程图
图6-4-2 中断子程序流程图
第7章实验结果与分析
7.1 有关参数的计算与分析
在单相三拍方式控制中，假如A相电源通电，B、C两相都不通电，在磁场作用下，使转子齿和A相的定子齿对齐。

若此时为初始状态，并设与A相磁极对齐的齿为0号齿，由
于B相齿与A相齿相差120度。

且\* MERGEFORMAT 不为整数。

所以此转子不能和B号齿对齐，只有13号小齿靠近B相磁极的中心线，与中心线相差3度，如果此时变为B相通电，万里A、C两相不通电，则B相磁极迫使与13号齿对齐，整个齿就转了3度，称为一步。

步进电机就是以这种方式作为动力而转动。

1) 改变步进电动机的相数。

步进电动机的相数越多、步距角就越小。

2) 与步进电动机的定、转齿数有关。

3) 与定子控制绕组的通电方式有关。

要改变步进电机步距角的大小也只能通过这三种方式。

设计中步进电机为三相，功率为1W。

因步进电机的转子上没有绕阻而是由40个小齿均匀地分布在圆周上。

定子的齿也是固定不变的，通电方式是选取用三相单三拍方式。

可见步进电机的一但选定，其步距角就不能再改变了。

要改变转束也就只能通过脉冲之间的延时来改变。

但对步进电动机的步距角的控制,可以实现对步进电动机的转速精度控制。

但实际上步进电机在用行时是带有一定量的负载，当运转时会存在许多误差，同时因为负载的存在可能引起失步和震荡。

这就使步进电机不能按预定的规律运行，从而是很难达到转速精度的要求。

为准确测量电机的转速稳定度,须选用高精度测量仪器。

光电编码器因光电式数字输出而更具抗干扰性强和处理简便的优势。

增量式旋转编码器如图7-1 所示。

其核心部件为光栅码盘,玻璃盘表面的光栅道数决定了编码器的分辨率,而后者制约了转速测量的精度。

当编码器分辨率与系统误差相近时,其影响将不复存在。

图7-1 增量式旋转编码器
光电编码器的分分辨率是决定着反馈的准确性与反馈的精度。

也对步进电机的延时长短起到一定的作用。

可见实际与理论是有一定的差别的。

第8章总结
蓦然回首，为期两个多月的毕业设计就要结束了，在这漫长而又短暂之中，通过自己不断地学习，不断地努力与拼搏、不断地对新知识的追求与索取、不断地自我发现、感到自己的知识结构水平提出高了许多，对知识的掌握程度也加深了许多，对知识之间的相互联系也有了更深的了解；通过不断地提高自己的认识水平与能力、不断地学习新方法、新思想、新的思维方式、不断地改变自己的人生观和方法论、感到自己不但成长且成熟了许多；通过不断地把课本知识应用于实际，不断地把查阅到的资料与文献中有用的东西应用于实现，不断地把所学的理论与方法应用于设计之中，从而提高了自己理论联系实际的能力。

通过这两个多月的毕业设计，把所学过的各种知识进行了一次全面而系统的综合，并融会贯通，把所学到的各种理论与思想进行可一次合理的应用，把所查阅到的各种文献及与设计相关的资料进行了合理的提取与分析，并应用到实际。

这不但增强了自己的知识结构，同时对所学过的各种理论知识与专业知识进行了一次全面的终结。

由于不断的上机操作与实
践，不但加强了自己动手能力，同时对一些计算机软件的应用有了一定的掌握与理解，并加强了网上学习和查阅资料的能力。

步进电机调速系统适用各种现场自动化控制，特别应用于小功率负载的控制；具有成本底，性能稳定,可靠性高等优点。

步进电机作为执行元件，在科技的进步中起到了非常重要的作用，而步进电机调速系统可方便地应用与各种自动化控制系统与领域。

毕业设计是对大学所学课程的一个高度的综合。

无论是基础知识还是专业知识都被设计统一起来，使零散的知识系统化，形成了一种能力，这也是毕业设计所要达到的目的。

这也为我们走入社会打下一个良好的基础，为走入社会对知识与理论的应用做了一个好的铺垫。

人生的路是漫长而曲折的，在这漫长而曲折的道路上需要自己的不断努力与拼搏。

作为即将离校的学生，走出校门就站在另一个人生起点上，还有很长的路要走，这必须有足够的勇气与自信去迎接挑战，克服困难，创造奇迹。

特别对未来要充满期盼，充满希望，要微笑着走人生的每一步。

“路漫漫其修远兮，我将上下而求索”。

参考文献
[1] 张洪润,蓝清华. 单片机应用技术教程[M] . 北京:清华大学出版社,1997.
[2] 秦曾煌. 电工学[M] . 北京:高等教育出版社,1999.
[3] 常斗南,等. 可编程序控制器原理、应用、实验[M] . 北京:机械工业出版社,1998.
[4] 于海生,等. 微型计算机控制技术[M] . 北京:清华大学出版社,1999.
[5] 王福瑞,等. 单片机微机测控系统设计大全[M] . 北京:北京航空航天大学出版社,1998.
[6] 陈理壁. 步进电机及其应用[M] . 上海: 上海科学技术出版社,1989.
[7] 刘保延,等. 步进电机及其驱动控制系统[M] . 哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,1997.
[8] 季维发,过润秋,严武升等. 机电一体化技术[M] .北京:电子工业出版社,1995.
[9] 郭敬枢,庄继东,孔峰. 微机控制技术[M] . 重庆:重庆大学出版社,1994.
[10] 刘国荣. 单片微型计算机技术[M] . 北京:机械工业出版社,1996.
[11] 王福瑞. 单片微机测控系统设计大全[M] . 北京:北京航空航天大学出版社,1998.
[12] 何立民. 单片机应用技术选编[M] . 北京:北京航空航天大学出版社,1993.
[13] 潘新民等: 单片微型计算机实用系统设计1 北京: 人民邮电出版社, 1992.
[14] 王润孝,秦现生编著1 机床数控原理与系统1 西北工业大学出版社,1997.
[15] 李伯成,侯伯李等编1IBM - PC 微机应用系统设计1西安电子科技大学,1996.
[16] 黄义源主编1 机械设备电气与数字控制1 中共广播电视大学出版社,1992.
图4-3-2 8713脉冲输入
图4-3-3 PWM8713的引脚图
PMM8713 功能介绍
PMM8713 是专用的步进电机的步进脉冲产生芯片,它适用于三相和四相步进电机。

如图1 所示PMM8713 的引脚,Cu 为加脉冲输入端,它使步进电机正转,Cp 为减脉冲输入端,它使步进电机反转,Ck
为脉冲输入端,当脉冲加入此引脚时,Cu 和Cp 应接地,正反转由U/ D 的电平控制,EA 和EB 用来选择励磁方式的,可以选择的方式有一相励磁、二相励磁和一二相励磁,ΦC 用来选择三、四相步进电机,Vss 为芯片工作地,R 为芯片复位端,Φ4～Φ1 为四相步进
脉冲输出端,Φ3～Φ1 为三相步进脉冲输出端,Em 为励磁监视端,Co 为输入脉冲监视
端,VDD为芯片的工作电源( + 4～+ 18V).其具体的原理框图如4-3-4所示:
图4-3-4 驱动电路框图
4.4 显示电路与键盘的选择
显示电路的用8279芯片来驱动，8279芯片分别接两排显示器，每排为4位显示，分别用来显示步进电机的实际转速与给定转速。

8279与CPU的连接框图如4-11所示：
图4-4 8279与CPU的接线图
8279芯片的具体介绍如下；
1) DB0～DB7：双向数据总线。

在CPU于827数据与命令的传送。

2) CLK：8279的系统时钟，100KHZ为最佳选择。

3) RESET：复位输入线，高电平有效。

当RESET 输入端出现高电平时，8279被初始复位。

4) /CS：片选信号。

低电平使能，使能时可将命令写入8279或读取8279的数据。

5) A0：用于区分信息的特性。

当A0=1时，CPU向8279写入命令或读取8279的状态；当A0为0时，读写一数据。

6) /RD：读取控制线。

/RD=0,8279会送数据至外部总线。

7) /WR：写入控制线。

/WR=0,8279会从外部总线捕捉数据。

8) IRQ：中断请求输出线，高电平有效。

当FIFO RAM 缓冲器中存有键盘上闭合键的键码时，IRQ线升高，向CPU请求中断，当CPU将缓冲器中的输入键数的数据全部读取时，中断请求线下降为低电平。

9) L0～SL3：扫描输出线，用于对键盘显示器扫描。

可以是编码模式（16对1）或译码模式（4对1）。

10) ～RL7：反馈输入线，由内部拉高电阻拉成高电平，也可由键盘上按键拉成低电平。

11) FT、CNTL/STB ：控制键输入线，由内部拉高电阻拉成高电平，也可由外部控制按键拉成低电平。

12) TB0～3、OUTA0～3：显示段数据输出线，可分别作为两个半字节输出，也可作为8位段数据输出口，此时OUTB0为最低位，OUTA3位最高位。

13) 消隐输出线，低电平有效。

当显示器切换时或使用消隐命令时，将显示消隐。

具体芯片理框图如4-4-1所示：
图4-4-1 8279的引脚图
键盘的连接一般有两种方式，一种是独立式键盘；一种是行列式键盘。

独立式键盘就是各个键相互独立，每个键盘接一根输入线，通过检测输入线的电平状态来确定那个键按下。

这种键盘的输入线较多，结构复杂，一般适用于按键较少操作速度较高的场合。

而行列式键盘是由行和列线交义组成，一般用于按键较多的场合。

本次设计一共用9个键因此采用行列式键盘。

具体的原理图如4-4-2所示:
图4-4-2 键盘连接图
显示电路的选择
显示电路选用两排LED显示，每排分别为四位。

能满足设计的要求，转速范围为0至1000。

LED显示电路有两种接法，一种为共阴极，一种为共阳极。

原理图如4-14所示:
、
图4－4-3 显示器接线图
4.5 反馈电路的选择
应选用光电编码器作为反馈元件，光电编码器与步进电机是同轴的输出经过放大送到计算机。

并通过显示器显示出步进电机的实际转速。

关于光电编码器的说明如下；
4.5.1光电编码器原理
光电编码器，是一种通过光电转换将位移量转换成脉冲或数字量的传感器。

这是目前应用最多的传感器，光电编码器是由光栅盘和光电检测装置组成。

光栅盘是在一定直径的圆板上等分地开通若干个长方形孔。

由于光电码盘与电动机同轴，电动机旋转时，光栅盘与电动机同速旋转，经发光二极管等电子元件组成的检测装置检测输出若干脉冲信号，其原理示意图如图1所示；通过计算每秒光电编码器输出脉冲的个数就能反映当前电动机的转速。

图4-5-1 光电编码器的原理图
根据检测原理，编码器可分为光学式、磁式、感应式和电容式。

根据其刻度方法及信号输出形式，可分为增量式、绝对式以及混合式三种。

本次设计用绝对式编码器其原理如下：
绝对编码器是直接输出数字量的传感器，它的圆形码盘上沿径向有若干同心磁道，每条道上由透光和不透光的扇形区相间组成，相邻码道的扇区数目是双倍关系，码盘上的码道数就是它的二进制数码的位数，在码盘的一侧是光源，另一侧对应每一码道有一光敏元件；当码盘处于不同位置时，各光敏元件根据受光照与否转换出相应的电平信号，形成二进制数。

这种编码器的特点是不要计数器，在转轴的任意位置都可读出一个固定的与位置相对应的数字码。

显然，码道越多，分辨率就越高，对于一个具有N位二进制分辨率的编码器，其码盘必须有N条码道。

目前国内已有16位的绝对编码器产品。

绝对式编码器是利用自然二进制或循环二进制（格雷码）方式进行光电转换的。

绝对式编码器与增量式编码器不同之处在于圆盘上透光、不透光的线条图形，绝对编码器可有若干编码，根据读出码盘上的编码，检测绝对位置。

编码的设计可采用二进制码、循环码、二进制补码等。

它的特点如下：
1) 可以直接读出角度坐标的绝对值；
2) 没有累积误差；
3) 电源切除后位置信息不会丢失。

但是分辨率是由二进制的位数来决定的，也就是说精度取决于位数，目前有10位、14位等多种。

4.6电源电路设计
本次设计用了+5V、+12V电源，采用的是78系列的集成固定三端稳压管。

78系列集成
稳压器输出稳定，漂移小，精度也比较高。

其内部也有完善的保护电路。

它有风部过流保护，保证输出电流部会超出最大允许值；它有内部热保护电路，如果输出管的结温达到允许的最大值，它会知道减小输出电流；它内部还有工作区限制电路。

使稳压器的工作台不进入不安全区。

因此，它的可靠性高。

另外，它只有三条引脚，移位输入，移位输出，移位公共端，使用起来很简单。

1.变压
电源变压器将220V的交流电压变为所需的交流电压值。

因为在整流、滤波和稳压电路中有一定的压降，所以要使输出电压比所需电压高2V~3V。

2.整流
整流电路将交流电压变为脉冲的直流电压，常用的整流电路有单相半波，全波，桥式和倍压整流电路。

这里采用单相桥式不可控整流电路。

3.滤波
滤波电路用于滤去整流输出电压中的波纹，一般由电抗元件组成。

如要负载两端并联电容或与负载串联电感L。

以及C和L组合而成的各种复式滤波电路。

因为电容滤波电路简单，负载直流电压较高，波纹较小，所以我们采用的是电容式滤波。

4.稳压
稳压的作用电当电网电压波动，负载和温度变化时，维持输出直流电压的稳定。

本设计采用三端集成稳压器，常用的是7800系列和7900系列。

前者是三端固定正输出集成稳压器，后者是三端固定负输出极集成稳压器，整流后的输出波形与纯直流相差甚远，须经滤波才能作直流电源用。

最常用的元件是电容。

整流输出的电压升高时，输出的电流一面供给负载应用，一面给滤波电容充电。

当整流输出电压开始下降时，电容向负载放电以维持输出电压，总的输出电压波形就平滑得多。

下面以电源+12V为例介绍一下电路的工作原理：
图4.6 +12电源电路图
220V，50HZ的交流电压变压后，输出+15V左右的交流电压其频率仍为50HZ，交流信
号经桥式整流电路进行全波整流，然后，经电解电容滤波。

最后，经CW7805（三端固定稳压器）输出的便是一个平稳的+12V的直流电压信号。

电容C4和C5的作用是滤高频波和抑制自激振荡。

4.7抗干扰设计
由于系统中不可避免会从外界引入干扰，影响系统的控制精度，使系统的稳定性变差，故采用了硬件和软件抗干扰措施。

1.干扰对微机的作用可分为四部分：
①输入系统：它使模拟信号失真，输入数据信号出错。

②输出系统：使各输出信号混乱，不能反映微机系统的真实输出量。

从而导致一系列严重的后果，同时，还把现场的高电压设备与主机隔离，防止出现高频干扰现象。

③微机控制的内核，使三总线上的数据信号混乱，CPU得到错误的数据信息，使运算操作数失真。

④电源系统：我们设计所采用的芯片都由直流稳压电源供电。

这些直流稳压电源都是由220伏转化而来，有可能产生波动现象。

使电源的压降上升或下降，对主机运行产生干扰。

2.本次设计采用的硬件抗干扰措施有：
①在电路排列方面，模拟电路和数字电路之间集中在一起，器件之间尽量缩短距离减小寄生电容。

②在线路设计中，将所有器件的模拟地线和数字地线都区分开，两者的地线不要混乱，分别与电源地线相连。

③电源系统的干扰大部分是高次谐波，然后接稳压器件，以保持电源稳定。

④采用分散独立功能模块供电，在每块系统功能模块上用集成三端固定稳压器如7805、7812、7815、7915等稳压源，而且也减少了公共阻抗的相互耦合，大大提高了供电的可靠性。

3.程序监视系统中的抗干扰（电源部分）
WATCHDOG本身能独立工作，基本上不依赖于CPU，当电源受干扰而掉电时，WATCHDOG自动产生中断。

使CPU备用电源起作用，对CPU正在执行的数据进行保护。

4.8看门狗电路
工业环境中的干扰大多是以窄脉冲的形式出现，而最终造成系统故障的多数现象为“死机”。

究其原因是CPU在执行某条指令时受干扰的冲击，使它的操作码或地址码发生改变，致使该条指令出错。

这时,CPU执行随机拼写的指令，甚至将操作数作为操作码执行，导致
程序“跑飞”或进入“死循环”。

为使这种“跑飞”或进入“死循环”的程序自动恢复，重新正常工作，就是看门狗。

若程序发生“死机”，则看门狗电路产生复位信号，引导单片机程序重新进入正常运行。

此外，工业现场由于诸多大型用电设备的投入或撤出电网运行，往往造成系统的电源电压不稳定，当电源电压降低或掉电时，会造成重要的数据丢失，系统不能正常运行。

若设法在电源电压降至一定的限值之前，单片机快速的保存重要数据，将会最大限度地减少损失。

在掉电方式下单片机内所有运行状态均被停止，只有片内RAM和SFR中的数据被保存起来。

在单片机系统可借助于一定的外部附加电路监测电源电压，并在电源发生故障时及时通知单片机（本次设计是通过引发INT0中断来实现的）快速保存重要数据，使电源恢复正常，取消掉电方式，通过复位单片机，使系统重新正常。

4.8.1 MAX813L功能简介
MAX813L是美国MAXIM公司推出的微处理机系统监控集成芯片，该芯片的价格低，减少了器件个数，所构成的电路性能更可靠，MAX813L提供如下四种功能：
1.上电、掉电以及供电电压下降情况下的复位输出，复位脉冲宽度典型值为200MS。

2.独立的看门狗输出。

如果看门狗在1.6S内未被触发，其输出将变为低电平。

3.1.25V门限值检测器，用于电源故障报警、电池低电压检测或+5V以外的电源的监控间[6]。

4.低电平有效的手动复位输入。

4.8.2 看门狗电路各引脚功能
１.手动复位输入端（MR）：当该端输入低电压保持140ms以上，MAX813L就输出复位信号。

输入端的最小输入脉冲宽要求可以有效的消除开关的抖动。

2.工作电源端（VCC）：接+5V电源。

3.电源接地端（GND）：接0V参考电平。

4.电源故障输入端（PFI）：当该端输入电压低于1.25V时，5号引脚输出端的信号有高电平变为低电平。

5.电源故障输出端（PFO）：电源正常时，保持高电平，电源电压变低或掉电时，输出由高电平变为低电平。

6.看门狗信号输入端（WDI）：程序正常运行时，必须在小于1.6s的时间间隔内向该输入端发送一个脉冲信号，以清除芯片内部的看门狗定时器。

若超过1.6s该输入端收不到脉冲信号，则内部定时器溢出，8号引脚由高电平变为低电平。

7.复位信号输出端（RST）：上电时，自动产生200ms的复位脉冲：手动复位端输入低电平时，该端也产生复位脉冲。

8.看门狗信号输出端（WDO）：正常工作使输出保持高电平，当WDI端在1.6S接收不到信号时，该端输出信号由高电平变为低电平。

图4.8 看门狗电路
如图5-6给出了MAX813L在单片机系统中的应用电路图。

此电路可以实现上电，瞬时掉电以及程序运行实现“死机”时的自动复位和随时的手动复位；并且可以实时的监视电源故障，以便及时地保存数据[6]。

本电路巧妙的利用了MAX813L的手动复位输入端。

只要程序一旦跑飞引起程序“死机”，WDO端电平由高到低，当/WDO变低超过140ms，将引起MAX813L产生一个200ms 的复位脉冲（本次设计中将MAX813L的RET端同时8031、8155的复位端RESET相连，使之同时复位）。

同时使看门狗定时器清0和使引脚变成高电平。

也可以随时使用手动复位按钮使MAX813L产生复位脉冲，由于为了产生复位脉冲端要求低电平至少保持140ms以上，故可以有效的消除开关抖动。

该电路可以实时的监控电源故障（如掉电、电压降低）。

图5-6中R1的一端接未经稳定的直流电源。

电源正常时，确保R2上的电压高于1.6V。

当电源发生故障，PFI输入端的电平低于1.25V时，电源故障输出端电平由高变低，引起单片机中断，CPU中断相应服务程序，保护数据，断开外部用电电路等。

第5章算法的设计：
算法对于步进电机调速系统设计是一个相当重在的环节，因为只有确定了算法之后才能对步进电机的速度进行准确的控制，并时也能达到精确的调速目的。

同时算法也是编写软件的前提与基础。

控制算法有多种，常用的两种算法是PID和模糊控制算法。

PID 控制与模糊控制是两种常用的控制方法,但它们还存在一些不足,如一般PID 控制容易产生超调、模糊控制的稳态精度不高,在这两种控制方法基础上进行改进,可产生多种更
好的控制方法。

本文采用的复合PID 控制算法和带动态补偿的模糊控制算法克服了以上缺陷,取得了较好的实验效果。

5.1 PID 控制算法
PID 调节的实质就是根据输入的偏差值,按比例、积分、微分的函数关系,进行运算,将其运算结果用以输出控制,将基本PID 算式离散化可得到位置型PID 控制算法,对位置型PID 进行变换可得到增量型PID 控制算法。

对控制精度要求较高的系统一般采用位置型算法,而在以步进电机或多圈电位器做执行器件的系统中,则采用增量型算法。

PID是一种工业控制过程中应用较为广泛的一种控制算法，它具有原理简单，易于实现，稳定性好，适用范围广，控制参数易于整定等优点。

PID控制不需了解被控对象的数学模型,只要根据经验调整控制器参数,便可获得满意的结果。

其不足之处是对被控参数的变化比较敏感。

但是通过软件编程方法实现PID控制,可以灵活地调整参数。

,尽管近年来出现了很多先进的控制算法，但PID控制仍然以其独有的特点在工业控制过程中具有相当大的比重，且控制效果相当令人满意。

连续PID控制器也称比例－积分－微分控制器，即过程控制是按误差的比例
（P-ProportionAl）、积分（I-IntegrAl）和微分（D-DerivAtive）对系统进行控制，其系统原理框图如图5-1所示：
图5-1 PID的原理框图
它的控制规律的数学模型如下：
\* MERGEFORMAT \*
MERGEFORMAT (5-1)
或写成传递函数形式：。