一般三次方程的简明新求根公式和根的判别法则-2019年文档

一般三次方程的简明新求根公式和根的判别法则-2019年文档
一般三次方程的简明新求根公式和根的判别法则
一、一般三次方程的简化
对于一般形式的三次方程ax3+bx2+cx+d=0 （a≠0），两边同除以a，即可化为首项系数为1的三次方程
x3+bax2+cax+da=0.
作变量代换
x=y-b3a.（1）
可消去二次项，得
y3+py+q=0.（2）
其中p=-b2-3ac3a2，q=-9abc-2b3-27a2d27a3.（3）
下面我们把形如式（2）的三次方程称为简约三次方程，并约定其一次项系数p≠0.
二、简约三次方程的三角函数解法和求根公式
在方程（2）中作变量代换[1]
y=2-p3cosz.（4）
利用三倍角公式 cos3z=4cos3z-3cosz，方程（2）变为
cos3z=-q/2（-p/3）3.（5）
定义参数χ=-q/2（-p/3）3.（6）
称之为三次方程y3+py+q=0的关键比（key ratio），式（5）即cos3z=χ.（7）
利用欧拉公式 cosz=eiz+e-iz2.（8）
可将方程（7）化为一个以e3iz为元的二次方程（e3iz）2-2χ（e3iz）+1=0，解得e3iz=χ±χ2-1.
定义参数W=χ+χ2-1，由上式可得eiz = 3W 或13W，再由式（8），（4）即得方程y3+py+q=0的根为
y=-p33W+13W.（9）
其中W=χ+χ2-1，χ=-q/2（-p/3）3. （10）
复立方根3W的三个值正好对应于方程的三个根.
三、简约三次方程的另一个求根公式
定义参数λ= -q/2（p/3）3，亦称之为三次方程y3+py+q=0的关键比，对比χ的定义式（6），若规定平方根的取值满足（参见注1和附录1）-p/3=ip/3，则χ=iλ，于是
W=χ+χ2-1=iλ+（iλ）2-1=iλ+-（λ2+1）=i（λ+λ2+1）.
定义参数Z=λ+λ2+1，则W=iZ，故3W=eπi/6?3Z（参见附录1），代入式（9）可得
y=p3e2πi/3?3Z -1 e2πi/3?3Z.
因为e2πi/3乘以立方根3Z的三个值后仍得到3Z的三个值，所以上式即
y=p33Z-13Z.（12）
其中
Z=λ+λ2+1，λ=-q/2（p/3）3.（13）
四、一般三次方程的两个求根公式
为了把求根公式（9）和（12）推广到一般三次方程
ax3+bx2+cx+d=0，只需把相应的简约三次方程y3+py+q=0的关键比χ和λ直接用系数a，b，c，d表出即可. 将由式（3）给出的p，q值代入χ和λ的定义式可得[2]
χ = -q/2（-p/3）3 =
9abc-2b3-27a2d27a32b2-3ac9a23=9abc-2b3-27a2d2（b2-3ac）3，λ = -q/2（p/3）3 = 9abc-2b3-27a2d2（-（b2-3ac））3.
定义D=b2-3ac，则
χ=9abc-2b3-27a2d2（D）3，λ=9abc-2b3-27a2d2（-D）3.
我们可以把它们称为三次方程ax3+bx2+cx+d=0的关键比. 根据求根公式（9）和（12），并注意到p=-D3a2和x=y-b3a（参见式（1），（3）），我们就得到了下面的结果.
定理1（一般三次方程的求根公式Ⅰ）对于三次方程
ax3+bx2+cx+d=0，定义参数
D=b2-3ac，χ=9abc-2b3-27a2d2（D）3，
W=χ+χ2-1.（14）
则当D≠0时它的根为[3]
x=-b+D（3W+13W）3a.（15）
设W=|W|eiβ，|W|为复数W的模，β=argW为其幅角主值（-π其中σ=3|Z|，α=argZ，Z=λ+λ2+1.
注意求根公式Ⅰ和求根公式Ⅱ是等价的，在实际应用中，我们可以使用这两个求根公式中的任意一个求解（可视方便而定），除了根的编号可能不同之外，得到的结果是完全相同的.
例1 解复系数三次方程 x3+ix2+x-i=0.
解（用求根公式Ⅰ） D=b2-3ac=（i）2-3×1×1=-4，
χ=9abc-2b3-27a2d2（D）3=9i-2i3-27×（-i）2（-4）3=-198，W=χ+χ2-1=-198+-1982-1=-19-3338，
β=argW=π，ρ=3|W|=319-3338≈0.604401892838194，
代入式（16），即得方程的三个根：
x1=-i+-4ρ+1ρcosπ3+iρ-1ρsinπ33
≈0.606290729207199+0.419643377607081i，
x2≈-1.839286755214161i，
x3≈-0.606290729207199+0.419643377607081i.
也可以用求根公式Ⅱ求解本题，所得结果的差别只是后两个根的编号不同.
五、一般实系数三次方程的求解和根的判别法则（D-χ判别法）
对于实系数三次方程ax3+bx2+cx+d=0，我们可以根据参数D=b2-3ac的值，选择使用求根公式Ⅰ和求根公式Ⅱ中较方便的一个求解，进而判定根的情况.
1.D0的情形
当D=b2-3ac>0时，显然用求根公式Ⅰ求解比较方便，因为这时关键比χ为实数（参见式（14）），参数W=χ+χ2-1的取值视χ而定.
（1）若χ≥1，则W=χ+χ2-1亦为实数，设其实立方根为κ，则3W的三个值为κ，e2πi/3κ，e-2πi/3κ，代入式（15）即得方程的三个根：
x1=-b+D（κ+1κ）3a，x2，3=-b+D（κ+1κ）cos2π33a±iD （κ-1κ）sin2π33a.（21）
其中κ=3χ+χ2-1，（χ∈R，χ≥1，κ∈R）.
易见x1为实根. 当χ>1时，x2，x3为共轭虚根. 当χ=1，即χ=±1时，κ=±1，x2，x3为两个相等的实根.
（2）若χ0时即可判定各根的范围如下：
-b+D3ax3>x2.当a0，χ>1时，方程亦有一个实根和两个共轭虚根.
可用求根公式（21）求解. （3）当D=b2-3ac>0，χ=1时，方程有一个两重实根和一个单重实根.
仍可用求根公式（21）求解，也可以用三角求根公式（22）求解.
（4）当D=b2-3ac>0，χ0，χ>1 可知该方程有一个实根和两个共轭虚根，可用求根公式（21）求解.
κ=3χ+χ2-1≈1.375628929048766，
实根 x1=-b+Dκ+1κ3a=0.276+0.035376κ+1κ3?
ぁ?0.223820634031594.
例4 判别方程x3-0.5856x2+0.072x-0.002=0根的情况并求解.
解 D=b2-3ac=（-0.5856）2-3×0.072=0.12692736，
χ=9abc-2b3-27a2d2（D）3=9×（-0.5856）×0.072-2×（-0.5856）3-27×（-0.002）2（0.12692736）3?
ぁ?0.842186183431575，
由D>0，χ。