2022-2023学年江苏省扬州大学附属中学高二上学期月考(一)数学试题(解析版)

2022-2023学年江苏省扬州大学附属中学高二上学期月考（一）数学
试题
一、单选题
1．数列1132
0,,,,,3253⋯的通项公式为（ ）
A ．2
n n a n -= B ．1
n n a n
-= C ．1
1
n n a n -=
+ D ．2
2
n n a n -=
+ 【答案】C
【分析】根据分子和分母的数学特征进行判断即可. 【详解】原数列可变形为01234
,,,,,23456
⋯，
所以1
1
n n a n -=+， 故选：C
2．已知直线260ax y ++=与直线2(1)10x a y a +-+-=互相平行，则实数a 的值为( ) A ．2- B ．2或1- C ．2 D ．1-
【答案】D
【分析】两直线斜率存在时，两直线平行则它们斜率相等，据此求出a 的值，再排除使两直线重合的a 的值即可﹒
【详解】直线260ax y ++=斜率必存在， 故两直线平行，则11
2a a =---
，即220a a --=，解得21a =-或， 当2a =时，两直线重合，∴1a =-． 故选：D ．
3．已知实数,x y 满足250x y ++=
A B
C ．
D ．【答案】A
【详解】 (,)x y 到坐标原点的距离，
又原点到直线250x y ++=的距离为d =
=
所以22x y +的距离的最小值为5，故选A.
4．已知点3(2,)A -，(3,2)B --．若直线:10l mx y m +--=与线段AB 相交，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．3,[4,)4⎛
⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝
⎦
B ．3,44⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
C ．1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
D ．34,4⎡
⎤-⎢⎥⎣
⎦
【答案】A
【分析】直线l 过定点P （1，1），且与线段AB 相交，利用数形结合法，求出P A 、PB 的斜率， 从而得出l 的斜率m -的取值范围,即得解
【详解】设直线l 过定点(,)P x y ，则直线:10l mx y m +--=可写成(1)10m x y -+-=，
令10,10,x y -=⎧⎨-=⎩解得1,
1.x y =⎧⎨
=⎩
∴直线l 必过定点(1,1)P ． 31421PA k --=
=--，213
314
PB k --==--．直线:10l mx y m +--=与线段AB 相交，
∴由图象知，3
4m -≥
或4m -≤-，解得34
m ≤-或4m ≥， 则实数m 的取值范围是3,[4,)4⎛
⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝
⎦．
故选：A
【点睛】本题考查了直线方程的应用，过定点的直线与线段相交的问题，考查了学生综合分析、数形结合的能力，属于中档题． 5．已知点()2,1A -，()3,B m ，若3
[31]m ∈，则直线AB 的倾斜角的取值范围为( ) A ．5,36ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
B ．50,,36ππ
π⎡⎤⎡⎫
⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭
C ．5,,3226ππππ⎡⎫⎛⎤
⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦
D ．5,,326πππ
π⎡⎫⎡⎫
⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭
【答案】B
【分析】利用斜率公式和m 的取值范围求出斜率k 的取值范围，再根据斜率与倾斜角之间的关系求出倾斜角的取值范围. 【详解】由题可得：1132m k m +=
=+-，因为3[1,31]3m ∈---，所以3
[,3]3
k ∈-.又因为在π[0,)2和
(,)2ππ内，k 随着倾斜角的增大而增大.又tan 33π=，53tan 63
π=-
，所以倾斜角03πα≤≤或56
π
απ≤<. 故选：B.
6．已知圆22:(2)(6)4-+-=C x y ，点M 为直线:80l x y -+=上一个动点，过点M 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形CAMB 周长的最小值为（ ） A ．8 B ．62 C ．52 D ．242+
【答案】A
【分析】根据圆的切线性质，结合点到直线的距离公式进行求解即可. 【详解】圆22:(2)(6)4-+-=C x y 的圆心坐标为(2,6)C ，半径为2， 因为过点M 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ， 所以有MA MB =，,MA CA MB CB ⊥⊥， 因此有2224MA MB MC CA MC ==-=-，
要想四边形CAMB 周长最小，只需MC 最小，即当MC l ⊥时， 此时2
2
268221(1)
MC -+=
=+-，此时842MA MB ==-=，
即最小值为22228⨯+⨯=， 故选：A
【点睛】关键点睛：利用圆切线性质是解题的关键.
7．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜.据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一“.在某种玩法中，用n
a 表示解下()*
9,n n n N ≤∈个圆环所需的移动最少次数，若11a =.且1121,22,n n n a n a a n ---⎧=⎨+⎩为偶数为奇数，则解下6
个环所需的最少移动次数为（ ）
A ．13
B ．16
C ．31
D ．64
【答案】C
【解析】根据已知的递推关系求6a ，从而得到正确答案.
【详解】11a =，11
21,22,n n n a n a a n ---⎧=⎨+⎩为偶数
为奇数，
∴21211a a =-=，32224a a =+=，43217a a =-=，542216a a =+=， 652131a a =-=，
所以解下6个环所需的最少移动次数为31. 故选：C.
8．若方程234x b x x +=-b 的取值范围为（ ） A ．(122,12)-+ B ．(122,1]-- C ．[1,122)-+
D ．(12,3]-
【答案】B
【分析】将234y x x =-22(2)(3)4-+-=x y (3y ≤)，作出直线与半圆的图形，利用两个图形有2个公共点，求出切线的斜率，观察图形可得解.
【详解】解：由234y x x =-22(2)(3)4-+-=x y (3y ≤)， 所以直线y x b =+与半圆22(2)(3)4-+-=x y (3y ≤)有2个公共点， 作出直线与半圆的图形，如图：
当直线经y x b =+过点(4,3)时，341b =-=-， 当直线与圆22(2)(3)4-+-=x y 211
=+，解得122b =-122b =+， 由图可知，当直线y x b =+与曲线234y x x =-2个公共点时，1221b -<≤-， 故选：B.
二、多选题
9．已知数列0,2,0,2,0,2,
，则前六项适合的通项公式为（ ）
A ．1(1)n
n a =+-
B ．2cos
2
n n a π= C ．(1)2sin 2
n n a π
+= D ．1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--
【答案】AC
【解析】对四个选项中的数列通项公式分别取前六项，看是否满足题意，得出答案．
【详解】对于选项A ，1(1)n
n a =+-取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件；
对于选项B ，2cos 2
n n a π
=取前六项得：0,2,0,2,0,2--，不满足条件； 对于选项C ，(1)2sin
2
n n a π
+=取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件； 对于选项D ，1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--取前六项得：0,2,2,8,12,22，不满足条件； 故选：AC
10．已知直线:10l mx y m +-+=，圆22:2410E x y x y +--+=，则下列说法正确的是（ ） A ．直线l 与圆E 一定有公共点
B ．当1
2
m =-时直线l 被圆E 截得的弦最长
C ．当直线l 与圆E 相切时，34
m =
D ．圆心
E 到直线l 【答案】BCD
【分析】由圆的方程可得圆心的坐标及半径，因为直线l 过定点，且点在圆E 外，可得A 不正确； 当1
2
m =-时可得直线l 过圆心，所以B 正确；
直线l 与圆相切时可得34
m =，所以C 正确，
当ME 与直线l D 正确．
【详解】由题意知直线l 过定点()1,1M -，且点M 在圆E 外部，所以A 错误；当1
2
m =-时，l 的方
程为230x y -+=，直线l 过圆心()1,2E ，截得的弦恰为直径，故B 正确；当l 与圆E 相切时，
2=，解得34
m =，故C 正确；当l 与ME 垂直时，圆心E 到l 的距离取得最大值，其最
大值为ME =D 正确. 故选：BCD.
11．下列结论正确的是（ ）
A ．过点(－2，－3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为x ＋y ＝－5;
B ．已知直线kx -y -k -1＝0和以M （-3，1），N （3，2）为端点的线段相交，则实数k 的取值范围为13
22
k -≤≤;
C ．已知ab ≠0，O 为坐标原点，点P (a ，b )是圆x 2＋y 2＝r 2外一点，直线m 的方程是ax ＋by ＝r 2，则m 与圆相交;
D ．若圆()()()2
2
2:440M x y r r -+-=>上恰有两点到点N （1，0）的距离为1，则r 的取值范围是(4，6). 【答案】CD
【分析】A 选项分情况讨论，直线过原点和不过原点两种情况；B 选项中直线kx -y -k -1＝0恒过点
(1,1)P -，计算,PM PN k k 即可求解；C 选项中利用圆心到直线距离及点P 在圆外即可判断；D 选项根据
以N 为圆心，1为半径的圆与已知圆相交，利用圆心距与两圆的圆的半径间关系即可求解. 【详解】A 中直线过原点时，由两点式易得，直线方程为3
2
y x =
，故错误； B 中直线kx -y -k -1＝0可化为(1)(1)0k x y --+=，所以直线恒过定点，
111123,132132
PM PN k k ----=
=-==+-，直线与线段相交，所以32k ≥或1
2k ≤-，故错误；
C 中圆心到直线的距离2
d P (a ，b )是圆x 2＋y 2＝r 2外一点，所以
2
2
2
a b r +>，所以2
2
r d r r =<=，所以直线与圆相交，故正确. D 中与点N （1，0）的距离为1的点在圆22(1)1x y -+=上，由题意知圆()()()22
2:440M x y r r -+-=>与圆22(1)1x y -+=相交，所以圆心距5d MN ==满足151r d r -<=<+，解得46r <<，故D 正确. 故选：CD
【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，圆与圆的位置关系，点与圆的位置关系，点到直线的距离公式，斜率公式，直线过定点，考查计算能力，属于中档题．
12．已知圆22:4C x y +=，直线:(3)4330(R)l m x y m m ++-+=∈，则下列结论正确的是（ ） A ．直线l 恒过定点(3,3)
B ．当0m =时，圆
C 上有且仅有三个点到直线l 的距离都等于1 C ．圆C 与曲线22680x y x y m +--+=恰有三条公切线，则16m =
D ．当13m =时，直线l 上动点P 向圆C 引两条切线P A ，PB ，其中A ，B 为切点，则直线AB 经过点164,9
9⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
【答案】CD
【分析】对A 将直线化成(3)(343)0m x x y +++-=，则30
3430x x y +=⎧⎨+-=⎩
，解出即为定点；对B 直接
计算圆心到直线的距离与1的大小关系，即可判断B ，对C ，直接将m 代入，通过几何法判断两圆位置关系即可，对D ，设点(,94)P t t --，利用两点直径式方程写出以PC 为直径的圆的方程，两圆方程作差，得到公共弦所在直线方程，化成关于参数t 的方程，即可求出定点坐标. 【详解】由直线l :(3)4330m x y m ++-+=,(R)m ∈,整理得:(3)(343)0m x x y +++-=,故
303430x x y +=⎧⎨
+-=⎩,解得3
3x y =-⎧⎨=⎩
,即经过定点()3,3-,故A 错误; 当0m =时,直线l 为3430x y +-=, ∴圆心(0,0)到直线3430x y +-=的距离
3
15
d =
=
< 故圆C 上有四个点到直线l 的距离都等于1,故B 错误; 圆22:4C x y +=,其半径2r =，
圆22680x y x y m +--+=,
当16m =时, 2268160x y x y +--+=,整理得 22(3)(4)9x y -+-=，其半径3R =
5235r R ==+=+=， 故两圆相外切,恰有三条公切线,故C 正确; 当13m =时,直线l 的方程为490x y ++=,
设点(,94)P t t --,圆22:4C x y +=的圆心()0,0C ,半径为2r =, 以线段PC 为直径的圆M 的方程为: ()(94)0x t x t y y -+++=,
即22()940x t x y y ty +-+++=, 又圆C 的方程为224x y +=,
∴两圆的公共弦的方程为4940tx ty y -+++=
整理得
(4)940y x t y -++=,即40940y x y -=⎧⎨+=⎩,解得169
49x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
, 即直线AB 经过点164,99⎛⎫
-- ⎪⎝⎭,故D 正确.
故选：CD.
三、填空题
13．已知数列{}n a 的通项公式为2
n a n n λ=+（其中λ是常数），若数列{}n a 为严格增数列，则λ的取
值范围为__________. 【答案】()3,-+∞
【分析】由题意10n n a a +->对任意N*n ∈恒成立，从而可得答案.
【详解】数列{}n a 为严格增数列，则()()2
2111210n n a a n n n n n λλλ+-=+++--=++>
所以210n λ++>，即21n λ>--对任意N*n ∈恒成立 所以3λ>- 故答案为：()3,-+∞
14．若过点()2,4的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线20x y --=的距离为________．
【分析】设圆心为(,)m n ，半径为r 写出圆的标准方程，根据点在圆上及已知条件求m 值，再应用点线距离公式求圆心到直线距离.
【详解】设圆心为(,)m n ，半径为r ，则222()()x m y n r -+-=， 由题设，m n =±且22m r =，
当m n =，222(2)(4)m m m -+-=，可得2m =或10m =； 当m n =-，222(2)(4)m m m -++=，方程无解； 所以圆心为(2,2)或(10,10)，
当圆心为(2,2)到20x y --=
=；
当圆心为(10,10)到20x y --=
=
所以圆心到直线20x y --=
15．已知圆22:4210C x y x y +--+=，点P 是直线4y =上的动点，过P 作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 的最小值为______．
【分析】根据圆的切线的性质，结合三角形面积2APBC S PA =四边形与1
2
APBC S AB CP =
四边形，化简可得
4PA AB CP
=
，进而得到AB =AB 最短时，CP 最短求解即可
【详解】圆22:4210C x y x y +--+=，即()()2
2
214x y -+-=， 由于P A ，PB 分别切圆C 于点A ，B ，则PA PB =， CA PA ⊥，CB PB ⊥，所以2ACP APBC S S CA PA ==四边形△，
因为2CA CB r ===，所以2APBC S PA =四边形， 又PC AB ⊥，所以1
2
APBC S AB CP =四边形，
所以14
PA AB CP =
，即4PA AB CP ==
所以AB 最短时，CP 最短，
点C 到直线4y =的距离即为CP 的最小值， 所以min 3CP =，所以AB 的最小值为445
4193
-
=
45
四、双空题
16．在平面直角坐标系中，直线(0)y kx m k =+≠与x 轴和y 轴分别交于A ，B 两点，||2AB =段AB 的中点到原点的距离等于___________；若CA CB ⊥，则当k ，m 变化时，点C 到点(1,1)的距离的最大值为___________． 【答案】
232【分析】求出()0,B m ，,0⎛⎫- ⎪⎝⎭m A k ，由||22AB =2228+=m m k
，AB 的中点坐标为,22⎛⎫- ⎪⎝⎭m m A k ， 可得OA ；利用0CA CB ⋅=得()2222
2
1224+⎛
⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭m k m m x y k k ，即轨迹为动圆，设圆心为(),M x y ''，代入2
2
28+=m m k
，可得()()222''+=x y ，由点C 到点(1,1)的距离可得答案.
【详解】令0x =得y m =，所以()0,B m ，令0y =得()0=-≠m x k k
，所以,0⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
m
A k
，
所以2
2
2||22=+=m AB m k
，可得2
228+=m m k ，
AB 的中点坐标为,22⎛⎫
-
⎪⎝
⎭m m A k ， 所以2
2
22211822444⎛⎫⎛⎫-++⨯ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
m m m OA m k k 则线段AB 2
因为CA CB ⊥，设(),C x y ，所以0CA CB ⋅=，即
()0⎛⎫++-= ⎪⎝⎭m x x y y m k ，即()
2222
21224+⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
m k m m x y k k ， 即轨迹为动圆，设圆心为(),M x y ''，
则,22m m x y k ''=-=代入2
2
28+=m m k
，可得()()222''+=x y ，
所以点C 到点(1,1)
=故答案为：
五、解答题
17．已知数列{}n a 满足()164
N 2
n n n a a n a +-=∈+，且13a =. (1)求234,,a a a ；
(2)证明：数列12n a ⎧⎫
⎨⎬-⎩⎭
是等差数列.
【答案】(1)23414818,,537
a a a === (2)证明见解析
【分析】（1）利用赋值法，由递推关系式依次求得234a a a ，，； （2）将推递关系式进行变形，得到1111
224
n n a a +-=--，从而得证.
【详解】（1）因为()164
N 2
n n n a a n a +-=∈+，13a = 所以312132243646464148
18,,252327
a a a a a a a a a ---=+=+====
+. （2）因为()164
N 2
n n n a a n a +-=∈+， 所以164642448
2222
2n n n n n n n n a a a a a a a a +-----=
-+-==++， 则()11122224148424n n n n n n a a a a a a +-+-+===+---，
故1111
224
n n a a +-=--，
又13a =，所以
11
12
a =-，
所以数列12n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭
是首项为1，公差为1
4的等差数列.
18．已知△ABC 的顶点()6,1A ，AB 边上的中线CM 所在直线方程250x y --=，AC 边上的高BH 所在直线方程为250x y --=求： (1)顶点C 的坐标； (2)直线BC 的方程. 【答案】(1)9,42⎛⎫
⎪⎝⎭
；
(2)4641430x y --=.
【分析】（1）根据直线BH 的斜率，求得直线AC 的斜率以及其方程，再求直线AC 与CM 的交点坐标即可；
（2）设出点B 的坐标，根据点B 在直线BH 上，以及AB 的中点坐标满足直线CM 的方程，从而求得点B 的坐标，再求直线BC 方程即可.
【详解】（1）高BH 所在直线方程为250x y --=，其斜率为12
，故直线AC 的斜率为2-，
则直线AC 的方程为：()126y x -=--，即213y x =-+， 联立AC 方程与中线CM 所在直线方程250x y --=，可得9
2
x =，4y =， 故点C 的坐标为9,42⎛⎫
⎪⎝⎭
.
（2）设点B 的坐标为(),m n ，由点B 在直线BH 上可得250m n --=；
AB 的中点M 的坐标为61,2
2m n ++⎛⎫
⎪⎝⎭，点M 的坐标满足直线CM 方程，即16502n m ++--=； 故可得711,33m n =-=-，即点B 坐标为711,33⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
.
则直线BC 的斜率为11
4463974123
+
=+，故直线BC 的方程为4694412y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 整理可得：4641430x y --=，故直线BC 方程为：4641430x y --=.
19．已知圆22
1:68210C x y x y +--+=．
(1)若直线1l 过定点(1,1)A ，且与圆C 相切，求直线1l 的方程；
(2)若圆D 的半径为3，圆心在直线2:20l x y -+=上，且与圆C 相切，求圆D 的方程．
【答案】(1)1x =或51270x y -+=；
(2)()()2
2
119x y ++-=或()()2
2
689x y -+-=或()()2
2
249x y -+-=或()()2
2
359x y -+-=．
【分析】(1)设1l 的直线方程为()()()22
1100a x b y a b -+-=+≠(可以避开斜率为0和不存在情况)，
再用圆心到直线距离等于半径找出,a b 关系即可；
(2)讨论圆D 与圆1C 内切还是外切，分别计算出两种情况时的圆心坐标即可. 【详解】（1）圆()()22
:344C x y -+-=的圆心(3,4)C ，半径2r =，
因为直线1l 过定点(1,1)A ，所以可设直线1l 的方程为()()()22
1100a x b y a b -+-=+≠，
因为直线1l 与圆C 2=，整理得2125ab b =-，则0b =或5
12
a b =-
， 当0b =时，直线1l 的方程为1x =； 当5
12
a b =-
时，直线1l 的方程为51270x y -+=．所以直线1l 的方程为1x =或51270x y -+=.
（2）因为圆D 的圆心在直线2:20l x y -+=上，所以可设(,2)D m m +，则CD = 当圆D 与圆C 外切时，325CD =+=，
5=，解得1m =-或6m =，所以圆D 的方程为()()22
119x y ++-=或
()()
2
2
689x y -+-=．
当圆D 与圆C 内切时，321CD =-=，1=，解得2m =或3m =，所以圆D 的
方程为()()2
2
249x y -+-=或()()2
2
359x y -+-=．
综上，圆D 的方程为()()2
2
119x y ++-=或()()2
2
689x y -+-=或()()2
2
249x y -+-=或
()()
22
359x y -+-=．
20．已知线段AB 的端点B 的坐标是()5,1，端点A 在圆()2
21:1(3)4C x y -+-=上运动．
(1)求线段AB 的中点P 的轨迹2C 的方程；
(2)设圆1C 与曲线2C 的两交点为M ，N ，求线段MN 的长；
(3)若点C 在曲线2C 上运动，点Q 在x 轴上运动，求AQ CQ +的最小值． 【答案】(1)22(3)(2)1x y -+-= (2)45
MN =
293
【分析】(1) 设00(,)A x y ，
(,)P x y ，可得002521
x x y y =-⎧⎨=-⎩，代入圆()2
21:1(3)4C x y -+-=化简即可； (2) 联立方程()()22134x y -+-=和()()22
321x y -+-=，得MN 所在公共弦所在的直线方程230x y --=,再由弦长公式可求得结果；
(3) 作2C 关于x 轴得对称点()'232C -，，连接'
12C C 与x 轴交于Q 点，根据时'123AQ CQ C C +≥-求解
即可.
【详解】（1）设00(,)A x y ，(,)P x y ，点A 在圆2
21:1(3)4C x y -+-=（），所以有：()2
2001(3)4x y -+-=，
P 是A ，B 的中点，0052
1
2x x y y +⎧
=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩
，即002521x x y y =-⎧⎨=-⎩，得P 得轨迹方程为：22(3)(2)1x y -+-=；
（2）联立方程()()22134x y -+-=和()()22
321x y -+-=，得MN 所在公共弦所在的直线方程230x y --=，
设1C 到直线MN 得距离为d ，则233
45
5
d --,
所以
16254255MN =-=，45
5
MN =； （3）作出2C 关于x 轴得对称点()'
232C -，
， 如图所示；
连接'
12C C 与x 轴交于Q 点，点Q 即为所求，
此时'
123293AQ CQ C C +≥-，所以AQ CQ +293.
21．已知圆()2
2:21M x y +-=，点P 是直线:20l x y +=上的一动点，过点P 作圆M 的切线P A ，PB ，切点为A ，B ．
（1）当切线P A 3P 的坐标；
（2）若PAM △的外接圆为圆N ，试问：当P 运动时，圆N 是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）求线段AB 长度的最小值．
【答案】（1）()0,0P 或84,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）圆过定点()0,2，42,55⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）当25b =时，AB 11
【分析】（1）设()2,P b b -，由22
MP AM AP =
+b ，得出结果；
（2）因为A 、P 、M 三点的圆N 以MP 为直径，所以圆N 的方程为()()2
2
22
42224b b b x b y +-+⎛⎫++-= ⎪⎝
⎭，化简为()()22
2220x y b x y y -+++-=，由方程恒成立可知2222020x y x y y -+=⎧⎨+-=⎩
，即可求得动圆所过的定
点；
（3）由圆M 和圆N 方程作差可得直线AB 方程，设点()0,2M 到直线AB 的距离d
，则AB =，计算化简可得结果.
【详解】（1）由题可知，圆M 的半径1r =，设()2,P b b -， 因为P A 是圆M 的一条切线，所以90MAP ∠=︒， 所以
2MP =，
解得0b =或4
5
b =
， 所以点P 的坐标为()0,0P 或84,55P ⎛⎫
- ⎪⎝⎭．
（2）设()2,P b b -，因为90MAP ∠=︒， 所以经过A 、P 、M 三点的圆N 以MP 为直径， 其方程为()()2
2
22
42224b b b x b y +-+⎛⎫++-=
⎪⎝
⎭， 即()()
22
2220x y b x y y -+++-=，
由22
22020
x y x y y -+=⎧⎨+-=⎩， 解得02x y =⎧⎨=⎩或4525x y ⎧=-
⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，
所以圆过定点()0,2，42,55⎛⎫
- ⎪⎝⎭
．
（3）因为圆N 方程为()()2
2
22
42224b b b x b y +-+⎛⎫++-=
⎪⎝
⎭， 即()22
2220x y bx b y b ++-++=①
又圆22:430M x y y +-+=②
①-②得圆M 方程与圆N 相交弦AB 所在直线方程为
()22230bx b y b --+-=． 点()0,2M
到直线AB 的距离d =
，
所以相交弦长AB =
2
1
21216555b =-
⎛
⎫-+
⎪⎝
⎭， 所以当25b =
时，AB 有最小值112
． 【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，考查定点问题和距离的最值问题，难度较难.
22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，圆22:4O x y +=交y 轴于A 、B 两点，交直线1y kx =-于M 、
N 两点．
(1)若14MN =k 的值；
(2)设直线AM 、AN 的斜率分别为1k 、2k ，试探究斜率之积12k k 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
(3)证明：直线AM 、BN 的交点必然在一条定直线上，并求出该定直线的方程． 【答案】(1)1k =±； (2)12k k 恒为定值3-；
(3)证明见解析，交点恒在定直线4y =-上.
【分析】（1）利用勾股定理可求得圆心到直线1y kx =-的距离d ，再利用点到直线的距离公式可得出关于k 的等式，即可求得实数k 的值；
（2）设点()11,M x y 、()22,N x y ，将直线MN 的方程与圆的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式结合韦达定理可求得12k k 的值，即可证得结论成立；
（3）设直线BN 的斜率为3k ，可得出133k k =，写出直线AM 、BN 的方程，求出两直线交点的纵坐标，即可证得结论成立.
【详解】（1）解：圆O 的圆心为()0,0，到直线1y kx =-的距离为211
d k =
+，
22414MN d =-=，可得212
2
1
d k =
=
+，解得1k =±. （2）解：将1y kx =-代入圆О方程224x y +=，并整理得()22
1230k x kx +--=，
则()22
Δ41210k k =++>，设点()11,M x y 、()22,N x y ，
由韦达定理12221k
x x k +=
+，12
2
31x x k -=+． ()0,2A ，所以，1
11111233y kx k k x x x --===-，同理22
3
k k x =-， 于是()21222
12121293333933k x x k k k k k k k x x x x -+⎛⎫⎛⎫+=--=+
=-=- ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭（定值）. （3）解：注意到AN BN ⊥，设直线BN 的斜率为3k ，则2331
3
1k k k k =-
⋅=-，即133k k =．
直线AM 的方程为12y k x =+，直线BN 的方程为32y k x =-的交点满足
13232k x
y y k x
-==+， 即362y y +=-，解得4y =-，故直线AM 、BN 交点必在定直线4y =-上．。