湖南省长沙市岳麓区湖南师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期11月月考数学试题

湖南省长沙市岳麓区湖南师范大学附属中学2024-2025学年高
三上学期11月月考数学试题
一、单选题
1．集合{}0,1,2,3A =的真子集的个数是（）A ．16
B ．15
C ．8
D ．7
2．“11x -<”是“240x x -<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．已知角α的终边上有一点P 的坐标是()3,4a a ，其中0a ≠，则sin2α=（）A ．
4
3
B ．
725
C ．
24
25
D ．2425-
4．设向量a ，b
满足a b += a b -=r r a b ⋅ 等于（）
A ．
B ．2
C ．5
D ．8
5．若无论θ为何值，直线sin cos 10y x θθ⋅+⋅+=与双曲线2215
x y
m -=总有公共点，则m 的
取值范围是（）A ．1
m ≥B ．01m <≤C ．05m <<，且1
m ≠D ．1m ≥，且5
m ≠6．已知函数()2f x 的图象关于原点对称，且满足()()130f x f x ++-=，且当()2,4x ∈时，()()12log 2f x x m =--+，若()()2025112
f f -=-，则m 等于（）
A ．1
3B ．23C ．23-D ．13
-
7．已知正三棱台
111ABC A B C -所有顶点均在半径为5的半球球面上，且AB =
11A B =）
A ．1
B ．4
C ．7
D ．1或7
8．北宋数学家沈括博学多才、善于观察.据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不禁想到：“怎么求这些酒坛的总数呢？”经过反复尝试，沈括提出对于上底有ab 个，
下底有cd 个，共n 层的堆积物（如图所示），可以用公式()()()2266
n
n S b d a b d c c a =++++-⎡⎤⎣⎦求出物体的总数，这就是所谓的“隙积术”，相当于求数列ab ，
()()()()()()11,22,,11a b a b a n b n cd +++⋅++-+-= 的和.若由小球堆成的上述垛积共7层，
小球总个数为238，则该垛积最上层的小球个数为（）
A ．2
B ．6
C ．12
D ．20
二、多选题9．若2024
220240122024(12)
x a a x a x a x +=++++ ，则下列正确的是（）
A ．02024
a =B ．2024
0120243
a a a +++= C ．012320241
a a a a a -+-++= D ．12320242320242024
a a a a -+--=- 10．对于函数()sin cos f x x x =+和()sin cos 22g x x x ππ⎛⎫⎛
⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，下列说法中正确的有（）
A ．()f x 与()g x 有相同的零点
B ．()f x 与()g x 有相同的最大值点
C ．()f x 与()g x 有相同的最小正周期
D ．()f x 与()g x 的图象有相同的对称轴
11．过点()0,2P 的直线与抛物线2:4C x y =交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，抛物线C 在点A 处的切线与直线2y =-交于点N ，作NM AP ⊥交AB 于点M ，则（）
A ．5
OA OB ⋅=-
B ．直线MN 恒过定点
C ．点M 的轨迹方程是()
22
(1)10y x y -+=≠D ．
AB
MN
三、填空题
12．已知复数1z ，2z 的模长为1，且
21
11
1z z +=，则12z z +=.
13．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c 已知5a =，4b =，()31cos 32
A B -=，则sin B =
.
14．若正实数1x 是函数()2e e x f x x x =--的一个零点，2x 是函数()()()3
e ln 1e g x x x =---的
一个大于e 的零点，则
()
122
e e x x -的值为.
四、解答题
15．现有某企业计划用10年的时间进行技术革新，有两种方案：
贷款
利润
A 方案
一次性向银行贷款10万元
第1年利润1万元，以后每年比前一年增加25%的利润
B 方案每年初向银行贷款1万元
第1年利润1万元，以后每年比前一年增加利润3000元
两方案使用期都是10年，贷款10年后一次性还本付息（年末结息），若银行贷款利息均按
10%的复利计算.
(1)计算10年后，A 方案到期一次性需要付银行多少本息？(2)试比较A 、B 两方案的优劣.
（结果精确到万元，参考数据：10
1.1
2.594≈，101.259.313≈）
16．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，222AD AB BC ===.点P 在底面的射影点Q 在线段AC 上.
(1)在图中过A 作平面PCD 的垂线段，H 为垂足，并给出严谨的作图过程；(2)若2PA PD ==.求平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值.17．已知函数()e sin cos x f x x x =+-，()f x '为()f x 的导数.(1)证明：当0x ≥时，()2f x '≥；
(2)设()()21g x f x x =--，证明：()g x 有且仅有2个零点.
18．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点为1F 、2F ，P
为椭圆C 上一动点，设12F PF θ∠=，当2π
3
θ=时，12F PF
(1)求椭圆C 的标准方程.
(2)过点()0,2B 的直线l 与椭圆交于不同的两点M 、N （M 在B ，N 之间），若Q 为椭圆C 上一点，且OQ OM ON =+
，①求
OBM
OBN
S S 的取值范围；②求四边形OMQN 的面积.
19．飞行棋是大家熟悉的棋类游戏，玩家通过投掷骰子来决定飞机起飞与飞行的步数.当且仅当玩家投掷出6点时，飞机才能起飞.并且掷得6点的游戏者可以连续投掷骰子，直至显示点数不是6点.飞机起飞后，飞行步数即骰子向上的点数.
(1)求甲玩家第一轮投掷中，投郑次数X 的均值()()()11lim n n k k E X kP k kP k ∞
∞
→==⎛⎫
== ⎪⎝⎭
∑∑）(2)对于两个离散型随机变量ξ、η，我们将其可能出现的结果作为一个有序数对，类似于离散型随机变量的分布列，我们可以用如下表格来表示这个有序数对的概率分布：（记()()()11
,m
i i i
j
j p x p x p x y ξ====
∑，()()()2
1
,n
j
i
i
j i p y p y p x
y η====∑）
ξη
1x 2x ⋯
n x 1y ()11,p x y ()21,p x y ⋯
()1,n p x y ()21p y 2
y ()
12,p x y ()
22,p x y L
()
2,n p x y ()
22p y ⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
m
y ()1,m p x y ()2,m p x y ⋯
(),n m p x y ()2m p y ()
11p x ()
12p x L
()
1n p x 1
若已知i x ξ=，则事件{}j y η=的条件概率为{}{}{}
()()
1,,j i i j j i i i P y x p x y P y x P x p x ηξηξξ======
=.
可以发现i x ηξ=依然是一个随机变量，可以对其求期望
{}{}()()1111
,m
m
i j j i j i j
j i i
E x y P y x y p x y p x ηξηξ====⋅===⋅∑∑.
（ⅰ）上述期望依旧是一个随机变量（ξ取值不同时，期望也不同），不妨记为{}E ηξ，求
{}E E ηξ⎡⎤⎣⎦；
（ⅱ）若修改游戏规则，需连续掷出两次6点飞机才能起飞，记0ξ=表示“甲第一次未能掷出6点”，1ξ=表示“甲第一次掷出6点且第二次未能掷出6点”，2ξ=表示“甲第一次第二次均掷出6点”，η为甲首次使得飞机起飞时抛掷骰子的次数，求E η.。