【创新设计】2012版高考数学总复习 第1单元 集合与常用逻辑用语 1.3简单的逻辑联结词、全称量词

§1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
(时间：50分钟 满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知命题“∀a ，b ∈R ，如果ab >0，则a >0”则它的否命题是( )
A ．∀a ，b ∈R ，如果ab <0，则a <0
B ．∀a ，b ∈R ，如果ab ≤0，则a ≤0
C ．∃a ，b ∈R ，如果ab <0，则a <0
D ．∃a ，b ∈R ，如果ab ≤0，则a ≤0
答案：B
2．(2011·某某日照调研)“p 或q ”为真命题是“p 且q ”为真命题的( )
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：若命题“p 或q ”为真命题，则p 、q 中至少有一个为真命题．若命题“p 且q ”为真命题，则p 、q 都为真命题，因此“p 或q ”为真命题是“p 且q ”为真命题的必要不充分条件．
答案：C
3．若函数f (x )＝x 2＋a x (a ∈R )，则下列结论正确的是( )
A ．∀a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是增函数
B ．∀a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是减函数
C ．∃a ∈R ，f (x )是偶函数
D ．∃a ∈R ，f (x )是奇函数
解析：对于A 只有在a ≤0时f (x )在(0，＋∞)上是增函数，否则不成立；对于B ，如果a ≤0就不成立；对于D 若a ＝0，则成为偶函数了，因此只有C 是正确的，即对于a ＝0
时有f (x )＝x 2是一个偶函数，因此存在这样的a ，使f (x )是偶函数．
答案：C
4．(2011·潍坊模拟)下列说法错误的是( )
A ．命题“若x 2－4x ＋3＝0，则x ＝3”的逆否命题是：“若x ≠3，则x 2－4x ＋3≠0”
B ．“x ＞1”是“|x |＞0”的充分不必要条件
C ．若p 且q 为假命题，则p 、q 均为假命题
D ．命题p ：“∃x ∈R 使得x 2＋x ＋1＜0”，则綈p ：“∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0” 解析：逆否命题是对条件结论都否定，然后再将否定后的条件作结论，结论作条件，则A 是正确的；x ＞1时，|x |＞0成立，但|x |＞0时，x ＞1不一定成立，故x ＞1是|x |＞0的充分不必要条件，故B 是正确的；p 且q 为假命题，则p 和q 至少有一个是假命题，故C 不正确；特称命题的否定是全称命题，故D 正确．
答案：C
5．由命题p ：“函数y ＝1x
是减函数”与q ：“数列a ，a 2，a 3，…是等比数列”构成的复合命题，下列判断正确的是( )
A ．p 或q 为真，p 且q 为假，非p 为真
B ．p 或q 为假，p 且q 为假，非p 为真
C ．p 或q 为真，p 且q 为假，非p 为假
D ．p 或q 为假，p 且q 为真，非p 为真
解析：y ＝1x
在(0，＋∞)和(－∞，0)上分别为减函数，p 是假命题． 又a ＝0时，数列a ，a 2，a 3
，…不是等比数列，∴q 是假命题．
∴p 或q 为假，p 且q 为假，非p 为真．
答案：B
二、填空题(每小题4分，共16分)
6．(2011·某某某某调研)已知命题“∃x ∈R ，使2x 2＋(a －1)x ＋12
≤0”是假命题，则实数a 的取值X 围是________．
解析：由条件得命题“∀x ∈R ，使2x 2＋(a －1)x ＋12
＞0”是真命题，所以Δ＝(a －1)2－4＜0.解得－1＜a ＜3.
答案：(－1,3)
7．已知命题p ：函数f (x )＝log 0.5(3－x )的定义域为(－∞，3)；命题q ：若k ＜0，则函数h (x )＝k x
在(0，＋∞)上是减函数．则下列结论中错误的是________． ①命题“p 且q ”为真；②命题“p 或非q ”为假；③命题“p 或q ”为假；④命题“非p 且非q ”为假．
解析：由3－x ＞0，得x ＜3，命题p 为真，命题非p 为假．又由k ＜0，易知函数h (x )＝k x 在(0，＋∞)上是增函数，命题q 为假，所以命题非q 为真．所以命题“p 且q ”为假，命题“p 或非q ”为真，命题“p 或q ”为真，命题“非p 且非q ”为假．
答案：①②③
8．命题p ：函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3－x ，命题q ：函数g (x )＝sin(2x ＋φ)＋1可能为奇函数(φ为常数)，则复合命题①“p 或q ”，②“p 且q ”，③“非p ”中，真命题是________．
解析：∵f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫23π＋2x －π6＋1 ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋2x ＋1＝cos 2x ＋1＝2cos 2x ， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3
－2x －π6＋1 ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－2x ＋1＝cos 2x ＋1＝2cos 2x ， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3－x ，即命题p 为真命题． 又命题q 为假命题．
∴“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，“非p ”为假命题．
答案：①
9．(2011·某某一调)设p ：函数f (x )＝2|x －a |
在区间(4，＋∞)上单调递增；q ：log a 2＜1.
如果“綈p ”是真命题，“p 或q ”也是真命题，那么实数a 的取值X 围是________． 解析：由题意知：p 为假命题，q 为真命题．当a ＞1时，由q 为真命题得a ＞2；由p 为假命题且画图可知：a ＞4.当0＜a ＜1时，无解．所以a ＞4.
答案：(4，＋∞)
三、解答题(共3小题，共34分)
10．(本小题满分10分)写出下列命题的否定，并判断真假．
(1)q ：∀x ∈R ，x 不是5x －12＝0的根；(2)r ：有些质数是奇数；(3)s ：∃x ∈R ，|x |＞0.
解：(1)綈q ：∃x 0∈R ，x 0是5x －12＝0的根，真命题．
(2)綈r ：每一个质数都不是奇数，假命题．
(3)綈s ：∀x ∈R ，|x |≤0，假命题．
11．(本小题满分12分)已知命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋3≥0，如果命题綈p 是真命题，某
某数a 的取值X 围．
解：∵綈p 是真命题，∴p 是假命题，又当p 是真命题，即ax 2＋2x ＋3≥0恒成立时，
应有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞04－12a ≤0，∴a ≥13，∴当p 为假命题时，a ＜13
. ∴实数a 的取值X 围是a ＜13
. 12．(本小题满分12分)(2010·某某某某调研)命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4＞0，对
一切x ∈R 恒成立，q ：函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数，若p 或q 为真，p 且q 为假，某
某数a 的取值X 围．
解：设g (x )＝x 2＋2ax ＋4，
由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4＞0对一切x ∈R 恒成立，所以函数g (x )的图象开口向
上且与x 轴没有交点，故Δ＝4a 2－16＜0，∴－2＜a ＜2.
又∵函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数，∴3－2a ＞1，∴a ＜1.
又由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假．
(1)若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧ －2＜a ＜2，a ≥1，∴1≤a ＜2；
(2)若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤－2，或a ≥2，a ＜1，∴a ≤－2.
综上可知，所某某数a 的取值X 围为1≤a ＜2，或a ≤－2.。