【压轴题】高中必修二数学下期末一模试题(及答案)

【压轴题】高中必修二数学下期末一模试题(及答案)
一、选择题 1．已知向量a v ，b v 满足4a =v ，b v 在a v 上的投影（正射影的数量）为-2，则2a b -v v 的最小值为（ ）
A ．
B ．10
C
D ．8
2．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是
A ．甲地：总体均值为3，中位数为4
B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0
C ．丙地：中位数为2，众数为3
D ．丁地：总体均值为2，总体方差为3
3．已知集合{}
{}2|320,,|05,A x x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈，则满足条件A C B ⊆⊆的集合C 的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 4．已知ABC V 为等边三角形，2AB =，设P ，Q 满足AP AB λ=uu u r uu u r ，
()()1AQ AC λλ=-∈R u u u r u u u r ，若32
BQ CP ⋅=-uu u r uu r ，则λ=（ ）
A ．12
B ．12±
C
D ．32
± 5．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 （ ）
A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥
B ．若l α⊥，//l m ，则m α⊥
C ．若//l α，m α⊂，则//l m
D ．若//l α，//m α，则//l m
6．已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+，那么它的通项公式是（ ）
A ．21n a n =-
B ．21n a n =+
C ．41n a n =-
D ．41n a n =+
7．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2cos 2b C a c ⋅=+，若3b =，则ABC ∆的外接圆面积为（ ）
A ．48π
B ．12π
C ．12π
D ．3π
8．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）
A ．20
B ．10
C ．30
D ．60
9．记max{,,}x y z 表示,,x y z 中的最大者，设函数
{}2()max 42,,3f x x x x x =-+---，若()1f m <，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(1,1)(3,4)-U
B ．(1,3)
C ．(1,4)-
D ．(,1)(4,)-∞-+∞U 10．已知二项式2(*)n x n N x ⎛-∈ ⎪⎝
⎭的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，则3x 的系数为（ ）
A ．14
B ．14-
C ．240
D ．240-
11．如图，点N 为正方形ABCD 的中心，ECD ∆为正三角形，平面ECD ⊥平面,ABCD M 是线段ED 的中点，则（ ）
A ．BM EN =，且直线,BM EN 是相交直线
B ．BM EN ≠，且直线,BM EN 是相交直线
C ．BM EN =，且直线,BM EN 是异面直线
D ．BM EN ≠，且直线,BM EN 是异面直线
12．在正三棱柱111ABC A B C -21，则1BC 与侧面1ACC A 所成角的大小为（ ）
A．30o B．45o C．60o D．90o
二、填空题
13．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1 : x2+y 2＝8与圆C2 : x2+y 2+2x+y-a＝0相交于A，B两点.若圆C1上存在点P，使得△ABP 为等腰直角三角形，则实数a的值组成的集合为______.
14．若三点
1 (2,3),(3,2),(,)
2
A B C m
--共线，则m的值为．
15．若直线1
x y
-=与直线(3)80
m x my
++-=平行，则m =______________．16．函数sin23cos2
y x x
=-的图象可由函数sin23cos2
y x x
=+的图象至少向右平移_______个长度单位得到。

17．如图，在等腰三角形ABC中，已知1
AB AC
==，120
A
∠=︒，E F
、分别是边AB AC
、上的点，且,
AE AB AF AC
λμ
==
u u u v u u u v u u u v u u u v
,其中()
,0,1
λμ∈且41
λμ
+=，若线段EF BC
、的中点分别为M N
、，则MN
u u u u v
的最小值是_____.
18．已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：
①l⊥m；②m∥α；③l⊥α．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：
__________．
19．设，则________
20．设a，b是非零实数，且满足
sin cos10
77tan
21
cos sin
77
a b
a b
ππ
π
ππ
+
=
-
，则
b
a
＝_______．
三、解答题
21．已知函数()
f x=│x+1│–│x–2│.
（1）求不等式()
f x≥1的解集；
（2）若不等式()
f x≥x2–x +m的解集非空，求实数m的取值范围.
22．在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且()()3a b c a b c ab +++-=.
（1）求角C 的值；
（2）若2c =，且ABC ∆为锐角三角形，求+a b 的取值范围.
23．已知不等式的解集为或. （1）求；（2）解关于的不等式
24．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos (cos cos )C a B b A c +=. （1）求角C ；（2）若7c =332ABC S ∆=，求ABC ∆的周长. 25．已知函数()()221+0g x ax ax b a =-+>在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.
(1)求a 、b 的值；
(2)设()()2g x f x x =
-，若不等式()0f x k ->在x ∈(]2,5上恒成立，求实数k 的取值范围．
26．已知数列{}n a 的前n 和为n S ，若0n a >，21n n a S =．
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若3
n n n a b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．D
解析：D
【解析】
【分析】 b r 在a r 上的投影（正射影的数量）为2-可知||cos ,2b a b <>=-r r r ，可求出||2b ≥r ，求22a b -r r 的最小值即可得出结果.
【详解】
因为b r 在a r
上的投影（正射影的数量）为2-， 所以||cos ,2b a b <>=-r r r ， 即2||cos ,b a b =-
<>
r
r r ，而1cos ,0a b -≤<><r r ， 所以||2b ≥r ，
因为2222222(2)44||4||||cos ,4||a b a b a a b b a a b a b b -=-=-⋅+=-<>+r r r r r r r r r r r r r r
22=1644(2)4||484||b b -⨯⨯-+=+r r
所以22484464a b -≥+⨯=r r ，即28a b -≥r r ，故选D.
【点睛】
本题主要考查了向量在向量上的正射影，向量的数量积，属于难题.
2．D
解析：D
【解析】
试题分析：由于甲地总体均值为，中位数为，即中间两个数（第天）人数的平均数
为，因此后面的人数可以大于，故甲地不符合.乙地中总体均值为，因此这
天的感染人数总数为，又由于方差大于，故这天中不可能每天都是，可以有一天大于，故乙地不符合，丙地中中位数为，众数为，出现的最多，并且可以出现，故丙地不符合，故丁地符合.
考点：众数、中位数、平均数、方差
3．D
解析：D
【解析】
【分析】
【详解】
求解一元二次方程，得
{}
()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R {}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4B x x x =<<∈=N .
因为A C B ⊆⊆，所以根据子集的定义，
集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，
原题即求集合{}3,4的子集个数，即有224=个，故选D.
【点评】
本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合C 的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.
4．A
解析：A
【解析】
【分析】 运用向量的加法和减法运算表示向量BQ BA AQ =+u u u r u u u r u u u r ，CP CA AP =+u u u r u u u r u u u r ，再根据向量的数量积运算，建立关于λ的方程，可得选项.
【详解】
∵BQ BA AQ =+u u u r u u u r u u u r ，CP CA AP =+u u u r u u u r u u u r
， ∴()()
BQ CP BA AQ CA AP AB AC AB AP AC AQ AQ AP ⋅=+⋅+=⋅-⋅-⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()()2211AB AC AB AC AB AC λλλλ=⋅---+-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
()()232441212222
λλλλλλ=---+-=-+-=-，∴12λ=. 故选：A.
5．B
解析：B
【解析】
【分析】
利用,l α可能平行判断A ，利用线面平行的性质判断B ，利用//l m 或l 与m 异面判断C ，l 与m 可能平行、相交、异面，判断D .
【详解】
l m ⊥，m α⊂，则,l α可能平行，A 错；
l α⊥，//l m ，由线面平行的性质可得m α⊥，B 正确；
//l α，m α⊂，则//l m ， l 与m 异面；C 错，
//l α，//m α，l 与m 可能平行、相交、异面，D 错，.故选B.
【点睛】
本题主要考查线面平行的判定与性质、线面面垂直的性质，属于中档题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.
6．C
解析：C
【解析】
分类讨论：当1n =时，11213a S ==+=，
当2n ≥时，22
1(2)2(1)141n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=-⎣⎦，
且当1n =时：1414113n a -=⨯-==
据此可得，数列的通项公式为：41n a n =-.
本题选择C 选项. 7．D
解析：D
【解析】
【分析】
先化简得
2
3
B
π
=，再利用正弦定理求出外接圆的半径，即得
ABC
∆的外接圆面积.
【详解】
由题得
222
22
2
a b c
b a c
ab
+-
⋅=+，
所以2222
2
a b c a ac
+-=+，
所以222
a b c ac
-+=-，
所以
1
2cos,cosB
2
ac B ac
=-∴=-,
所以
2
3
B
π
=.
由正弦定理得
=2,3
3
R R
∴=
,
所以ABC
∆的外接圆面积为23=3
ππ
⋅.
故选D
【点睛】
本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
8．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据三视图还原几何体，根据棱锥体积公式可求得结果.
【详解】
由三视图可得几何体直观图如下图所示：
可知三棱锥高：4
h=；底面面积：
115
53
22
S=⨯⨯=
∴三棱锥体积：
1115
410
332
V Sh
==⨯⨯=
本题正确选项：B
【点睛】
本题考查棱锥体积的求解，关键是能够通过三视图还原几何体，从而准确求解出三棱锥的高和底面面积.
9．A
解析：A
【解析】
【分析】
画出函数的图象，利用不等式，结合函数的图象求解即可．
【详解】
函数()f x 的图象如图，
直线1y =与曲线交点(1,1)A -，()1,1B ，()3,1C ，()4,1D ，
故()1f m <时，实数m 的取值范围是11m -<<或34m <<.
故选A.
【点睛】
本题考查函数与方程的综合运用，属于常考题型.
10．C
解析：C
【解析】
【分析】
由二项展开式的通项公式为()12r n r r r n T C x x -+⎛= ⎝
及展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5可得：6n =，令展开式通项中x 的指数为3，即可求得2r =，问题得解．
【详解】
二项展开式的第1r +项的通项公式为()12r n r r r n T C x x -+⎛= ⎝
由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，可得：12:2:5n n C C =.
解得：6n =.
所以()()366216221r
r n r r r r r r n T C x C x x ---+⎛==- ⎝ 令3632
r -=，解得：2r =，
所以3x 的系数为()2
262621240C --= 故选C
【点睛】
本题主要考查了二项式定理及其展开式，考查了方程思想及计算能力，还考查了分析能力，属于中档题．
11．B
解析：B
【解析】
【分析】
利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题．
【详解】
如图所示， 作EO CD ⊥于O ，连接ON ，过M 作MF OD ⊥于F ．
连BF ，Q 平面CDE ⊥平面ABCD ．
,EO CD EO ⊥⊂平面CDE ，EO ∴⊥平面ABCD ，MF ⊥平面ABCD ，
MFB ∴∆与EON ∆均为直角三角形．设正方形边长为2，易知3,12EO ON EN ===，
35,,72
MF BF BM ==∴=．BM EN ∴≠，故选B ． 【点睛】
本题考查空间想象能力和计算能力， 解答本题的关键是构造直角三角性．
12．A
解析：A
【解析】
【分析】
由题意，取AC 的中点O ，连结1,BO C O ，求得1BC O ∠是1BC 与侧面11ACC A 所成的角，在1BC O ∆中，即可求解．
【详解】
由题意，取AC 的中点O ，连结1,BO C O ,
因为正三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1， 所以1,
BO AC BO AA ⊥⊥，
因为1AC AA A ⋂=，所以BO ⊥平面11ACC A ，
所以1BC O ∠是1BC 与侧面11ACC A 所成的角， 因为22211
3131(),(2)()222
BO C O =-==+=， 所以113
32tan 32
BO BC O OC ∠===， 所以0
130BC O ∠=，1BC 与侧面11ACC A 所成的角030．
【点睛】
本题主要考查了直线与平面所成的角的求解，其中解答中空间几何体的线面位置关系，得到1BC O ∠是1BC 与侧面11ACC A 所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及转化与化归思想，属于中档试题．
二、填空题
13．【解析】【分析】先求得直线为：再分别讨论或和的情况根据几何性质求解即可【详解】由题则直线为：当或时设到的距离为因为等腰直角三角形所以即所以所以解得当时经过圆心则即故答案为：【点睛】本题考查圆与圆的位 解析：{}8,825,825-+
【解析】
【分析】
先求得直线AB 为：280x y a ++-=,再分别讨论90PAB ∠=︒或90PBA ∠=︒和90APB ∠=︒的情况,根据几何性质求解即可
【详解】
由题,则直线AB 为：280x y a ++-=,
当90PAB ∠=︒或90PBA ∠=︒时,设1C 到AB 的距离为d ,
因为ABP △等腰直角三角形,
所以12d AB =,
即d =,所以2d =,
2d ==,
解得8a =±
当90APB ∠=︒时,AB 经过圆心1C ,则80a -=,即8a =,
故答案为：{8,8-+ 【点睛】
本题考查圆与圆的位置关系的应用,考查点到直线距离公式的应用,考查分类讨论思想和数形结合思想
14．【解析】试题分析：依题意有即解得考点：三点共线 解析：
12
【解析】
试题分析：依题意有AB AC k k =，即
53
152
2
m --=
+，解得12m =. 考点：三点共线．
15．【解析】【分析】由题意得到关于m 的方程解方程即可求得最终结果【详解】由题意结合直线平行的充分必要条件可得：解得：此时两直线方程分别为：两直线不重合据此可知：【点睛】本题主要考查直线平行的充分必要条件
解析：3
2
-
【解析】 【分析】
由题意得到关于m 的方程，解方程即可求得最终结果. 【详解】
由题意结合直线平行的充分必要条件可得：()()1130m m ⨯--⨯+=， 解得：32m =-
，此时两直线方程分别为：1x y -=，33
8022
x y --=， 两直线不重合，据此可知：3
2
m =-. 【点睛】
本题主要考查直线平行的充分必要条件，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
16．【解析】【分析】利用两角和与差的正弦函数化简两个函数的表达式为同名函数然后利用左加右减的原则确定平移的方向与单位【详解】分别把两个函数解析式化简为：可知只需把函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图
解析：3
π
【解析】 【分析】
利用两角和与差的正弦函数化简两个函数的表达式为同名函数，然后利用左加右减的原则确定平移的方向与单位. 【详解】
分别把两个函数解析式化简为：
sin 23cos 22sin(2)3
y x x x π
=+=+，
sin 23cos 22sin(2)2sin[2()]333
y x x x x πππ
=-=-=-+，
可知只需把函数sin 23cos 2y x x =+的图象向右平移3
π
个单位长度， 得到函数sin 23cos 2y x x =-的图象， 故答案是：3
π. 【点睛】
该题考查的是有关函数图象的平移变换的问题，在解题的过程中，注意正确化简函数解析式，把握住平移的原则是左加右减，以及自变量本身的变化量.
17．【解析】【分析】根据条件及向量数量积运算求得连接由三角形中线的性质表示出根据向量的线性运算及数量积公式表示出结合二次函数性质即可求得最小值【详解】根据题意连接如下图所示:在等腰三角形中已知则由向量数 解析：
7 【解析】 【分析】
根据条件及向量数量积运算求得AB AC ⋅uu u r uuu r
,连接,AM AN ,由三角形中线的性质表示出,AM AN u u u u r u u u r .根据向量的线性运算及数量积公式表示出2
MN u u u u r ,结合二次函数性质即可求得最小
值. 【详解】
根据题意,连接,AM AN ,如下图所示:
在等腰三角形ABC 中,已知1AB AC ==,120A ∠=︒
则由向量数量积运算可知1cos 11cos1202
AB AC AB AC A ⋅=⋅=⨯⨯=-o
u u u r u u u r u u u r u u u r
线段EF BC 、的中点分别为M N 、则
(
)()
1122
AM AE AF AB AC λμ=
+=+u u u u r u u u r u u u r u u u
r u u u r
(
)
12
AN AB AC =
+u u u r u u u r u u u r
由向量减法的线性运算可得11112222MN AN AM AB AC λμ⎛⎫⎛⎫=-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r
所以2
211112222MN AB AC λμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
u u u u r u u u r u u u r
222211111111222222222AB AC AB AC λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⨯-⨯-⨯⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
u u u r u u u r u u u
r u u u r 22
1111111112222222222λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⨯-⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
因为41λμ+=,代入化简可得22221312111424477
MN μμμ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭u u u u r
因为(),0,1λμ∈ 所以当17μ=
时, 2MN u u u u r 取得最小值1
7
因而min
7
MN
=
=u u u u r
故答案为
: 7
【点睛】
本题考查了平面向量数量积的综合应用,向量的线性运算及模的求法,二次函数最值的应用,属于中档题.
18．如果l ⊥αm ∥α则l ⊥m 或如果l ⊥αl ⊥m 则m ∥α【解析】【分析】将所给论断分别作为条件结论加以分析【详解】将所给论断分别作为条件结论得到如下三个命题：（1）如果l ⊥αm ∥α则l ⊥m 正确；（2）如果
解析：如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m 或如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α. 【解析】 【分析】
将所给论断，分别作为条件、结论加以分析. 【详解】
将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：
（1）如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m . 正确； （2）如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α.正确；
（3）如果l ⊥m ，m ∥α，则l ⊥α.不正确，有可能l 与α斜交、l ∥α. 【点睛】
本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力.
19．-1【解析】【分析】由分段函数的解析式先求出f(-2)的值并判定符号从而可得f(f(-2))的值【详解】∵fx=1-xx≥0x2x<0-2<0∴f-2=-22=4>0所以f(f(-2))=f4=1-
解析：-1 【解析】 【分析】
由分段函数的解析式先求出的值并判定符号，从而可得
的值.
【详解】
， ，
所以，故答案为-1. 【点睛】
本题主要考查分段函数的解析式，属于简单题. 求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外
依次求值．
20．【解析】【分析】先把已知条件转化为利用正切函数的周期性求出即可求得结论【详解】因为（tanθ）∴∴tanθ＝tan （kπ）∴故答案为【点睛】本题主要考查三角函数中的恒等变换应用考查了两角和的正切公式 3
【解析】 【分析】
先把已知条件转化为10721717
b
tan
a tan tan
b tan a π
ππθπ+
⎛⎫==+ ⎪⎝⎭
-．利用正切函数的周期性求出3
k π
θπ=+，即可求得结论．
【详解】
因为10721717
b
tan
a tan tan
b tan a π
ππθπ+
⎛⎫==+ ⎪⎝⎭
-，（tanθb a =）
∴
107
21
k π
π
θπ+=+
∴3
k π
θπ=+．tanθ＝tan （k π3
π
+
）=
∴
b
a
=
． 【点睛】
本题主要考查三角函数中的恒等变换应用，考查了两角和的正切公式，属于中档题．
三、解答题
21．（1）[
)1,+∞；（2）5,4
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
.
【解析】 【分析】
（1）由于f （x ）＝|x +1|﹣|x ﹣2|31211232x x x x --⎧⎪
=--≤≤⎨⎪⎩
，＜，
，＞，解不等式f （x ）≥1可分﹣1≤x ≤2与x ＞2两类讨论即可解得不等式f （x ）≥1的解集；
（2）依题意可得m ≤[f （x ）﹣x 2+x ]max ，设g （x ）＝f （x ）﹣x 2+x ，分x ≤1、﹣1＜x ＜2、x ≥2三类讨论，可求得g （x ）max 5
4
=，从而可得m 的取值范围． 【详解】
解：（1）∵f （x ）＝|x +1|﹣|x ﹣2|31211232x x x x --⎧⎪
=--≤≤⎨⎪⎩
，＜，
，＞，f （x ）≥1， ∴当﹣1≤x ≤2时，2x ﹣1≥1，解得1≤x ≤2； 当x ＞2时，3≥1恒成立，故x ＞2； 综上，不等式f （x ）≥1的解集为{x |x ≥1}．
（2）原式等价于存在x ∈R 使得f （x ）﹣x 2+x ≥m 成立， 即m ≤[f （x ）﹣x 2+x ]max ，设g （x ）＝f （x ）﹣x 2+x ．
由（1）知，g （x ）22
231311232x x x x x x x x x ⎧-+-≤-⎪=-+--⎨⎪-++≥⎩
，，
＜＜，， 当x ≤﹣1时，g （x ）＝﹣x 2+x ﹣3，其开口向下，对称轴方程为x 1
2
=-＞1， ∴g （x ）≤g （﹣1）＝﹣1﹣1﹣3＝﹣5；
当﹣1＜x ＜2时，g （x ）＝﹣x 2+3x ﹣1，其开口向下，对称轴方程为x 3
2
=∈（﹣1，2）， ∴g （x ）≤g （
32）9942=-+-154
=； 当x ≥2时，g （x ）＝﹣x 2+x +3，其开口向下，对称轴方程为x 1
2
=＜2， ∴g （x ）≤g （2）＝﹣4+2+3＝1； 综上，g （x ）max 54
=
， ∴m 的取值范围为（﹣∞，54
]． 【点睛】
本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是解决问题的关键，突出考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，属于难题． 22．(1) 3
C π
=
.(2) .
【解析】 【分析】
（1）根据题意，由余弦定理求得1
cos 2
C =
，即可求解C 角的值； （2）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到4sin 6a b A π⎛⎫
+=+ ⎪⎝
⎭
，再根据ABC ∆为锐角三角形，求得6
2
A π
π
<<
，利用三角函数的图象与性质，即可求解.
【详解】
（1）由题意知()()3a b c a b c ab +++-=，∴222a b c ab +-=，
由余弦定理可知，222cos 1
22
a b c C ab +-==，
又∵(0,)C π∈，∴3
C π
=
.
（2
）由正弦定理可知，2sin sin sin 3
a b A B
π===
，即,a A b B ==
∴sin )a b A B +=
+2sin sin 3A A π⎤⎛⎫=+- ⎪⎥⎝⎭⎦
2cos A A =+4sin 6A π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
，
又∵ABC ∆为锐角三角形，∴02
2032A B A πππ⎧
<<⎪⎪⎨⎪<=-<
⎪⎩，即，
则2363A ππ
π<+<，所以234sin 46A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝
⎭，
综上+a b 的取值范围为(23,4]. 【点睛】
本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.
23．（1）a ＝1，b ＝2；（2）①当c ＞2时，解集为{x |2＜x ＜c }；②当c ＜2时，解集为{x |c ＜x ＜2}；③当c ＝2时，解集为∅． 【解析】 【分析】
（1）根据不等式ax 2﹣3x +6＞4的解集，利用根与系数的关系，求得a 、b 的值； （2）把不等式ax 2﹣（ac +b ）x +bc ＜0化为x 2﹣（2+c ）x +2c ＜0，讨论c 的取值，求出对应不等式的解集． 【详解】
（1）因为不等式ax 2﹣3x +6＞4的解集为{x |x ＜1，或x ＞b }， 所以1和b 是方程ax 2﹣3x +2＝0的两个实数根，且b ＞1；
由根与系数的关系，得，
解得a ＝1，b ＝2；
（2）所求不等式ax 2﹣（ac +b ）x +bc ＜0化为x 2﹣（2+c ）x +2c ＜0， 即（x ﹣2）（x ﹣c ）＜0；
①当c ＞2时，不等式（x ﹣2）（x ﹣c ）＜0的解集为{x |2＜x ＜c }； ②当c ＜2时，不等式（x ﹣2）（x ﹣c ）＜0的解集为{x |c ＜x ＜2}； ③当c ＝2时，不等式（x ﹣2）（x ﹣c ）＜0的解集为∅． 【点睛】
本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了不等式与方程的关系，考查了分类讨论思想，是中档题． 24．（1）3
C π
=（2）57【解析】
【详解】
试题分析：（1）根据正弦定理把2cos (cos cos )C a B b A c +=化成
2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=，利用和角公式可得1
cos ,2
C =
从而求得角C ；（2）根据三角形的面积和角C 的值求得6ab =，由余弦定理求得边a 得到ABC ∆的周长. 试题解析：（1）由已知可得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=
12cos sin()sin cos 23
C A B C C C π∴+=⇒=
⇒= （2
）11sin 6222
ABC S ab C ab ab ∆=
⇒=⋅⇒= 又2222cos a b ab C c +-=Q
2213a b ∴+=，2
()255a b a b ∴+=⇒+=
ABC ∆∴
的周长为5考点：正余弦定理解三角形. 25．（1）1,0a b ==；（2）4k <. 【解析】 【分析】
（1）函数()g x 的对称轴方程为1x =，开口向上，则在[]2,3上单调递增，则可根据最值列出方程，可解得,a b 的值.
(2)由题意只需()min k f x <，则只需要求出()f x 在(]2,5上的最小值，然后运用基本不等式求最值即可. 【详解】
解：（1）()g x Q 开口方向向上，且对称轴方程为 1x =，
()g x ∴在[]2,3上单调递增
()()()()min max 2441139614g x g a a b g x g a a b ⎧==-++=⎪∴⎨==-++=⎪⎩
.
解得1a =且0b =.
（2）()0f x k ->Q 在(]2,5x ∈上恒成立 所以只需()min k f x <.
有（1）知()
221112224222
x x f x x x x x x -+==+=-++≥=--- 当且仅当1
22
x x -=
-，即3x =时等号成立. 4k ∴<.
本题考查二次函数的最值的求法，注意讨论对称轴和区间的位置关系，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和基本不等式的应用，属于中档题. 26．（Ⅰ）21n a n =-；（Ⅱ）1
13n n
n T +=-. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）由条件得()2
41n n S a =+，由1n =得1a ，当2n ≥时，
()2
1141n n S a --=+，两式作差得22
11422n n n n n a a a a a --=+--，整理得12n n a a --=，由
等差数列公式求通项即可； （Ⅱ）由()1
213
n n b n =-⋅，利用错位相减即可得解. 试题解析：
（Ⅰ）
1n a =Q ， ()2
41n n S a ∴=+． 当1n =时，()2
1141S a =+，得11a =． 当2n ≥时，()21141n n S a --=+，
()()()22
11411n n n n S S a a --∴-=+-+，
2211422n n n n n a a a a a --∴=+--，即()()()1112n n n n n n a a a a a a ---+-=+，
0,n a >Q 12n n a a -∴-=．
∴数列{}n a 是等差数列，且首项为11a =，公差为2，
()12121n a n n ∴=+-=-．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，()1213n n
b n =-⋅
， ()231111
135213333
n n T n ∴=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅，——①
()()23111111
132********
n n n T n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅，——② ①–②得()2312
111
112213
33333n n n T n +⎛⎫
=
+++⋅⋅⋅+--⋅ ⎪⎝⎭
()21111
113322113313n n n ++-=+⨯--⋅-， 化简得1
13
n n n T +=-．
解法二：（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，()1213n n
b n =-⋅， 设()()()()1
1111
2112323333n n n n n
b n An B A n B An A B -⎡⎤=-⋅
=+⋅--+⋅=-+-⋅⎣⎦， 22,321,A A B -=⎧∴⎨-=-⎩解得1,
1.A B =-⎧⎨=-⎩
()()()()1111111
211133333n n n n n n
b n n n n n --∴=-⋅
=--⋅--⋅=⋅-+⋅， ∴
()1201121111111112231133333
33n n n n n
n T b b b n n -+⎛⎫⎛⎫⎡
⎤=++⋅⋅⋅+=⨯-⨯+⨯-⨯++⋅-+⋅=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦L .。