高考数学 分类题库考点40 椭圆（2021年）理

考点40 椭圆
一、选择题
1.（2021·浙江高考文科·Ｔ8）如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共核心，M ，N 是双曲线的两极点.假设M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，那么双曲线与椭圆的离心率的比值是（ ） (A)3 (B)2 (C)3 (D)2
【解题指南】别离设出椭圆与双曲线的方程,依照其核心相同和M ，O ，N 将椭圆长轴四等分得出离心率之间的关系.
【解析】选Ｂ.设双曲线的方程为椭圆的方程为由于M ，O ，N 将椭圆长轴
四等分，因此
21
2a a =， 又
1212,c c
e e a a =
=，因此1221
2e a e a ==.
2.（2021·江西高考文科·Ｔ8）椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的左、右极点别离是A ，B ，左、右核心别离是F 1，
F 2.假设|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B|成等比数列，那么此椭圆的离心率为（ ）
(A)14 (B)55 （C ）1
2 (D)5-2
【解题指南】由|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B|成等比数列成立a ，c 的方程，转化为离心率e ，解方程得e. 【解析】选 B. 因为A ，B 为左、右极点，
12
,F F 为左、右核心，因此
1AF a c
=-，
122F F c
=，
成等比数列，因此()()24,a c a c c +-=即225a c =，因此离心
率
5
5e =
.
3.（2021·新课标全国高考文科·Ｔ4）与（2021·新课标全国高考理科·Ｔ4）相同
设F 1,F 2是椭圆E ：
的左、右核心，P 为直线
32a
x =
上一点，21F PF ∆是底角为30
的等腰三角形，那么E 的离心率为（ ）
(A)12 (B)23 (C)34 (D)45
【解题指南】依照题意画出图形，寻求a ，c 所知足的数量关系，求得离心率.
【解析】选C.设直线
32a
x =
与x 轴交于点M ，那么260PF M ∠=︒，在2Rt PF M ∆中，2122PF F F c ==，
232a F M c =-，故
223
12cos 6022a c
F M PF c -︒===，解得34c a =，故离心率34e =. 二、填空题
4.（2021·江西高考理科·Ｔ13）椭圆22
221x y a b +=
()0a b >>的左、右极点别离是A ，B ，左、右核心别离是
12
,F F ，假设 成等比数列，那么此椭圆的离心率为_______.
【解题指南】由|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B|成等比数列成立a ，c 的方程，转化为关于离心率e 的方程，解方程得e.
【解析】A 、 A ，B 为左右极点，
12
,F F 为左右核心，因此
1AF a c
=-，
122F F c
=，
1BF a c
=+，又因
为
成等比数列，因此
()()2
4a c a c c -+=，即22
5a c =，因此离心率
5
.5c e a =
=
【答案】5
5
三、解答题
5.（2021·广东高考理科·Ｔ20）
在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22
2
21(0)x y a b a b +=>>的离心率
2
3e =，且椭圆C 上的点到点
Q （0，2）的距离的最大值为3. （1）求椭圆C 的方程.
（2）在椭圆C 上，是不是存在点M （m,n ）使得直线l ：mx+ny=1与圆O ：x 2+y 2=1相交于不同的两点A ，B ，且△OAB 的面积最大？假设存在，求出点M 的坐标及对应△OAB 的面积；假设不存在，请说明理由.
【解析】（1）由题意得
∴a 2=3b 2，∴x 2+3y 2=为椭圆上一点，2222222PQ x (y-2)3b 3y (y-2)2(y 1)63b .
=+=-+=-+++
假设b ≥1,y ∈[-b,b], ∴当y=-1时，
2max PQ 63b 3.
=+=∴b 2=1,b=1.
假设0<b<1,那么当y=-b 时，
max PQ 3,
=无解.∴b=1.
又a 2=b 2+c 2,a 2=3b 2,∴a=3c=2，，
椭圆C 的方程为2
21
3x y +=.
(2)假设存在，设原点到直线:1l mx ny +=的距离为d,
那么
22d m n =
+
222
221||212
m n AB d m n +-=-=+
22221
1||2
OAB
m n S AB d m n ∆+-∴==+,
(,)M m n 在椭圆上，
22221133m m n n ∴+==-即，
22
22221332212133
OAB
m m
S m m ∆∴=≤=
+⨯，
当且仅当2213m =,即2231,22m n ==
， ∴点
6262((2222
M M ∴±±-或
现在
max 1()2AOB S ∆=
.
显然存在如此的点M 的坐标为
使AOB S
∆最大，最大值为1
2.
6.（2021·广东高考文科·Ｔ20）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆1C :22
221x y a b +=（0a b >>）的左
核心为
1(1,0)
F -,且点(0,1)P 在1
C 上.
（1） 求椭圆
1
C 的方程.
（2） 设直线l 同时与椭圆1C 和抛物线2C :24y x =相切，求直线l 的方程.
【解题指南】(1)依照题意可知1,1c b ==，从而可解出a 的值，问题得解.
（2）由题意得直线的斜率必然存在且不为0，设出直线方程，别离与椭圆方程和抛物线方程联立，依照直线与椭圆和抛物线相切时知足判别式等于0，可求得直线l 的方程.
【解析】（1）由题意得
22
1,1,2c b a b c ===+=, 椭圆1
C 的方程为2212x y +=.
(2) 由题意得：直线的斜率必然存在且不为0，设直线l 的方程为y kx m =+
因为椭圆C 1的方程为2
21
2x y +=，
消去y 得
222
(12)4220k x kmx m +++-= ∵直线l 与椭圆1C 相切，2222164(21)(22)0k m k m ∴∆=-+-=.即
22
210(1)k m -+=① 直线l 与抛物线2C :24y x =相切，那么消去y 得
222(24)0k x km x m +-+=，
即1
(2)km =②.
由①②解得
因此直线l 的方程为
7.（2012·陕西高考文科·Ｔ20）与（2021·陕西高考理科·Ｔ19）相同
已知椭圆1C :22
14x y +=，椭圆2C 以1C 的长轴为短轴，且与1C 有相同的离心率.
（1）求椭圆2C 的方程.
（2）设O 为坐标原点，点A ，B 别离在椭圆1C 和2C 上，2OB OA =，求直线AB 的方程. 【解析】（1）由已知可设椭圆C 2的方程为222
14y x a +=（2a >），其离心率为3
2， 故243
2a a -=
，那么4a =，故椭圆C 2的方程为221164y x +=.
（2）（方式一）A ，B 两点的坐标别离记为(,)A A x y ，(,)B B x y ，由2OB OA =及（1）知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y kx =，
将y kx =代入椭圆方程2214x y +=中，得22
(14)4k x +=，因此
22414A x k =+， 将y kx =代入22
1164y x +=中，得22
(4)16k x +=，因此
22164B x k =+， 又由2OB OA =得2
2
4B
A x x =，即221616
414k
k =++，解得1k =±， 故直线AB 的方程为y x =或y x =-.
（方式二）A ，B 两点的坐标别离记为(,)A A x y ，(,)B B x y ，由2OB OA =及（1）知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y kx =，
将y kx =代入椭圆方程2214x y +=中，得22
(14)4k x +=，因此
22414A x k =+， 由2OB OA =得
将22,B B x y 代入椭圆C 2的方程221164y x +=中，得2
24114k k +=+，即22414k k +=+，
解得1k =±，
故直线AB 的方程为y x =或y x =-.。