高考物理一轮复习 第9章 磁场 第2节 磁场对运动电荷的作用教案-人教版高三全册物理教案

第2节 磁场对运动电荷的作用
一、洛伦兹力的大小和方向
1．定义：磁场对运动电荷的作用力。

2．大小
(1)v ∥B 时，F ＝0； (2)v ⊥B 时，F ＝qvB ；
(3)v 与B 的夹角为θ时，F ＝qvB sin θ。

3．方向
(1)判定方法：左手定则 掌心——磁感线垂直穿入掌心；
四指——指向正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向； 拇指——指向洛伦兹力的方向。

(2)方向特点：F ⊥B ，F ⊥v ，即F 垂直于B 和v 决定的平面。

4．做功：洛伦兹力不做功。

二、带电粒子在匀强磁场中的运动
1．若v ∥B ，带电粒子以入射速度v 做匀速直线运动。

2．若v ⊥B 时，带电粒子在垂直于磁感线的平面内，以入射速度v 做匀速圆周运动。

3．基本公式
(1)向心力公式：qvB ＝m v 2
r
；
(2)轨道半径公式：r ＝mv
Bq
； (3)周期公式：T ＝2πm
qB。

注意：带电粒子在匀强磁场中运动的周期与速率无关。

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)带电粒子在磁场中运动时一定会受到磁场力的作用。

(×)
(2)洛伦兹力的方向在特殊情况下可能与带电粒子的速度方向不垂直。

(×) (3)根据公式T ＝2πr
v
，说明带电粒子在匀强磁场中的运动周期T 与v 成反比。

(×)
(4)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，其运动半径与带电粒子的比荷有关。

(√) (5)经过回旋加速器加速的带电粒子的最大动能是由D 形盒的最大半径、磁感应强度B 、加速电压的大小共同决定的。

(×)
(6)荷兰物理学家洛伦兹提出磁场对运动电荷有作用力的观点。

(√)
(7)英国物理学家汤姆孙发现电子，并指出：阴极射线是高速运动的电子流。

(√) 2．(人教版选修3－1P 98T 1改编)下列各图中，运动电荷的速度方向、磁感应强度方向和电荷的受力方向之间的关系正确的是( )
A B
C D
[答案] B
3．(鲁科版选修3－1P 132T 2)(多选)两个粒子，电量相等，在同一匀强磁场中受磁场力而做匀速圆周运动( )
A ．若速率相等，则半径必相等
B ．若动能相等，则周期必相等
C ．若质量相等，则周期必相等
D ．若动量大小相等，则半径必相等
CD [带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，qvB ＝m v 2
R ，可得R
＝mv qB
，T ＝2πm qB
，可知C 、D 正确。

] 4．(2015·全国卷Ⅰ)两相邻匀强磁场区域的磁感应强度大小不同、方向平行。

一速度
方向与磁感应强度方向垂直的带电粒子(不计重力)，从较强磁场区域进入到较弱磁场区域后，粒子的( )
A ．轨道半径减小，角速度增大
B ．轨道半径减小，角速度减小
C ．轨道半径增大，角速度增大
D ．轨道半径增大，角速度减小
D [分析轨道半径：带电粒子从较强磁场区域进入到较弱磁场区域后，粒子的速度v 大小不变，磁感应强度B 减小，由公式r ＝mv
qB
可知，轨道半径增大。

分析角速度：由公式T ＝2πm qB 可知，粒子在磁场中运动的周期增大，根据ω＝2πT
知角速度减小。

选项D 正确。

]
对洛伦兹力的理解和应用 [依题组训练]
1．下列说法正确的是( )
A ．运动电荷在磁感应强度不为零的地方，一定受到洛伦兹力的作用
B ．运动电荷在某处不受洛伦兹力作用，则该处的磁感应强度一定为零
C ．洛伦兹力既不能改变带电粒子的动能，也不能改变带电粒子的速度
D ．洛伦兹力对带电粒子不做功
D [运动电荷速度方向与磁场方向平行时，不受洛伦兹力；洛伦兹力只改变带电粒子的运动方向，不改变带电粒子的速度大小；洛伦兹力对带电粒子不做功，故D 正确。

]
2.(2019·某某省如皋中学高考模拟)地磁场如图所示，有一个带正电的宇宙射线粒子正垂直于地面向赤道射来，在地磁场的作用下，它将( )
A ．向南偏转
B ．向北偏转
C ．向东偏转
D．向西偏转
C[地球赤道位置的磁场由南向北，当带正电的宇宙射线粒子垂直于地面向赤道射来时，根据左手定则可以判断粒子的受力的方向为向东，所以粒子将向东偏转，故选C。

]
3.(2019·某某省如东高级中学高三月考)有一个电子射线管(阴极射线管)，放在一通电直导线的上方，发现射线的径迹如图所示，则此导线该如何放置，且电流的流向如何( )
A．直导线如图所示位置放置，电流从B流向A
B．直导线如图所示位置放置，电流从A流向B
C．直导线垂直于纸面放置，电流流向纸内
D．直导线垂直于纸面放置，电流流向纸外
A[电子运动方向从负极指向正极，根据左手定则，四指指向电子运动的反方向，即指向负极，大拇指指向电子偏转方向，由此得出导线上方磁场方向垂直纸面向里，因此直导线必须如图所示的位置放置，根据右手螺旋定则可知，导线AB中的电流方向从B指向A，故A 正确，B、C、D错误。

]
4．(2019·某某某某中学高三期中)如图所示，电视显像管中有一个电子枪，工作时它能发射电子，荧光屏被电子束撞击就能发光。

在偏转区有垂直于纸面的磁场B1 和平行纸面上下的磁场B2，就是靠这样的磁场来使电子束偏转，使整个荧光屏发光。

经检测仅有一处故障：磁场B1不存在，则荧光屏上( )
A．不亮
B．仅有一条水平亮线
C．仅有一个中心亮点
D．仅有一条竖直亮线
B[若磁场B1不存在，则只存在平行纸面上下的磁场B2，根据左手定则可知，电子受洛伦兹力在水平方向，可知荧光屏上有一条水平亮线，故选B。

]
1．洛伦兹力的特点
(1)利用左手定则判断洛伦兹力的方向，注意区分正、负电荷。

(2)运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用。

(3)洛伦兹力一定不做功。

2．洛伦兹力与安培力的联系及区别
(1)安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者是相同性质的力，都是磁场力。

(2)安培力可以做功，而洛伦兹力对运动电荷不做功。

3．洛伦兹力与电场力的比较
洛伦兹力电场力产生条件v≠0且v不与B平行电荷处在电场中
大小F＝qvB(v⊥B)F＝qE
力方向与场方向的关
F⊥B，F⊥v F∥E
系
做功情况任何情况下都不做功可能做功，也可能不做功
带电粒子在匀强磁场中的运动[讲典例示法] 1．两种方法定圆心
方法一：已知入射点、入射方向和出射点、出射方向时，可通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨迹的圆心(如图甲所示)。

甲乙
方法二：已知入射方向和入射点、出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨迹的圆心(如图乙所示)。

2．几何知识求半径
利用平面几何关系，求出轨迹圆的可能半径(或圆心角)，求解时注意以下几个重要的几何特点：
(1)粒子速度的偏向角(φ)等于圆心角(α)，并等于AB 弦与切线的夹角(弦切角θ)的2倍(如图所示)，即φ＝α＝2θ＝ωt 。

(2)直角三角形的应用(勾股定理)。

找到AB 的中点C ，连接OC ，则△AOC 、△BOC 都是直角三角形。

3．求时间的两种方法
方法一：由运动弧长计算，t ＝l
v
(l 为弧长)； 方法二：由旋转角度计算，t ＝α
360°T ⎝ ⎛
⎭⎪⎫
或t ＝α2πT 。

4．三类边界磁场中的轨迹特点 (1)直线边界：进出磁场具有对称性。

(a)(b)(c)
(2)平行边界：存在临界条件。

(d) (e) (f)
(3)圆形边界：等角进出，沿径向射入必沿径向射出。

(g)(h)
[典例示法] (2019·全国卷Ⅱ)如图所示，边长为l 的正方形abcd 内存在匀强磁场，
磁感应强度大小为B ，方向垂直于纸面(abcd 所在平面)向外。

ab 边中点有一电子发射源O ，可向磁场内沿垂直于ab 边的方向发射电子。

已知电子的比荷为k 。

则从a 、d 两点射出的电子的速度大小分别为( )
A.14kBl ，5
4kBl B ．14kBl ，5
4kBl C.12kBl ，5
4
kBl D ．12kBl ，54
kBl 思路点拨：首先确定轨迹圆心，确定的方法是：做初速度的垂线和入射点与出射点连线的中垂线，两线交点即为圆心；其次利用几何关系求出半径，再利用半径公式求出电子的速度大小。

[解析] 若电子从a 点射出，运动轨迹如图线①，有qv a B ＝m v 2a
R a ，R a ＝l 4，解得v a ＝qBR a m ＝
qBl 4m ＝kBl 4，若电子从d 点射出，运动轨迹如图线②，有qv d B ＝m v 2d R d ，R 2d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫R d －l 22
＋l 2
，解得
v d ＝qBR d m ＝5qBl 4m ＝5kBl
4
，选项B 正确。

[答案] B
无论带电粒子在哪类边界磁场中做匀速圆周运动，解题时要抓住三个步骤：
[跟进训练]
带电粒子在直线边界磁场中的运动
1.(多选)如图所示，两个初速度大小相同的同种离子a 和b ，从O 点沿垂直磁场方向进入匀强磁场，最后打到屏P 上，不计重力，下列说法正确的有( )
A ．a 、b 均带正电
B ．a 在磁场中飞行的时间比b 的短
C ．a 在磁场中飞行的路程比b 的短
D ．a 在P 上的落点与O 点的距离比b 的近
AD [a 、b 粒子做圆周运动的半径都为R ＝mv
qB
，画出轨迹如图所示，以O 1、O 2为圆心的两圆弧分别为b 、a 的轨迹，a 在磁场中转过的圆心角大，由t ＝θ2πT ＝θm
qB 和轨迹图可知A 、
D 选项正确。

]
带电粒子在平行边界磁场中的运动
2.如图所示，一个理想边界为PQ 、MN 的匀强磁场区域，磁场宽度为d ，方向垂直纸面向里。

一电子从O 点沿纸面垂直PQ 以速度v 0进入磁场。

若电子在磁场中运动的轨迹半径为2d 。

O ′在MN 上，且OO ′与MN 垂直。

下列判断正确的是( )
A ．电子将向右偏转
B ．电子打在MN 上的点与O ′点的距离为d
C ．电子打在MN 上的点与O ′点的距离为3d
D ．电子在磁场中运动的时间为πd
3v 0
D [电子带负电，进入磁场后，根据左手定则判断可知，所受的洛伦兹力方向向左，电子将向左偏转，如图所示，A 错误；设电子打在MN 上的点与O ′点的距离为x ，则由几何知识得：x ＝r －r 2
－d 2
＝2d －(2d )2
－d 2
＝(2－3)d ，故B 、C 错误；设轨迹对应的圆心角为
θ，由几何知识得：sin θ＝d 2d ＝0.5，得θ＝π6，则电子在磁场中运动的时间为t ＝θr
v 0
＝
πd
3v 0
，故D 正确。

]
带电粒子在圆形边界磁场中的运动
3．(2017·全国卷Ⅱ)如图所示，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，
P 为磁场边界上的一点。

大量相同的带电粒子以相同的速率经过P 点，在纸面内沿不同方向
射入磁场。

若粒子射入速率为v 1，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为v 2，相应的出射点分布在三分之一圆周上。

不计重力及带电粒子之间的相互作用。

则v 2∶v 1为( )
A.3∶2 B ．2∶1 C.3∶1
D ．3∶ 2
C [相同的带电粒子垂直匀强磁场入射均做匀速圆周运动。

粒子以v 1入射，一端为入射点P ，对应圆心角为60°(对应六分之一圆周)的弦PP ′必为垂直该弦入射粒子运动轨迹的直径2r 1，如图甲所示，设圆形区域的半径为R ，由几何关系知r 1＝1
2
R 。

其他不同方向以
v 1入射的粒子的出射点在PP ′对应的圆弧内。

同理可知，粒子以v 2入射及出射情况，如图
乙所示。

由几何关系知r 2＝
R 2－⎝ ⎛⎭
⎪⎫R 2
2＝32
R ，可得r 2∶r 1＝3∶1。

因为m 、q 、B 均相同，由公式r ＝mv qB
可得v ∝r ，所以v 2∶v 1＝3∶1。

故选C 。

]
带电粒子在矩形边界磁场中的运动
4.(2019·高考)如图所示，正方形区域内存在垂直纸面的匀强磁场。

一带电粒子垂直磁场边界从a 点射入，从b 点射出。

下列说法正确的是( )
A ．粒子带正电
B ．粒子在b 点速率大于在a 点速率
C ．若仅减小磁感应强度，则粒子可能从b 点右侧射出
D ．若仅减小入射速率，则粒子在磁场中运动时间变短
C [由左手定则知，粒子带负电，A 错。

由于洛伦兹力不做功，粒子速率不变，B 错。

由R ＝mv qB ， 若仅减小磁感应强度B ，R 变大，则粒子可能从b 点右侧射出，C 对。

由R ＝mv qB
，
若仅减小入射速率v, 则R 变小，粒子在磁场中的偏转角θ变大。

由t ＝θ2πT ，T ＝2πm
qB
知，
运动时间变长，D 错。

]
带电粒子在多边形边界磁场中的运动
5.(2016·某某高考)如图所示，正六边形abcdef 区域内有垂直于纸面的匀强磁场。

一带正电的粒子从f 点沿fd 方向射入磁场区域，当速度大小为v b 时，从b 点离开磁场，在磁场中运动的时间为t b ，当速度大小为v c 时，从c 点离开磁场，在磁场中运动的时间为t c ，不计粒子重力。

则( )
A ．v b ∶v c ＝1∶2，t b ∶t c ＝2∶1
B ．v b ∶v c ＝2∶1，t b ∶t c ＝1∶2
C ．v b ∶v c ＝2∶1，t b ∶t c ＝2∶1
D ．v b ∶v c ＝1∶2，t b ∶t c ＝1∶2
A [如图所示，设正六边形的边长为l ，当带电粒子的速度为v b 时，其圆心在a 点，轨
道半径r 1＝l ，转过的圆心角θ1＝2
3π，当带电粒子的速率为v c 时，其圆心在O 点(即fa 、
cb 延长线的交点)，故轨道半径r 2＝2l ，转过的圆心角θ2＝π3，根据qvB ＝m v 2
r ，得v ＝qBr
m
，
故v b v c ＝r 1r 2＝12。

由于T ＝2πr v 得T ＝2πm
qB ，所以两粒子在磁场中做圆周运动的周期相等，又t ＝θ2πT ，所以t b t c ＝θ1θ2＝2
1。

故选项A 正确，选项B 、C 、D 错误。

]
带电粒子在磁场中运动的临界、极值问题 [讲典例示法]
两种思路 (1) 以定理、定律为依据，首先求出所研究问题的一般规律和一般解的形式，
然后分析、讨论处于临界条件时的特殊规律和特殊解
(2) 直接分析、讨论临界状态，找出临界条件，从而通过临界条件求出临界值
两种方法
物理方法
(1)利用临界条件求极值；(2)利用边界条件求极值；(3)利用矢量
图求极值
数学方法
(1)用三角函数求极值；(2)用二次方程的判别式求极值；(3)用不
等式的性质求极值；(4)图象法等
从关键词
找突破口
许多临界问题，题干中常用“恰好”“最大”“至少”“不相撞”“不脱离”
等词语对临界状态给以暗示，审题时，一定要抓住这些特定的词语挖掘其隐藏
的规律，找出临界条件
[典例示法]如图所示，矩形虚线框MNPQ 内有一匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。

a 、
b 、
c 是三个质量和电荷量都相等的带电粒子，它们从PQ 边上的中点沿垂直于磁场的方向射
入磁场，图中画出了它们在磁场中的运动轨迹。

粒子重力不计。

下列说法正确的是( )
A ．粒子a 带负电
B ．粒子c 的动能最大
C ．粒子b 在磁场中运动的时间最长
D ．粒子b 在磁场中运动时的向心力最大
D [由左手定则可知，a 粒子带正电，故A 错误；由qvB ＝m v 2r ，可得r ＝mv
qB
，由题图可
知粒子c 的轨迹半径最小，粒子b 的轨迹半径最大，又m 、q 、B 相同，所以粒子c 的速度最小，粒子b 的速度最大，由E k ＝12
mv 2
，知粒子c 的动能最小，根据洛伦兹力提供向心力有F
向
＝qvB ，则可知粒子b 的向心力最大，故D 正确，B 错误；由T ＝2πm
qB
，可知粒子a 、b 、c
的周期相同，但是粒子b 的轨迹所对的圆心角最小，则粒子b 在磁场中运动的时间最短，故C 错误。

]
临界极值问题的四个重要结论
(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。

(2)当速度v 一定时，弧长(或弦长)越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。

(3)当速率v 变化时，圆心角越大，运动时间越长。

(4)在圆形匀强磁场中，当运动轨迹圆半径大于区域圆半径时，则入射点和出射点为磁场直径的两个端点，轨迹对应的偏转角最大(所有的弦长中直径最长)。

[跟进训练]
带电粒子在磁场中运动的极值问题
1.如图所示，半径为r 的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B ，磁场边界上A 点有一粒子源，源源不断地向磁场发射各种方向(均平行于纸面)且速度大小相等的带正电的粒子(重力不计)，已知粒子的比荷为k ，速度大小为2kBr 。

则粒子在磁场中运动的最长时间为( )
A.π
kB
B ．π2kB C.
π3kB
D ．π4kB
C [粒子在磁场中运动的半径为R ＝mv qB
＝2kBr
Bk
＝2r ；当粒子在磁场中运动时间最长时，
其轨迹对应的圆心角最大，此时弦长最大，其最大值为磁场圆的直径2r ，故t ＝T 6＝πm 3qB ＝π3kB
，
故选项C 正确。

]
考向2 带电粒子在磁场中运动的临界问题
2.如图所示，在边长为2a的正三角形区域内存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，一个质量为m、电荷量为－q的带电粒子(重力不计)从AD边的中点O以速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与AD边的夹角为60°，若要使粒子能从AC边穿出磁场，则匀强磁场的磁感应强度的大小B需满足( )
A．B>
3mv
3aq
B．B<
3mv
3aq
C．B>3mv
aq
D．B<
3mv
aq
B[粒子刚好达到C点时，其运动轨迹与AC相切，如图所示，则粒子运动的半径为r0
＝
a
tan 30°
＝3a。

由r＝
mv
qB
得，粒子要能从AC边射出，粒子运行的半径r>r0，联立以上各式解得
B<
3mv
3aq
，选项B正确。

]
带电粒子在磁场中运动的多解问题[讲典例示法]
带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于多种因素的影响，使问题形成多解。

多解形成原因一般包含4个方面：
类型分析图例
带电粒子电性不确定受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解
如图所示，带电粒子以速度v 垂直进入匀强磁场，如带正电，其轨迹为a ；如带负电，其轨迹为b
磁场方向不确
定 在只知道磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方向，
此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成多解 如图所示，带正电粒子以速度v 垂直进入匀强磁场，若B
垂直纸面向里，其轨迹为a ，若B 垂直纸面向外，其轨迹为
b
临界状态不唯
一 带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过磁场飞出，也可能转
过180°从入射界面这边反向飞出，于是形成多解
运动具
有周期
性
带电粒子在部分是电场、部分是磁场空间运动时，运动往
往具有周期性，因而形成多解
[典例示法] (2019·华中师大一附中模拟)如图甲所示，M 、N 为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d ，两板中央各有一个小孔O 、O ′正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示。

有一群正离子在t ＝0时垂直于M 板从小孔
O 射入磁场。

已知正离子质量为m 、带电荷量为q ，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期
与磁感应强度变化的周期都为T 0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力。

求：
甲 乙
(1)磁感应强度B 0的大小；
(2)要使正离子从O ′垂直于N 板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v 0的可能值。

[解析] 设垂直于纸面向里的磁场方向为正方向。

(1)正离子射入磁场，洛伦兹力提供向心力
B 0qv 0＝mv 20
R
做匀速圆周运动的周期T 0＝
2πR
v 0
由以上两式得磁感应强度B 0＝2πm
qT 0。

(2)要使正离子从O ′孔垂直于N 板射出磁场，v 0的方向应如图所示，
两板之间正离子只运动一个周期即T 0时，有R ＝d
4
；当两板之间正离子运动n 个周期即
nT 0时
有R ＝d
4n
(n ＝1,2,3，…)
联立求解，得正离子的速度的可能值为
v 0＝B 0qR m ＝πd 2nT 0
(n ＝1,2,3，…)。

[答案] (1)2πm qT 0 (2)πd 2nT 0
(n ＝1,2,3，…)
解决多解问题的一般思路
(1)明确带电粒子的电性和磁场方向。

(2)正确找出带电粒子运动的临界状态。

(3)结合带电粒子的运动轨迹利用圆周运动的周期性进行分析计算。

[跟进训练]
磁场方向不确定形成的多解问题
1．(多选)一质量为m 、电荷量为q 的负电荷在磁感应强度为B 的匀强磁场中绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动，若磁场方向垂直于它的运动平面，且作用在负电荷的电场力恰好是磁场力的三倍，则负电荷做圆周运动的角速度可能是( )
A.4qB
m
B ．3qB m
C.
2qB m
D ．qB m
AC [依题中条件“磁场方向垂直于它的运动平面”，磁场方向有两种可能，且这两种可能方向相反。

在方向相反的两个匀强磁场中，由左手定则可知负电荷所受的洛伦兹力的方
向也是相反的。

当负电荷所受的洛伦兹力与电场力方向相同时，根据牛顿第二定律可知4Bqv
＝m v 2
R
，
得v ＝4BqR m ，此种情况下，负电荷运动的角速度为ω＝v R ＝4Bq m
；当负电荷所受的洛伦兹
力与电场力方向相反时，有2Bqv ＝m v 2R ，v ＝2BqR m ，此种情况下，负电荷运动的角速度为ω
＝v R
＝2Bq
m
，故A 、C 正确。

] 速度大小不确定形成的多解问题
2.(多选)如图所示，两方向相反、磁感应强度大小均为B 的匀强磁场被边长为L 的等边三角形ABC 理想分开，三角形内磁场垂直于纸面向里，三角形顶点A 处有一质子源，能沿∠BAC 的角平分线发射速度不同的质子(质子重力不计)，所有质子均能通过C 点，质子比荷q
m
＝k ，则质子的速度可能为( )
A ．2BkL
B ．
BkL
2
C.3BkL
2
D ．
BkL
8
BD [因质子带正电，且经过C 点，其可能的轨迹如图所示，所有圆弧所对圆心角均为
60°，所以质子运行半径r ＝L n (n ＝1、2、3…)，由洛伦兹力提供向心力得Bqv ＝m v 2
r
，即v
＝
Bqr m ＝Bk ·L
n
(n ＝1、2、3…)，选项B 、D 正确。

]
模型一 “放缩圆”模型的应用
适用条件
速度方向一定，
大小不同
粒子源发射速度方向一定，大小不同的带电粒子进入匀强
磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半
径随速度的变化而变化
轨迹圆圆心共
线
如图所示(图中只画出粒子带正电的情
景)，速度v 越大，运动半径也越大。

可以发现这些带电粒子射入磁场后，它
们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向
的直线PP ′上
界定方法
以入射点P 为定点，圆心位于PP ′直线上，将半径放缩作
轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法
[示例1] (多选)如图所示，在一等腰直角三角形ACD 区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B ，一质量为m 、电荷量为q 的带正电的粒子(重力不计)从AC 边的中点O 垂直于AC 边射入该匀强磁场区域，若该三角形的两直角边长均为2l ，则下列关于粒子运动的说法中正确的是( )
A ．若该粒子的入射速度为v ＝
qBl
m
，则粒子一定从CD 边射出磁场，且距点C 的距离为l B ．若要使粒子从CD 边射出，则该粒子从O 点入射的最大速度应为v ＝(2＋1)qBl
m
C ．若要使粒子从C
D 边射出，则该粒子从O 点入射的最大速度应为v ＝
2qBl
m
D ．当该粒子以不同的速度入射时，在磁场中运动的最长时间为πm
qB
ABD [若粒子射入磁场时速度为v ＝qBl m ，则由qvB ＝m v 2
r
可得r ＝l ，由几何关系可知，
粒子一定从CD 边上距C 点为l 的位置离开磁场，选项A 正确；因为r ＝mv
qB ，所以v ＝
qBr m
，因此，粒子在磁场中运动的轨迹半径越大，速度就越大，由几何关系可知，当粒子在磁场中的运动轨迹与三角形的AD 边相切时，能从CD 边射出的轨迹半径最大，此时粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径r ＝(2＋1)l ，故其最大速度为v ＝
(2＋1)qBl
m
，选项B 正确，C 错误；
粒子在磁场中的运动周期为T ＝2πm qB
，故当粒子从三角形的AC 边射出时，粒子在磁场中运
动的时间最长，由于此时粒子做圆周运动的圆心角为180°，故其最长时间应为t ＝πm qB
，选
项D 正确。

]
模型二 “旋转圆”模型的应用
[示例2] 如图所示为圆形区域的匀强磁场，磁感应强度为B ，方向垂直纸面向里，边界跟y 轴相切于坐标原点O 。

O 点处有一放射源，沿纸面向各方向射出速率均为v 的某种带电粒子，带电粒子在磁场中做圆周运动的半径是圆形磁场区域半径的两倍。

已知该带电粒子的质量为m 、电荷量为q ，不考虑带电粒子的重力。

(1)推导带电粒子在磁场空间做圆周运动的轨迹半径； (2)求带电粒子通过磁场空间的最大偏转角。

[解析] (1)带电粒子进入磁场后，受洛伦兹力作用，由牛顿第二定律得
Bqv ＝m v 2r ，则r ＝mv
Bq。

(2)粒子的速率均相同，因此粒子轨迹圆的半径均相同，但粒子射入磁场的速度方向不确定，故可以保持圆的大小不变，只改变圆的位置，画出“动态圆”，通过“动态圆”可以观察到粒子运动轨迹均为劣弧，对于劣弧而言，弧越长，弧所对应的圆心角越大，偏转角越大，则运动时间越长，当粒子的轨迹圆的弦长等于磁场直径时，粒子在磁场空间的偏转角最大，sin
φmax 2＝R r ＝1
2
，即φmax ＝60°。

[答案] (1)见解析 (2)60°
模型三 “平移圆”模型的应用
[示例3] 如图所示，边长为L 的正方形有界匀强磁场ABCD ，带电粒子从A 点沿AB 方向射入磁场，恰好从C 点飞出磁场；若带电粒子以相同的速度从AD 的中点P 垂直AD 射入磁场，从DC 边的M 点飞出磁场(M 点未画出)。

设粒子从A 点运动到C 点所用的时间为t 1，由P 点运动到M 点所用时间为t 2(带电粒子重力不计)，则t 1∶t 2为( )
A ．2∶1
B ．2∶3
C ．3∶2
D ．3∶ 2
C [画出粒子从A 点射入磁场到从C 点射出磁场的轨迹，并将该轨迹向下平移，粒子做圆周运动的半径为R ＝L ，从C 点射出的粒子运动时间为t 1＝T
4
；由P 点运动到M 点所用时间
word 21 / 21 为t 2，圆心角为θ，则cos θ＝R 2R ，则cos θ＝12，θ＝60°，故t 2＝T 6，所以t 1t 2＝T
4T 6
＝32
，C 正确。

]。