第21课时 三角形的基础知识

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中考再现
1．[2018·长沙]下列长度的三条线段，能组成三角形的是( B ) A．4 cm,5 cm,9 cm B．8 cm,8 cm,15 cm C．5 cm,5 cm,10 cm D．6 cm,7 cm,14 cm
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【解析】 三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．A选 项中4＋5＝9，两边之和等于第三边，A错误；B选项中8＋8>15，B正确；C选项 中5＋5＝10，两边之和等于第三边，C错误；D选项中6＋7<14，两边之和小于第 三边，D错误．故选B.
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4．三角形的中线 定 义：在三角形中，连接一个顶点和它对边 中点 线． 表达方式：如图．
的线段叫做三角形的中
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(1)AM是△ABC的中线； (2)AM是△ABC中BC边上的中线； (3)点M是BC的中点； (4)BM＝MC＝12BC； (5)BC＝2BM＝2MC； (6)S△ABM＝S△ACM＝12S△ABC.
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∵BE＋CD＝AB＋AC＝19－BC＝19－7＝12， ∴DE＝BE＋CD－BC＝12－7＝5. ∴MN＝12DE＝52.故选C. 【点悟】 三角形的中位线定理在证明两线平行关系和计算两线段数量关系时有 着重要应用，因此，题目中有“中点”，要学会寻找或构造中位线，从而为解题 创造条件．
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3．三角形的高线 定 义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作 垂线 之间的线段叫做三角形的高线，简称高． 表达方式：如图．
，顶点和垂足
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(1)AD是△ABC的高； (2)AD垂直于BC，垂足为D； (3)∠ADB＝∠ADC＝90°. 特 性：三角形的三条高所在的直线相交于一点,这一点叫做三角形的 垂心 ． 规 律：锐角三角形三条高的交点在三角形的 内部 ；钝角三角形三条高的 交点在三角形的 外部 ；直角三角形的两条高线恰好是它的两条直角边，因此 三条高的交点在 直角顶点上 ．
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3．[2019·枣庄]将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，若含30°角的三角板的
一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边在同一条直线上，则∠α的度数是
(C) A．45°
B.60°
C．75°
D.85°
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【解析】 在直角三角形中，可得∠1＋∠A＝90°. ∵∠A＝45°，∴∠1＝45°，∴∠2＝∠1＝45°. ∵∠B＝30°，∴∠α＝∠2＋∠B＝75°.故选C.
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课时作业
(58分)
一、选择题(每题6分，共30分)
1．[2019·自贡]已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形
的周长为( C )
A．7
B.8
C．9
D.10
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【解析】 由三角形三边关系可知，第三边x的取值范围是4－1<x<1＋4，即 3<x<5. ∵第三边长为整数，∴x＝4， ∴该三角形周长为1＋4＋4＝9.故选C.
3
A.2
B.2
C．52
D.3
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【解析】 ∵BN平分∠ABC，BN⊥AE， ∴∠NBA＝∠NBE，∠BNA＝∠BNE. 在△BNA和△BNE中，
∠ BNA＝BNB＝N，∠EBN， ∠ANB＝∠ENB，
∴△BNA≌△BNE.
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∴BA＝BE. ∴△BAE是等腰三角形． 同理△CAD是等腰三角形， ∴点N是AE的中点，点M是AD的中点． ∴MN是△ADE的中位线．
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类型之二 三角形的内角和定理的运用
[2019·赤峰]如图，点D在线段BC的延长线上，DE⊥AB于点E，交AC于点
F.若∠A＝35°，∠D＝15°，则∠ACB的度数为( B )
A．65°
B.70°
C．75°
D.85°
【解析】 ∵DE⊥AB，∠A＝35°，
∴∠AFE＝∠CFD＝55°，
A．180° C．360°
B.210° D.270°
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【解析】 如答图，∠α＝∠1＋∠D，
∠β＝∠4＋∠F， ∴∠α＋∠β＝∠1＋∠D＋∠4＋∠F＝∠2＋∠D＋∠3＋∠F＝∠2＋∠3＋30°＋ 90°＝210°.故选B.
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4．[2019·益阳]如图，直线AB∥CD，OA⊥OB，若∠1＝142°，则∠2＝ 52° .
解“任意”两字的含义．
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7．三角形的内角和定理及推论 定 理：三角形的内角和等于 180° .
推 论：(1)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
(2)三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角； (3)直角三角形的两个锐角 互余 ； (4)三角形的外角和等于 360° .
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2．[2019·眉山]如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，∠B＝30°，∠ ADC＝70°，则∠C的度数是( C )
A．50° C．70°
B.60° D.80°
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【解析】 ∵∠ADC＝70°，∠B＝30°， ∴∠BAD＝∠ADC－∠B＝70°－30°＝40°. ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAC＝2∠BAD＝80°， ∴∠C＝180°－∠B－∠BAC＝180°－30°－80°＝70°.故选C.
【解析】 ∵OA⊥OB， ∴∠O＝90°. ∵∠1＝142°， ∴∠OCD＝∠1－∠O＝142°－90°＝52°. ∵AB∥CD， ∴∠2＝∠OCD＝52°.
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5．[2019·吉林]如图，E为△ABC边CA延长线上的一点，过点E作ED∥BC.若∠ BAC＝70°，∠CED＝50°，则∠B＝ 60 °.
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2．[2017·株洲]如图，在△ABC中，∠BAC＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，则∠BAD的 度数是( B )
A．145° C．155°
B.150° D.160°
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3．[2017·郴州]小明把一副含45°，30°角的直角三角板按如下图的方式摆放，其中 ∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠α＋∠β等于( B )
【解析】 ∵点D，E分别是AC，BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴AB＝2DE＝2×50＝100(m)．
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归类探究
类型之一 三角形的三边关系
[2019·淮安]下列长度的3根小木棒不能搭成三角形的是( B )
A．2 cm,3 cm,4 cm
B.1 cm,2 cm,3 cm
C．3 cm,4 cm,5 cm
θ
θ
则∠A1＝ 2 ，∠An＝ 2n .
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【解析】 ∵A1B是∠ABC的角平分线， A1C是∠ACD的角平分线， ∴∠A1BC＝12∠ABC，∠A1CD＝12∠ACD. ∴∠A1＝∠A1CD－∠A1BC ＝12(∠ACD－∠ABC)
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＝12∠A. 又∵∠A＝θ，∴∠A1＝θ2. 同理可得∠A2＝12∠A1＝2θ2， …， ∴∠An＝2θn.
D.4 cm,5 cm,6 cm
【解析】 ∵1＋2＝3，∴长度为1 cm,2 cm,3 cm的3根小木棒不能搭成三角形．故
选B.
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1．[2019·金华]若长度分别为a,3,5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是
(C)
A．1
B.2
C．3
D.8
【解析】 根据三角形的三边关系，得2<a<8.故选C.
全 效学 习
中考学练测·数学[人教]
第二部分 第七章 第21课时
第二部分 图形与几何
第七章 三角形 第21课时 三角形的基础知识
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1．三角形的有关概念及分类 定 义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接而组成的图形叫做
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∴BC＝2x，BG＝CG＝x， ∴EF＝2x＝DG. ∵EF∥CD， ∴四边形EGDF是平行四边形， ∴DF＝EG＝4.故选B.
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5．[2019·杭州]在△ABC中，若一个内角等于另两个内角的差，则( D ) A．必有一个内角等干30° B．必有一个内角等于45° C．必有一个内角等于60° D．必有一个内角等于90° 【解析】 ∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝∠C－∠B， ∴2∠C＝180°，∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形．故选D.
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4．[2018·苏州]如图，在△ABC中，延长BC至点D，使CD＝
1 2
BC，过AC的中点E
作EF∥CD(点F位于点E右侧)，且EF＝2CD，连接DF.若AB＝8，则DF的长为
(B )
A．3 C．2 3
B.4 D.3 2
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【解析】 如答图，取BC的中点G，连接EG. ∵E是AC的中点， ∴EG是△ABC的中位线， ∴EG＝12AB＝12×8＝4. 设CD＝x，则EF＝2x.
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2．三角形的角平分线 定 义：三角形一个角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之 间的线段叫做三角形的 角平分线 ． 表达方式：如图．
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(1)AD是△ABC的角平分线； (2)AD平分∠BAC，交BC于点D； (3)∠BAD＝∠DAC＝12∠BAC； (4)∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC. 特 性：三角形的三条角平分线相交于一点，这一点叫做三角形的 内心 ． 规 律：(1)三角形两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上； (2)三角形的内心到三边的距离 相等 ．
∴∠ACB＝∠D＋∠CFD＝15°＋55°＝70°.故选B.
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2．[2019·原创]如图所示，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的角平分线与∠ACD
的角平分线交于点A1，∠A1BC的角平分线与∠A1CD的角平分线交于点
A2，……，∠An－1BC的角平分线与∠An－1CD的角平分线交于点An. 设∠A＝θ，
注 意：正确理解三角形的中线和中位线的概念，三角形的中线平分三角形的
面积，三角形的中位线分得三角形两部分的面积比为1∶3.
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1)三角形任意两边之和 大于 (2)三角形任意两边之差 小于 第三边．
第三边；
注 意：三角形的三边关系揭示了三条线段构成一个三角形的条件，要注意理
【解析】 ∵ED∥BC，∴∠C＝∠CED＝50°. ∴∠B＝180°－∠BAC－∠C＝180°－70°－50°＝60°.
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6．[2019·长沙]如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选 一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE＝50 m，则AB的长 是 100 m.
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【点悟】 本题中的结论可以作为规律记住：三角形一个内角的角平分线与一个 外角的角平分线构成的夹角等于第三个内角的一半．
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类型之三 三角形中位线性质的运用 [2019·株洲]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CM是斜边AB上的中
线，E，F分别为MB，BC的中点，若EF＝1，则AB＝ 4 .
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特 性：三角形的三条中线相交于一点，这一点叫做三角形的 重心 ． 规 律：(1)三角形的一条中线将三角形分成两个面积相等(等底同高)的三角 形； (2)三角形的重心把三角形的中线分成的两部分的比为2∶1.
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5．三角形的中位线 定 义：连接三角形两边 中点 的线段叫做三角形的中位线． 定 理：三角形的中位线 平行于 第三边，且等于 第三边的一半 ．
【解析】 ∵E，F分别为MB，BC的中点，EF＝1， ∴CM＝2EF＝2. ∵∠ACB＝90°，CM是斜边AB上的中线， ∴AB＝2CM＝4.
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3．[2018·达州]如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂 直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M.若BC＝7，则MN的长 度为( C )
三角形 ． 注 意：(1)三条线段；(2)不在同一直线上；(3)首尾顺次相接．
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分 类：(1)按边分：
三边都不相等的三角形 三角形等腰三角形②①等底边边三和角腰形不相等的等腰三角形 (2)按角分：
三角形斜三角形锐 钝角 角三 三角 角形 形 直角三角形