山东师大附中2017届高三上学期第二次模拟考试-数学(文)

山东师大附中2014级高三第二次模拟考试
数学(文史类)试题
命题人：王俊亮
本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共5页．满分150分，考试时间120分钟． 注意事项：
1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上．
2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上．
第I 卷(共50分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
1．设全集{}1,2,3,4,0U =----，集合{}{}1,2,0,3,4,0A B =--=--，则()U C A B ⋂= A ．{}0
B. {}3,4--
C. {}1,2--
D ．φ
2．函数()()
22log f x x x =-的定义域为 A ．[]0,1]
B ．()0,1
C ．(][),01,-∞⋃+∞
D ．()(),01,-∞⋃+∞
3．已知函数()(),
13,21,1
x
e x
f x f
f x x ⎧≤⎪⎛⎫
==⎨ ⎪->⎝⎭
⎪⎩则 A.e
B.
3e
C.
3
2e
D.
3
e
4-“1m =”是“函数()2
66f x x mx =-+在区间(],3-∞上为减函数”的 A ．充分必要条件 B ．既不充分又不必要条件 C ．充分不必要条件
D ．必要不充分条件
5．若函数()()log a f x x b =+的大致图象如右图，其中,a b 为常
数，则函数
()x g x a b =+大致图象是
6
．已知
()(),ln 1x f x e x g x x x =-=++，命题():,0,p x R f x ∀∈>命题()0:0,q x ∃∈+∞，使得()00g x =，
则下列说法正确的是
A. p 是真命题：()00:,0p x R f x ⌝∃∈<
B. p 是假命题：()00:,0p x R f x ⌝∃∈≤
C. q 是真命题：()():0,,0q x g x ⌝∀∈+∞≠
D. q 是假命题：()():0,,0q x g x ⌝∀∈+∞≠ 7. 将函数()sin 6f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的图象上各点的纵坐标不变，
横坐标伸长到原来的2倍，所得函数()g x 图象的一个对称中心可以是 A. ,012π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
B. 5,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
C. 2,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
D. ,03π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
()2
1cos 2
f x x x x x =
+，则其导函数．．．()f x '的图象大致是
()f x 满足()()1f x f x +=-，当10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()()2log 1f x x =+，则()f x 在区间31,2⎛⎫
⎪⎝⎭
内是
()f x <0 B. 减函数且()f x >0 ()f x >0
D. 增函数且()f x <0
()()f x g x 与是定义在同一区间[],a b 上的两个函数，若函数()()y f x g x =-在[],x a b ∈上有两个不
同的零点，则称()()[],f x g x a b 和在上是“关联函数”，区间[],a b 称为“关联区间”.若()()[]234203f x x x g x x m =-+=+与在，上是“关联函数”
，则m 的取值范围为 A. 924
⎛⎤-- ⎥⎝⎦
，
B. 924
⎡⎤--⎢⎥⎣⎦
， C. 944⎛⎤- ⎥⎝⎦
，
D. 944⎛⎫- ⎪⎝⎭
，
第II 卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.
{}n a 是公差不为零的等差数列，12482,,a a a a =，且{}n a 的通项公式为__________；
()2,0,2,0.
x bx c x f x x ⎧++≤=⎨>⎩若()()()40,22f f f -=-=-，则关于x 的方程()f x x =的解的个数为
___________；
13.已知长方形ABCD 中，AB=4,BC=1，M 为AB 的中点，则在此长方形内随机取一点P ，P 与M 的距离小于1的概率为_________；
14.已知S ，A ，B ，C 是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ， ,1,2AB BC SA AB BC ⊥===，则球
O 的表面积等于_____________；
()0y m m =>与函数2log y x =的图象交于()()()112212A x y B x y x x <，、、，下列结论正确的是
_________（填序号）
①1201x x <<<；②121x x =；③12224x x +<；④12224x x
+>
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分12分）
某电视台举办“未来主打星”主持人选秀活动，过程分为初赛、复赛和决赛，经初赛进入复赛的40名选手被平均分成甲、乙两个班。

下面是根据这40名选手参加复赛时获得的100名大众评审的支持票数制成的茎叶图：
赛制规定：参加复赛的40名选手中，获得的支持票数排在前5名的选手可进入决赛，若第5名出现并列，则一起进入决赛；另外，票数不低于95票的选手在决赛时拥有“优先挑战权”。

（I ）分别求出甲、乙两班的大众评审的支持票数的中位数；
（II ）从进入决赛的选手中随机抽出3名，求其中恰有1名拥有“优先挑战权”的概率.
17. （本小题满分12分）
在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是2221,,2
a b c a c b ac +-=，且. （I ）求2
sin cos 22
A C
B ++的值； （II ）若2,b =∆求AB
C 面积的最大值.
18. （本小题满分12分）
已知三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC ，AB=AC ，
D,E,F 分别为
11,,B A C C BC 的中点.
（I ）求证：DE//平面ABC ；
（II ）求证：平面AEF ⊥平面11BCC B .
19. （本小题满分12分）
用部分自然构造如图的数表：用()ij a i j ≥表示第i 行第j 个数(),i j N +∈，使得1i ii a a i ==.每行中的其他各数分别等于其“肩膀”()n n N +∈行的第二个数为()2n b n ≥.
（I ）写出1n n b b +与的关系，并求()2n b n ≥； （II ）设数列{}n c n 前项和为n T ，且满足()11
1,,21
n n c c n b ==≥-，求证：3n T <.
20. （本小题满分13分）
已知函数()[]3
2
,1,2f x x ax bx c x =+++∈-，且函数()2
13
f x x x ==-
在和处都取得极值. （I ）求实数a 与b 的值；
（II ）对任意[]1,2x ∈-，方程()2f x c =存在三个实数根，求实数c 的取值范围.
21. （本小题满分14分） 已知函数()()
2
10a x f x a x
-=
>，其中. （I ）求函数()f x 的单调区间；
（II ）若直线10x y --=是曲线()y f x =的切线，求实数a 的值；
（III ）设()()()2
ln ,g x x x x f x g x =-求在区间[]1,e 上的最小值.（其中e 为自然对数的底数）
山东师大附中2014级高三第二次模拟考试 数学（文史类）试题参考答案及评分标准
一、 选择题 （每题5分） BDACB CDCAA 二、
填空题（每题5分）
11、2n a n = 12. 3
13.8π
14.
4π
15.①②④
三、 解答题
16.解析：（Ⅰ）甲班的大众评审的支持票数的中位数是
7677
76.52
+= ……………2分乙班的大众评审的支持票数的中位数是
8284
832
+=， ……………4分 （Ⅱ）进入决赛的选手共6名，其中拥有“优先挑战权”的选手共3名， 为拥有“优先挑战权”的选手编号为1,2,3，其余3人编号为A ，B ，C ， 则被选中3人的编号所有可能情况共20种，列举如下： 123，12A ，12B ，12C ，13A ，13B ，13C ，1AB ，1AC ，1BC ，
23A ，23B ，23C ，2AB ，2AC ，2BC ，3AB ，3AC ， 3BC ，ABC ， ……………8分 其中拥有“优先挑战权”的选手恰有1名的情况共9种，如下：
1AB ， 1AC ，1BC ，2AB ，2AC ，2BC ，3AB ，3AC ，3BC ，……………10分
∴所求概率为9
20
P =
. ……………12分 17.解析：（Ⅰ）在△ABC 中，由余弦定理可知，B ac b c a cos 22
22=-+，
由题意知ac b c a 212
22=
-+，∴4
1
cos =B ；………………2分 又在△ABC 中π=++C B A ， ∴1cos 22
cos 12cos 2cos 2cos 2sin 2cos 2sin 2222
-++=+=+-=++B B
B B B B B
C A π 2
1
2cos cos 22-+
=B B ， 又41cos =
B ，∴4
12cos 2sin 2-=++B C A .………………6分 （Ⅱ）∵b =2 ，∴由ac b c a 212
2
2
=
-+可知，ac c a 2
1
422=-+，
即
422
1
-≥ac ac ，∴38≤ac ，……………………8分
∵41cos =B ，∴4
15
sin =B ………………10分 ∴3
154153821sin 21=⋅⋅≤⋅=
∆B ac S ABC .当且仅当时取得a c =最大值 ∴△ABC 面积的最大值为
3
15
．…………………………12分 18 .解析：（I ）取AB 中点G ，连DG ，CG ，在三棱柱111
ABC A B C -中，
1CC ⊥
底面ABC ，
11
BCC B ∴是矩形．
∵D ，E 分别为AB1，CC1的中点，
∴
1111
//
,//22DG BB CE BB ，
//,DG CE DGCE
∴是平行四边形，DE ∴∥GC ………3分
∵GC ⊂平面ABC ，DE ⊄平面ABC ， ∴DE//平面ABC ．……………………6分 （II ）三棱柱111
ABC A B C -中，
1CC ⊥
底面ABC ，
∴
1
AF CC ⊥ …………7分
=,AB AC F BC 为中点，AF BC ∴⊥…………8分
又
1BC CC C
⋂=，
11,
AF BCC B ∴⊥平面…………10分
,AF AEF ⊂又平面 ∴11AEF BCC B ⊥平面平面……………………12分
19.解析（1） 由已知得1n n b b n +=+，2n ≥ ……………2分
3243-1222,3,
-1
23...(n 1)n n n n b b b b b b n b ∴≥-=-=-=-=+++-当时，累加得，b
()(1)
1,2 (62)
n n n n -∴=+≥b 分
（2）由（1）2n ≥时，
n 123211
2().................8n(1)1.. (11111121223112)
12(1)3 3..................12n n c n n n T C C C C n n n n =
=---∴=++++⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+- ⎪ ⎪
⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=+-=-<分
分
20. （本小题满分13分）
解析：（1）2
()32f x x ax b '=++ ……………1分
由题意可知()2'0
3'10
f
f ⎧
⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭
⎨
⎪=⎩
， ……………3分 解得122
a b ⎧
=-⎪⎨⎪=-⎩ ……………5分
经检验，适合条件，所以12
2a b ⎧
=-⎪
⎨⎪=-⎩
……………6分 （2）原题等价于函数与()y f x =与函数2y c =两个图象存在三个交点，……………7分 由（1）知()()2
()32321f x x x x x '=--=+-， ……………8分
分 由图知 []1,2x ∴∈-13分
21．（本小题满分14分）
解析：（Ⅰ）函数定义域为(,0)
(0,)-∞+∞,3
(2)
()a x f x x -'=
， ……………2分 令()0f x '>，解得(0,2)；
令()0f x '<，解得(,0)-∞和(2,)+∞；
所以，()f x 的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(,0)-∞和(2,)+∞………4分
(Ⅱ）设切点坐标为00(,)x y ，则00
2
0000
3
0(1)10(2)
1a x y x x y a x x -⎧=⎪⎪⎪
--=⎨⎪-⎪=⎪⎩
……………7分（1个方程1分）
解得01x =，1a =. ……………8分 （Ⅲ）()g x =ln (1)x x a x --，
则()ln 1g x x a '=+-， …………………9分 解()0g x '=，得1e a x -=， ……………10分 所以，在区间1
(0,e
)a -上，()g x 为递减函数，
在区间1
(e
,)a -+∞上，()g x 为递增函数.
当1e 1a -≤，即01a <≤时，在区间[1,e]上，()g x 为递增函数，
所以()g x 最小值为(1)0g =. ………………11分 当1e e a -≥，即2a ≥时，在区间[1,e]上，()g x 为递减函数，
所以()g x 最小值为(e)e e g a a =+-. ………………12分
当11<e <e a -，即12a <<时，最小值
)1()1()(111---=---a a a e a e a e g =1--a e a . ………………13分
综上所述，当01a <≤时，()g x 最小值为(1)0g =；当12a <<时，()g x 的最小值
))(1-a e g =1--a e a ；当2a ≥时，()g x 最小值为(e)e e g a a =+-. ………14分。