初中数学专题复习全等三角形 同步辅导(含解答)

第十三章 全等三角形
13．1 全等三角形
基础知识归纳
1．全等形
能完全重合的两个图形叫作全等形． 2．全等三角形
（1）定义：能完全重合的两个三角形叫作全等三角形．
重合的顶点叫作对应顶点，重合的边叫作对应边，重合的角叫作对应角．
（2）符号表示：“≌”读作“全等于”．
例如：图中△ABC 与△A ′B ′C ′全等，可以表示为△ABC ≌△A ′B ′C ′． （3）性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 例如：图中，△ABC ≌△A ′B ′C ′，则∠A=∠A ′，∠B=∠B ′，∠C=∠C ′，•AB=A ′B ′，AC=A ′C ′，BC=B ′C ′． 3．特别提示
（1）平移、翻折、旋转前后的图形全等。

（2）两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上． 例如：如图，△ABC ≌△A 1B 1C 1，点A 与A 1，点B 与B 1，点C 与C 1是对应顶点．
经验与方法技巧
（1）全等三角形的性质可以用来解决不同三种形中边与角相等的问题． （2）找全等三角形对应角、对应边的方法 由角找边：对应角所对的边即对应边． 由边找角：对应边所夹的角即对应角． 典型例题
例 如图，两个三角形全等，C 与D 是对应顶点，且∠AOC 与∠BOD 是对应角．
（1）写出表示这两个三角形全等的式子．
（2）图中哪些边相等？图中哪些角相等？ 解析 （1）△AOC ≌△BOD ． （2）∵△AOC ≌△BOD ，
∴AO=BO ，OC=OD ，AC=BD ；∠C=∠D ，∠DBO=∠CAO ，∠AOC=∠BOD ．
评注 ①找出全等三角形的对应顶点并写在对应的位置上．•②根据全等三角形的性质写出其对应边、对应角．
D
C
B
A
O B '
C '
C
B
A A '
C 1
1
A 1
C
B
A
教材例题习题的变形题
例 （P92习题2）用同样粗细、同种材料的金属粗线制成两个全等三角形，•如图，已知∠B=∠E ，AC 的质量为25kg ，求DF 的质量．
解析 ∵△ABC ≌△DEF ，∠B=∠E ， ∴∠B 与∠E 是对应角． ∴AC 与DF 为对应边，∴AC=DF ． ∴DF 的质量为25kg ．
评注 因为构成三角形的金属线同样粗细、同种材料，又长度相同，故质量相同．
学科内综合题
例1 已知△ABC ≌△DEF ，且BC=EF ，∠C=∠F ，∠D=50°，∠E=42°，AB=10cm ，求∠C 的度数及DE 的长．
解析 在△DEF 中，∠D=50°，∠E=42°， ∴∠F=180°-∠D-∠E=88°． 又∵△ABC ≌△DEF ， ∴AB=DE ，∠C=∠F=88°．
∵AB=10cm ，∴DF=10cm ，∠C=88°．
例2 如图所示，△ABC ≌△ABD ，∠DAC=90°，C ，B ，D 在一条直线上． （1）求∠C 的度数．
（2）判断AB 与CD 的位置关系，并说明理由． 解析 （1）∵△ABC ≌△ABD ， ∴∠C=∠D ．
在△ACD 中，∠C+∠D+∠DAC=180°． 又∵∠CAD=90°， ∴∠C=∠D=
1
2
180°-90°）=45°． （2）AB ⊥CD ．
理由：∵△ABC ≌△ABD ， ∴∠ABC=∠ABD ． 又∵∠ABC+∠ABD=180°， ∴∠ABC=90°，∴AB ⊥CD ．
综合应用题
例 如图是某房间木地板的一个图案，其中AB=BC=CD=DA ，AE=CE=CF=FA ，•图案是由有花纹的全等三角形木块（阴影部分）与无花纹的全等三角形木块（•中间部分）拼成．这个图
C '
D F
E
B
A D
C
B
A
案的面积是0．05m 2，若房间的面积是13m 2，那么最少需要有花纹的三角形木块和无花纹的木块各多少块？
解析 ∵一个图案由4块全等的有花纹三角形木块与2块全等的无花纹三角形木块拼成，且全等的三角形的面积相等，
∴花纹三角形木块的数目为 （13÷0．05）×4=1040． 无花纹三角形木块的数目为 （13÷0．05）×2=520． •最少需要有花纹的三角形木块的数目为1040•块，•无花纹三角形木块的数目为520块．
创新题
例1
（探究题）如图，△ABC ≌△FED ，则图中相等的线段、•相等的角各有哪些？图中的AC 与DF ，AB 与EF 还有怎样的关系？请说明理由．
解析 图中相等的线段：AB=EF ，AC=FD ，BC=DE ，EC=BD ． 图中相等的角：∠A=∠F ，∠D=∠C ，∠ABC=∠FED ，∠FEC=∠ABD ． AC ∥DF ，AB ∥EF ．
理由如下：∵△ABC ≌△FED ， ∴AB=EF ，AC=FD ，BC=DE ． ∵BC-BE=DE-BE ，∴EC=BD ． ∵△ABC ≌△FED ，
∴∠A=∠F ，∠D=∠C ，∠ABC=∠FED ， ∴AC ∥DF ，AB ∥EF ．
评注 利用三角形全等的性质可以得到线段相等、
角相等，且∠C 与∠D ，•∠ABE 与∠FEB 是内错角，因此易推得AC ∥DF ，AB ∥EF ．
例2 （探究题）如图1，△ABC 绕顶点A 顺时针旋转，若∠B=30°，∠C=40°．
C 'C
B
A
B '
B ''
C ''
C '
C
B A
（1） (2)
（1）顺时针旋转多少度时，旋转后的△AB ′C ′的顶点C ′与原△ABC 的顶点B•和A
在
D
A
D
C
F E
B A
同一直线上？
（2）再继续旋转多少度时，C 与C ″在同一直线上（原△ABC 是指开始位置）？ 解析 如图2．
（1）旋转角=∠CAB=180°-30°-40°=110°时，A ，C ′，B 在同一直线上． （2）再继续旋转180°-110°=70°，C ，A ，C ″共线．
评注 旋转变换后得到的三角形与原三角全等，解题的关键是找出相等的角．
中考题
例 （2003年威海卷）全等三角形又叫合同三角形，•平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形．
假设△ABC 和△A 1B 1C 1是全等（合同）三角形，且点A 与A 1对应，点B 与B 1对应，点C•与点C 1对应，当沿周界A →B →C →A 及A 1→B 1→C 1→A 1环绕时，若运动方向相同，•则称它们是真正合同三角形，如图1；若运动方向相同，则称它们是镜面合同三角形，如图2．
C 1
B 1
A 1C B
A
C 1
B 1
A 1C
B
A
(1) (2)
两个真正合同三角形，都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合；而两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻折180°，下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是（ ）．
D
C
B
A
解析 A 与C 中的两个三角形可以通过旋转，使它们重合． D 中的两个三角形可以用平移、旋转相结合的方式使之重合．
而B 中的两个三角形可以用翻折的方法使之重合，故B•中的三角形是镜面合同三角形． 答案 B
评注 从阅读材料中明确真正合同三角形与镜面合同三角形的区别是解决问题的关键．。