江苏省2020届高三数学一轮复习典型题专题训练：三角函数(含解析)

江苏省2020届高三数学一轮复习典型题专题训练
三角函数
一、填空题 1、（南京市2018高三9月学情调研）若函数f (x )＝A sin(ωx ＋ϕ)(A ＞0，ω＞0，|ϕ|＜π)的部分图 象如图所示，则f (－π)的值为 ▲ ．
2、（南京市2018高三9月学情调研）已知函数f (x )＝2sin(2x ＋φ) (－π2＜φ＜π2)的图象关于直线x ＝π6 对称，则f (0)的值为 ▲ ．
3、（南京市六校联合体2019届高三上学期12月联考）已知,)tan(714-=-π
α⎪⎭
⎫
⎝⎛∈20πα,，则)sin(6πα+的值是 ▲
4、（江苏省常州一中、泰兴中学、南菁高中2019届高三10月月考）函数的
最小正周期为 ▲ ．
5、（南京市13校2019届高三12月联合调研）已知10cos()4
10π
θ+
=-
，(0,)2
π
θ∈，则sin(2)3πθ-= ▲ ． 6、（苏州市2018高三上期初调研）将函数()()20y sin x ϕϕπ=+<<)的图象沿x 轴向左平移8
π
个单位，得到函数()y f x =的图象，若函数()y f x =的图象过原点，则ϕ的值是 ．
7、（南京市、镇江市2019届高三上学期期中）在△ABC 中，,,a b c 分别为角A ，B ，C 的对边，且A ＝45°，C ＝75°，a ＝1，则b ＝＿＿ 8、（苏州市2019届高三上学期期中）设函数()sin()f x A x ωϕ=+（,,A ωϕ为常数， 且0,0,0A ωϕ>><<π）的部分图象如图所示， 则ϕ的值为 ▲ ．
9、（无锡市2019届高三上学期期中）已知定义在区间⎣⎡⎦
⎤－π4，π4上的函数f (x )＝2a sin x cos x ＋b (a ＜0)的最大值
为4，最小值为5
2
，则a ·b ＝
10、（徐州市2019届高三上学期期中）已知函数()2sin(2)3
f x x π
=-，若12()()4f x f x ⋅=-，且[]12,,x x ππ∈-，
则12x x -的最大值为 ▲ ．
11、（盐城市2019届高三上学期期中）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝5，c ＝7，则角C ＝ ．
12、（扬州市2019届高三上学期期中）设△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若26a =，6b =，cosB ＝1
2
-
，那么角A 的大小为 ． 13、（如皋市2019届高三上学期期末）在△锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知222cos 3a ab C b +=，则tan tan tan A B C 的最小值是 ▲ ．
14、（苏北三市（徐州、连云港、淮安）2019届高三期末）将函数()sin 2f x x =的图象向右平移6
π
个单位得到函数()g x 的图象，则以函数()f x 与()g x 的图象的相邻三个交点为顶点的三角形的面积为 ．
15、（苏州市2019届高三上学期期末）已知3sin()cos απα-=，则tan()πα-的值是 ．
16、（无锡市2019届高三上学期期末）已知θ是第四象限角，且 cosθ＝45，那么sin()4cos(26)
π
θθπ+-的值为 ．
17、（镇江市2019届高三上学期期末）若2cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，α∈⎝⎛⎭⎫π
2，π，则sin 2α＝________． 18、（苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（一））设定义在区间(0，
2
π
)上的函数33sin y x =的图象与
3cos 22y x =+的图象交于点P ，则点P 到x 轴的距离为 ．
19、（盐城市2019届高三第三次模拟）在ABC ∆中，A ，B ，C 所对的三边分别为c b a ,,，且ab b a c ++=222，则2
22c b a -的取值范围是_____.
20、（江苏省2019年百校大联考）在斜三角形ABC 中，
11
2tan 0tan tan C A B
++=，则tan C 的最大值是 21、（南京市、盐城市2019届高三第二次模拟）若函数()2sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图象经过点
(,2)6π，且相邻两条对称轴间的距离为2π，则()4
f π
的值为 . 22、（南京市2019届高三第三次模拟）函数f (x )＝2sin(ωx ＋π6)，其中ω＞0．若x 1，x 2是方程f (x )＝2的两个不同
的实数根，且|x 1－x 2|的最小值为π．则当x ∈[0，π
2]时，f (x )的最小值为 ▲
二、解答题
1、（南京市2018高三9月学情调研）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， cos B ＝45
．
（1）若c ＝2a ，求sin B
sin C 的值；
（2）若C －B ＝π
4，求sin A 的值．
2、（南京市2018高三9月学情调研）已知α，β为钝角，且sin α＝35，cos2β＝－3
5． （1）求tan β的值； （2）求cos(2α＋β)的值．
3、（南京市六校联合体2019届高三上学期12月联考）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且
3sin cos b A a B =．
（1）求角B ；
（2）若3b =，sin 3sin C A =，求a ，c ．
4、（江苏省常州一中、泰兴中学、南菁高中2019届高三10月月考）已知为钝角，
且sin α=，cos2β＝
（1）求tan β的值. （2）求cos(2)的值.
5、（南京市、镇江市2019届高三上学期期中）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，
且sin 2sin C B
c b
=
(1)求角C
(2)若3
sin()=35
B -π，求cos A 的值
6、（无锡市2019届高三上学期期中）已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 且3(b －a cos C )＝c sin A .
(1) 求角A 的值；
(2) 若AC 边上的中线BD 的长为13，求△ABC 面积的最大值. 7、（徐州市2019届高三上学期期中）在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos24cos()=1B A C -+. （1）求角B 的值；
（2）若13
cos 13
A =，3c =，求ABC ∆的面积.
8、（盐城市2019届高三上学期期中）若函数()sin()3
f x ax b π
=++(a ＞0，b ＞0)的图象与x 轴相切，且图象
上相邻两个最高点之同的距离为π． （1）求a ，b 的値； （2）求()f x 在[0，4
π
]上的最大值和最小值．
9、（如皋市2019届高三上学期期末）已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，其中A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π
2，x ∈R ，其
部分图象如图所示．
（1）求函数y ＝f (x )的解析式；
（2）若f (α)＝233，α∈⎝⎛⎭
⎫0，π2，求cos2α的值．
10、（苏北三市（徐州、连云港、淮安）2019届高三期末）在ABC △中，2
sin 3
A =，A π(,π)2∈．
（1）求sin2A 的值； （2）若1
sin 3
B =，求cos
C 的值．
11、（苏州市2019届高三上学期期末）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，已知2b cosA ＝2c ﹣3a ． （1）求B ；
（2）设函数3
()cos sin()3
4
f x x x π
=⋅+
-
，求(A)f 的最大值． 12、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第一次模拟（2月））
在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边的长，cos 2cos a B b A =，3cos 3A =．
（1）求角B 的值；
（2）若6a =，求△ABC 的面积．
13、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟（5月））
在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边的长，(sin sin )()(sin sin )a A B c b B C -=-+． （1）求角C 的值；
（2）若4a b =，求sin B 的值．
14、（苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（二））在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且
32cos A
sin C
a c -=． （1）求角A 的大小； （2）若cos(B ＋6π)＝1
4
，求cosC 的值．
15、（南京金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校2019届高三第四次模拟）已知函数
()2sin()cos 3
f x x x π
=+⋅． （1）若0≤x ≤
4
π
，求函数()f x 的值域； （2）设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若A 为锐角且3
(A)2
f =，b ＝2，c ＝3，求cos(A ﹣B)的值．
参考答案
一、填空题
1、－1
2、1
3、
10433+
4、π
5、
43310+
6、34π
7、 8、
3
π
9、－3916
10、
32π 11、23
π 12、4π
13、6 14、
32π
15、13
16、5214 17、－78
18、3 19、(1,1)- 20、3- 21、3 22、－1 二、解答题
1、解：（1）解法1
在△ABC 中，因为cos B ＝4
5，所以a 2＋c 2－b 22ac ＝45． ………………………2分
因为c ＝2a ，所以(c
2)2＋c 2－b 22c ×
c 2
＝45，即b 2c 2＝9
20，
所以b c ＝3510． ……………………………4分
又由正弦定理得sin B sin C ＝b
c
，
所以sin B sin C ＝3510． ……………………………6分
解法2
因为cos B ＝45，B ∈(0，π)，所以sin B ＝1－cos 2B ＝3
5．………………………2分
因为c ＝2a ，由正弦定理得sin C ＝2sin A ， 所以sin C ＝2sin(B ＋C )＝65cos C ＋8
5
sin C ，
即－sin C ＝2cos C ． ………………………4分 又因为sin 2C ＋cos 2C ＝1，sin C ＞0，解得sin C ＝25
5，
所以sin B sin C ＝3510． ………………………6分
（2）因为cos B ＝45，所以cos2B ＝2cos 2B －1＝7
25
． …………………………8分
又0＜B ＜π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝3
5
，
所以sin2B ＝2sin B cos B ＝2×35×45＝24
25
． …………………………10分
因为C －B ＝π4，即C ＝B ＋π4，所以A ＝π－(B ＋C )＝3π
4－2B ，
所以sin A ＝sin(3π
4
－2B )
＝sin 3π4cos2B －cos 3π
4sin2B ………………………………12分
＝
22×725－(－22)×2425
＝312
50
． …………………………………14分
2、解：（1）因为cos2β＝－3
5，cos2β＝2cos 2β－1，
所以 2cos 2β－1＝－35，解得cos 2β＝1
5． …………………… 2分 因为β为钝角，所以cos β＝－5
5．
从而sin β＝1－cos 2β＝1－15＝25
5． …………………… 5分
所以tan β＝sin β
cos β＝
255
－55
＝－2． …………………… 7分 （2）因为α为钝角，sin α＝3
5，
所以cos α＝－
1－sin 2α＝－
1－(35)2＝－4
5． …………………… 9分
所以 sin2α＝2sin αcos α＝2×35×(－45)＝－24
25，
cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×(35)2＝7
25． …………………… 11分 从而cos(2α＋β)＝cos2αcos β－sin2αsin β
＝725×(－55)－(－2425)×255
＝415
125． …………………… 14分
3、【解析】（1）在ABC ∆中，
由正弦定理
sin sin a b
A B
=
，得3sin sin sin cos B A A B =． ………………2分 又因为在ABC ∆中sin 0A ≠．
所以3sin cos B B =． ………………………………………………………4分 法一：因为0B π<<，所以sin 0B ≠，因而cos 0B ≠． 所以sin 3
tan cos 3
B B B =
=，
所以6
B π
=
． ……………………………………………………6分
法二：3sin cos 0B B -=即2sin()06
B π
-
=， …………………………4分
所以()6
B k k Z π
π-=∈，因为0B π<<，
所以6
B π
=
． …………………………………6分
（2）由正弦定理得
sin sin a c
A C
=
， 而sin 3sin C A =，
所以3c a = ，① …………………………………9分 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2292cos
6
a c ac π
=+-，
即2
2
39a c ac +-=， ② …………………………………12分 把①代入②得3a =，33c =. …………………………………14分
4、（1）cos2β＝2cos 2β-1＝－35，得cos β＝－55
，sin β＝255， tan β＝－2 （2）cos α＝－
45，cos2α＝725，sin2α＝－12
25
， cos(2)＝
725×（－5
5）－（－1225）×255＝
175125
5、
6、解：(1) 因为3(b －a cos C )＝c sin A ，
由正弦定理得3(sin B －sin A cos C )＝sin C sin A .(2分) 即 3sin B ＝3sin A cos C ＋sin C sin A ，
即 3sin A cos C ＋3cos A sin C ＝3sin A cos C ＋sin C sin A ，(4分) 所以 3cos A sin C ＝sin C sin A .
因为sin C ≠0，所以sin A ＝3cos A ，即tan A ＝ 3.(6分)
因为A ∈(0，π)，所以A ＝π
3
.(8分)
(2) 在△ABD 中，由余弦定理得AB 2＋AD 2－2·AB ·AD ·cos A ＝BD 2，
即13＝c 2
＋b 24－c ·b 2≥bc 2
，(10分)
所以bc ≤26.(12分)
所以S △ABC ＝12bc sin A ≤12×26×32＝133
2，
即△ABC 面积的最大值为133
2.(14分)
7、
8、解：（1）因为图像与x 轴相切，且0b >，所以)(x f y =的最小值为0，即1=b ，又由最高点间距离为π，故
2a
π
π=，即2a = …………4分 （2）由（1）得()sin 2+13f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭，当0,4x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦时，有52336x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦
， ………8分 当2=
3
2x π
π
+
时，即12x π
=
，()f x 有最大值2；
当52=36x ππ+时，即4x π=，()f x 有最小值32
………… …14分
9、【解】（1）由图可知，A ＝2，
15πππ
4632T =-=， 所以2πT =，所以
2π
2πω
=，1ω=． …… 4分
又π23f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以π2sin 23ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即πsin 13ϕ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
，
因为ππ22ϕ-
<<，所以ππ5π636ϕ-<+<
，故ππ32ϕ+=，π
6
ϕ=．
所以()π2sin 6x x f ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭． …… 7分
（2）因为()233f α=
，所以π22sin 363α⎛
⎫+=
⎪⎝⎭，即π3sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 因为π02α<<
，所以ππ2π
663
α<+<． 又因为π32sin 632α⎛
⎫+=< ⎪⎝
⎭，所以πππ664α<+<．
所以2
2ππ36cos 1sin 16633αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， …… 10分 所以ππππππsin sin sin cos cos sin 666666αααα⎡⎤⎛
⎫⎛⎫⎛
⎫=+
-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝
⎭⎣⎦ 336116
323226
=
⨯-⨯=-
． …… 12分 所以2
21616
cos212sin 122663
αα⎛⎫=-=-⨯-=+ ⎪ ⎪⎝⎭
． …… 14分 10、（1）由2
sin 3
A =，(,)2
A π∈π，则2225
cos 1sin 1()33
A A =--=--=-
，…………2分 所以45
sin 22sin cos 9
A A A ==-
． ……………………………………………………6分 （2）由(,)2
A π∈π，则
B 为锐角，
又1
sin 3B =，所以2122cos 1()33
B =-=， ………………………………………8分
所以cos cos()(cos cos sin sin )C A B A B A B =-+=-- ……………………………12分
522212102
()33339
+=--
⨯-⨯=
． ……………………………………………14分 11、
12、【解】（1）在△ABC 中，因为3cos 3
A =，0π<<A ，
所以26sin 1cos 3
=-=A A ．………………………………………………………2分
因为cos 2cos a B b A =，
由正弦定理sin sin =a b A B
，得sin cos 2sin cos =A B B A ．
所以cos sin =B B ． ………………………………………………………………… 4分
若cos =0B ，则sin =0B ，与22sin cos 1B B +=矛盾，故cos 0B ≠． 于是sin tan 1cos ==B B B ．
又因为0π<<B ，
所以π4
B =． …………………………………………………………………………7分
（2）因为6a =，6sin 3
A =，
由（1）及正弦定理sin sin =a b A B ，得662
23
=b ，
所以322
=b ． ………………………………………………………………………9分
又()()sin sin πsin C A B A B =--=+
sin cos cos sin =+A B A B
632362232326
+=⋅+⋅=．……………………………………………12分 所以△ABC 的面积为2363263211sin 622264++==⨯⨯⨯=S ab C .……14分
13、（1）在△ABC 中， 因为(sin sin )()(sin sin )a A B c b B C -=-+，
由正弦定理sin sin sin a b c A B C
==，
所以()()()a a b b c c b -=+-． …… 3分
即222a b c ab +-=，
由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得1cos 2
C =． …… 5分
又因为0πC <<，所以π3
C =． …… 7分
（2）方法一：因为4a b =及222a b c ab +-=，
得2222216413c b b b b =+-=，即13c b =， …… 10分 由正弦定理
sin sin c b C B =，得13sin 3
2
b b B =， 所以39sin 26B =． …… 14分
方法二：由正弦定理sin sin =a b A B ，得sin 4sin =A B ．
由++=πA B C ，得sin()4sin +=B C B ， 因为3
π=C ，所以31sin cos 4sin 22+=B B B
，
即7sin 3cos =B B ． …… 11分 又因为22sin cos 1+=B B ，解得，23sin 52=B ，
因为在△ABC 中，sin 0>B ，
所以39sin 26
=B . …… 14分
14、。