浙江省湖州市2019-2020学年第五次中考模拟考试数学试卷含解析

浙江省湖州市2019-2020学年第五次中考模拟考试数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．如图，C ，B 是线段AD 上的两点，若AB CD =，2BC AC =，则AC 与CD 的关系为（ ）
A ．2CD AC =
B ．3CD A
C = C ．4C
D AC = D ．不能确定 2．若a+|a|=0，则()222a a -+等于（ ） A ．2﹣2a B ．2a ﹣2
C ．﹣2
D ．2 3．如果关于x 的方程x 2﹣k x+1=0有实数根，那么k 的取值范围是（ ）
A ．k ＞0
B ．k≥0
C ．k ＞4
D ．k≥4
4．若2＜2a -＜3，则a 的值可以是（ ）
A ．﹣7
B ．163
C ．132
D ．12
5．下列图形不是正方体展开图的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．如图是由两个小正方体和一个圆锥体组成的立体图形，其主视图是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．用圆心角为120°，半径为6cm 的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽（如图所示），则这个纸帽的高是（ ）
A 2 cm
B ．2cm
C ．2
D ．4cm
8．在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=12，BC=9，D 是AB 的中点，G 是△ABC 的重心，如果以点D 为圆心DG 为半径的圆和以点C 为圆心半径为r 的圆相交，那么r 的取值范围是（ ）
A ．r ＜5
B ．r ＞5
C ．r ＜10
D ．5＜r ＜10
9．下列命题正确的是( )
A ．内错角相等
B ．－1是无理数
C ．1的立方根是±1
D ．两角及一边对应相等的两个三角形全等
10．设x 1，x 2是方程x 2-2x-1=0的两个实数根，则2
112
x x x x 的值是( )
A ．-6
B ．-5
C ．-6或-5
D ．6或5
11．如图1、2、3分别表示甲、乙、丙三人由A 地到B 地的路线图，已知
甲的路线为：A→C→B ；
乙的路线为：A→D→E→F→B ，其中E 为AB 的中点；
丙的路线为：A→I→J→K→B ，其中J 在AB 上，且AJ ＞JB ．
若符号
[→]表示[直线前进]，则根据图1、图2、图3的数据，判断三人行进路线长度的大小关系为（
）
A ．甲=乙=丙
B ．甲＜乙＜丙
C ．乙＜丙＜甲
D ．丙＜乙＜甲
12．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠1）的图象如图所示，则下列结论：
①a 、b 同号；
②当x=1和x=3时，函数值相等；
③4a+b=1；
④当y=﹣2时，x 的值只能取1；
⑤当﹣1＜x ＜5时，y ＜1．
其中，正确的有（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．一个正多边形的每个内角等于150o，则它的边数是____．
14．太阳半径约为696000千米，数字696000用科学记数法表示为千米．
15．计算：|﹣3|+（﹣1）2= ．
16．关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_____．
17．阅读下面材料：
在数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面问题：
已知：∠ACB是△ABC的一个内角．
求作：∠APB＝∠ACB．
小明的做法如下：
如图
①作线段AB的垂直平分线m；
②作线段BC的垂直平分线n，与直线m交于点O；
③以点O为圆心，OA为半径作△ABC的外接圆；
④在弧ACB上取一点P，连结AP，BP．
所以∠APB＝∠ACB．
老师说：“小明的作法正确．”
请回答：
（1）点O为△ABC外接圆圆心（即OA＝OB＝OC）的依据是_____；
（2）∠APB＝∠ACB的依据是_____．
18．如图，在▱ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE=4：3，且BF=2，则DF=_____
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）有两把不同的锁和四把不同的钥匙，其中两把钥匙恰好分别能打开这两把锁，其余的钥匙不能打开这两把锁．现在任意取出一把钥匙去开任意一把锁．
（1）请用列表或画树状图的方法表示出上述试验所有可能结果；
（2）求一次打开锁的概率．
20．（6分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝1．在BC上求作一点P，使PA+PB＝BC；(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)求BP的长．
21．（6分）某快餐店试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元（不含套餐成本）．若每份套餐售价不超过10元，每天可销售400份；若每份套餐售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．为了便于结算，每份套餐的售价x（元）取整数，用y（元）表示该店每天的利润．若每份套餐售价不超过10元．
①试写出y与x的函数关系式；
②若要使该店每天的利润不少于800元，则每份套餐的售价应不低于多少元？该店把每份套餐的售价提高到10元以上，每天的利润能否达到1560元？若能，求出每份套餐的售价应定为多少元时，既能保证利润又能吸引顾客？若不能，请说明理由．
22．（8分）先化简，再求值，
2
2
1211
111
x x x
x x x
⎛⎫
-+-
+÷
⎪
+-+
⎝⎭
，其中x=1．
23．（8分）在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是边BC上任意一点，连接AD，过点C 作CE⊥AD于点E．
（1）如图1，若∠BAD=15°，且CE=1，求线段BD的长；
（2）如图2，过点C作CF⊥CE，且CF=CE，连接FE并延长交AB于点M，连接BF，求证：AM=BM．
24．（10分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+2ax+c（其中a、c为常数，且a＜0）与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，此抛物线顶点C到x轴的距离为1．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求∠CAB的正切值；
（3）如果点P是x轴上的一点，且∠ABP＝∠CAO，直接写出点P的坐标．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝x 与反比例函数()0k y k x =
≠的图象相交于点()
3,A a .
（1）求a 、k 的值；
（2）直线x ＝b （0b >）分别与一次函数y ＝x 、反比例函数k y x
=
的图象相交于点M 、N ，当MN ＝2时，画出示意图并直接写出b 的值.
26．（12分）如图，已知∠A=∠B ，AE=BE ，点D 在AC 边上，∠1=∠2，AE 与BD 相交于点O ．求证：EC=ED ．
27．（12分）如图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC 的顶点和O 点都在正方形的顶点上．
以点O为位似中心，在方格图中将△ABC放大为原来的2倍，得到
△A′B′C′；△A′B′C′绕点B′顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A″B′C″，并求边A′B′在旋转过程中扫过的图形面积．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．B
【解析】
【分析】
由AB=CD，可得AC=BD，又BC=2AC，所以BC=2BD，所以CD=3AC.
【详解】
∵AB=CD，
∴AC+BC=BC+BD，
即AC=BD，
又∵BC=2AC，
∴BC=2BD，
∴CD=3BD=3AC.
故选B．
【点睛】
本题考查了线段长短的比较，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍转化线段之间的数量关系是十分关键的一点．
2．A
【解析】
【分析】
直接利用二次根式的性质化简得出答案．
【详解】
∵a+|a|=0，
∴|a|=-a ，
则a≤0，
故原式=2-a-a=2-2a ．
故选A ．
【点睛】
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
3．D
【解析】
【分析】
由被开方数非负结合根的判别式△≥0，即可得出关于k 的一元一次不等式组，解之即可得出k 的取值范围．
【详解】
∵关于x 的方程x 2
有实数根，
∴204110k ≥⎧⎪⎨∆-⨯⨯≥⎪⎩
， 解得：k≥1．
故选D ．
【点睛】
本题考查了根的判别式，牢记“当△≥0时，方程有实数根”是解题的关键．
4．C
【解析】
【分析】
根据已知条件得到4＜a-2＜9，由此求得a 的取值范围，易得符合条件的选项．
【详解】
解：∵2
＜3，
∴4＜a-2＜9，
∴6＜a ＜1．
又a-2≥0，即a≥2．
∴a 的取值范围是6＜a ＜1．
观察选项，只有选项C 符合题意．
故选C ．
【点睛】
考查了估算无理数的大小，估算无理数大小要用夹逼法．
5．B
【解析】
【分析】
由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．
【详解】
A、C、D经过折叠均能围成正方体，B•折叠后上边没有面，不能折成正方体．
故选B．
【点睛】
此题主要考查平面图形的折叠及正方体的展开图，熟练掌握，即可解题.
6．B
【解析】
主视图是从正面看得到的视图，从正面看上面圆锥看见的是：三角形，下面两个正方体看见的是两个正方形．故选B．
7．C
【解析】
【分析】
利用扇形的弧长公式可得扇形的弧长；让扇形的弧长除以2π即为圆锥的底面半径，利用勾股定理可得圆锥形筒的高．
【详解】
L＝1206
180
π⨯
＝4π（cm）；
圆锥的底面半径为4π÷2π＝2（cm），
=cm）．故选C．
【点睛】
此题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥侧面展开图的弧长=
2
n r
180
π
；圆锥的底面周长等于侧面展
开图的弧长；圆锥的底面半径，母线长，高组成以母线长为斜边的直角三角形．8．D
【解析】
延长CD交⊙D于点E，
∵∠ACB=90°，AC=12，BC=9，∴AB=22
AC BC +=15， ∵D 是AB 中点，∴CD=115AB=22
， ∵G 是△ABC 的重心，∴CG=2CD 3
=5，DG=2.5， ∴CE=CD+DE=CD+DF=10，
∵⊙C 与⊙D 相交，⊙C 的半径为r ，
∴ 510r <<，
故选D.
【点睛】本题考查了三角形的重心的性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、两圆相交等，根据知求出CG 的长是解题的关键.
9．D
【解析】解：A ．两直线平行，内错角相等，故A 错误；
B ．－1是有理数，故B 错误；
C ．1的立方根是1，故C 错误；
D ．两角及一边对应相等的两个三角形全等，正确．
故选D ．
10．A
【解析】
试题解析：∵x 1，x 2是方程x 2-2x-1=0的两个实数根，
∴x 1+x 2=2，x 1∙x 2=-1
∴2112x x x x +=2221212121212()24261
x x x x x x x x x x ++-+===--. 故选A.
11．A
【解析】
分析：由角的度数可以知道2、3中的两个三角形的对应边都是平行的，所以图2，图3中的三角形都和图1中的三角形相似．而且图2三角形全等，图3三角形相似．
详解：根据以上分析：所以图2可得AE=BE，AD=EF，DE=BE．
∵AE=BE=1
2
AB，∴AD=EF=
1
2
AC，DE=BE=
1
2
BC，∴甲=乙．
图3与图1中，三个三角形相似，所以JK
AI
=
JB
AJ
=
BK AI
IJ AC
，=
AJ
AB
=
IJ
BC
．
∵AJ+BJ=AB，∴AI+JK=AC，IJ+BK=BC，
∴甲=丙．∴甲=乙=丙．
故选A．
点睛：本题考查了的知识点是平行四边形的性质，解答本题的关键是利用相似三角形的平移，求得线段的关系．
12．A
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质和图象可以判断题目中各个小题是否成立．
【详解】
由函数图象可得，
a＞1，b＜1，即a、b异号，故①错误，
x=-1和x=5时，函数值相等，故②错误，
∵-
15
22
b
a
-+
=＝2，得4a+b=1，故③正确，
由图象可得，当y=-2时，x=1或x=4，故④错误，
由图象可得，当-1＜x＜5时，y＜1，故⑤正确，
故选A．
【点睛】
考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．十二
【解析】
【分析】
首先根据内角度数计算出外角度数，再用外角和360°除以外角度数即可．
【详解】
∵一个正多边形的每个内角为150°，
∴它的外角为30°，
360°÷30°＝12，
故答案为十二．
【点睛】
此题主要考查了多边形的内角与外角，关键是掌握内角与外角互为邻补角．
14．56.9610 .
【解析】
试题分析：696000=6.96×
1，故答案为6.96×1． 考点：科学记数法—表示较大的数．
15．4.
【解析】
【详解】
|﹣3|+（﹣1）2=4，
故答案为4.
16．k ＜1
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根的判别式结合题意进行分析解答即可.
【详解】
∵关于x 的一元二次方程x 2+2x+k=0有两个不相等的实数根，
∴△=
， 解得：
. 故答案为：
. 【点睛】
熟知“在一元二次方程中，若方程有两个不相等的实数根，则△=”
是解答本题的关键.
17．①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；②等量代换同弧所对的圆周角相等【解析】
【分析】
（1）根据线段的垂直平分线的性质定理以及等量代换即可得出结论．
（2）根据同弧所对的圆周角相等即可得出结论．
【详解】
（1）如图2中，
∵MN垂直平分AB，EF垂直平分BC，
∴OA=OB，OB=OC（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等），
∴OA=OB=OC（等量代换）
故答案是：
（2）∵»»
AB AB
，
∴∠APB=∠ACB（同弧所对的圆周角相等）．
故答案是：（1）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等和等量代换；（2）同弧所对的圆周角相等．
【点睛】
考查作图-复杂作图、线段的垂直平分线的性质、三角形的外心等知识，解题的关键是熟练掌握三角形外心的性质．
18．14
3
．
【解析】
【详解】
解：令AE=4x，BE=3x，
∴AB=7x.
∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD=AB=7x，CD∥AB，
∴△BEF∽△DCF.
∴
33
77 BF BE x
DF CD x
===，
∴DF=14 3
【点睛】
本题考查平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质，掌握定理正确推理论证是本题的解题关键.
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（1）详见解析（2）1 4
【解析】
【分析】
设两把不同的锁分别为A、B，能把两锁打开的钥匙分别为a、b，其余两把钥匙分别为m、n，根据题意，可以画出树形图，再根据概率公式求解即可.
【详解】
（1）设两把不同的锁分别为A、B，能把两锁打开的钥匙分别为a、b，其余两把钥匙分别为m、n，根据题意，可以画出如下树形图：
由上图可知，上述试验共有8种等可能结果；
（2）由（1）可知，任意取出一把钥匙去开任意一把锁共有8种可能的结果，一次打开锁的结果有2种，且所有结果的可能性相等．
∴P（一次打开锁）＝21 84 =．
【点睛】
如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率
()m
P A
n
=．
20．(1)见解析；(2)2.
【解析】
【分析】
（1）作AC的垂直平分线与BC相交于P；（2）根据勾股定理求解. 【详解】
(1)如图所示，点P即为所求．
(2)设BP＝x，则CP＝1﹣x，
由(1)中作图知AP＝CP＝1﹣x，
在Rt△ABP中，由AB2+BP2＝AP2可得42+x2＝(1﹣x)2，
解得：x＝2，
所以BP＝2．
【点睛】
考核知识点：勾股定理和线段垂直平分线.
21．（1）①y=400x﹣1．（5＜x≤10）；②9元或10元；（2）能，11元.
【解析】
【分析】
(1)、根据利润=(售价－进价)×数量－固定支出列出函数表达式；(2)、根据题意得出不等式，从而得出答案；
(2)、根据题意得出函数关系式，然后将y=1560代入函数解析式，从而求出x的值得出答案．
【详解】
解：（1）①y=400（x﹣5）﹣2．（5＜x≤10），
②依题意得：400（x﹣5）﹣2≥800，解得：x≥8.5，
∵5＜x≤10，且每份套餐的售价x（元）取整数，∴每份套餐的售价应不低于9元．
（2）依题意可知：每份套餐售价提高到10元以上时，
y=（x﹣5）[400﹣40（x﹣10）]﹣2，
当y=1560时，（x﹣5）[400﹣40（x﹣10）]﹣2=1560，
解得：x1=11，x2=14，为了保证净收入又能吸引顾客，应取x1=11，即x2=14不符合题意．
故该套餐售价应定为11元．
【点睛】
本题主要考查的是一次函数和二次函数的实际应用问题，属于中等难度的题型．理解题意，列出关系式是解决这个问题的关键．
22．1．
【解析】
【分析】
先根据分式的运算法则进行化简,再代入求值.
【详解】
解：原式=（）×=×=；
将x=1代入原式==1．
【点睛】
分式的化简求值
23．(1) 2﹣
3
3
;(2)见解析
【解析】
分析：（1）先求得：∠CAE=45°-15°=30°，根据直角三角形30°角的性质可得AC=2CE=2，再得
∠ECD=90°-60°=30°，设ED=x，则CD=2x3x=1，求得x的值，可得BD的长；（2）如图2，连接CM，先证明△ACE≌△BCF，则∠BFC=∠AEC=90°，证明C、M、B、F四点共圆，则∠BCM=∠MFB=45°，由等腰三角形三线合一的性质可得AM=BM．
详解：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CAB=45°，
∵∠BAD=15°，
∴∠CAE=45°﹣15°=30°，
Rt△ACE中，CE=1，
∴AC=2CE=2，
Rt△CED中，∠ECD=90°﹣60°=30°，
∴CD=2ED，
设ED=x，则CD=2x，
∴3，
3，
x=
3
∴CD=2x=
3
3
，
∴BD=BC﹣CD=AC﹣CD=2﹣23
3
；
（2）如图2，连接CM，
∵∠ACB=∠ECF=90°，
∴∠ACE=∠BCF，
∵AC=BC，CE=CF，
∴△ACE≌△BCF，
∴∠BFC=∠AEC=90°，
∵∠CFE=45°，
∴∠MFB=45°，
∵∠CFM=∠CBA=45°，
∴C、M、B、F四点共圆，
∴∠BCM=∠MFB=45°，
∴∠ACM=∠BCM=45°，
∵AC=BC，
∴AM=BM．
点睛：本题考查了三角形全等的性质和判定、等腰直角三角形的性质和判定、等腰三角形三线合一的性质、直角三角形30°角的性质和勾股定理，第二问有难度，构建辅助线，证明△ACE≌△BCF是关键．
24．（4）y＝﹣x4﹣4x+3；（4）1
3
；（3）点P的坐标是（4，0）
【解析】
【分析】
(4) 先求得抛物线的对称轴方程, 然后再求得点C的坐标,设抛物线的解析式为y＝a（x+4）4+4,将点(-3, 0) 代入求得a的值即可;
(4) 先求得A、B、C的坐标, 然后依据两点间的距离公式可得到BC、AB,AC的长,然后依据勾股定理的逆定理可证明∠ABC=90°,最后,依据锐角三角函数的定义求解即可;
(3) 连接BC,可证得△AOB是等腰直角三角形，△ACB∽△BPO，可得AB OB
BC OP
代入个数据可得OP的
值，可得P点坐标. 【详解】
解：（4）由题意得，抛物线y＝ax4+4ax+c的对称轴是直线
2a
x=-=-1
2a
，
∵a＜0，抛物线开口向下，又与x轴有交点，∴抛物线的顶点C在x轴的上方，
由于抛物线顶点C到x轴的距离为4，因此顶点C的坐标是（﹣4，4）．可设此抛物线的表达式是y＝a（x+4）4+4，
由于此抛物线与x轴的交点A的坐标是（﹣3，0），可得a＝﹣4．
因此，抛物线的表达式是y＝﹣x4﹣4x+3．
（4）如图4，
点B的坐标是（0，3）．连接BC．
∵AB4＝34+34＝48，BC4＝44+44＝4，AC4＝44+44＝40，
得AB4+BC4＝AC4．
∴△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°，
所以tan∠CAB=
1
3 BC
AB
．
即∠CAB的正切值等于1
3
．
（3）如图4，连接BC，
∵OA＝OB＝3，∠AOB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAP＝∠ABO＝45°，
∵∠CAO＝∠ABP，
∴∠CAB＝∠OBP，
∵∠ABC＝∠BOP＝90°，∴△ACB∽△BPO，
∴AB OB BC OP
=，
∴323
2OP
=，OP＝4，
∴点P的坐标是（4，0）．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图像与性质，综合性大. 25．（1）3
a=，k=2；（2）b=2或1．
【解析】
【分析】
（1）依据直线y=x与双曲线
k
y
x
=（k≠0）相交于点()
3
A a
，，即可得到a、k的值；
（2）分两种情况：当直线x=b在点A的左侧时，由3
x
-x=2，可得x=1，即b=1；当直线x=b在点A的
右侧时，由x
3
x
-=2，可得x=2，即b=2．
【详解】
（1）∵直线y=x与双曲线
k
y
x
=（k≠0）相交于点()
3
A a
，，∴3
a=，∴()
33
A，，∴3
3
=，
解得：k=2；（2）如图所示：
当直线x=b在点A的左侧时，由3
x
-x=2，可得：x=1，x=﹣2（舍去），即b=1；
当直线x=b在点A的右侧时，由x
3
x
-=2，可得x=2，x=﹣1（舍去），即b=2；
综上所述：b=2或1．
【点睛】
本题考查了利用待定系数法求函数解析式以及函数的图象与解析式的关系，解题时注意：点在图象上，就一定满足函数的解析式．
26．见解析
【解析】
【分析】
由∠1=∠2，可得∠BED=∠AEC，根据利用ASA可判定△BED≌△AEC，然后根据全等三角形的性质即可得证.
【详解】
解：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠AED=∠2+∠AED，
即∠BED=∠AEC，
在△BED和△AEC中，
，
∴△BED≌△AEC（ASA），
∴ED=EC．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．
27．（1）作图见解析；（2）作图见解析；5π（平方单位）．
【解析】
【分析】
（1）连接AO、BO、CO并延长到2AO、2BO、2CO长度找到各点的对应点，顺次连接即可．
（2）△A′B′C′的A′、C′绕点B′顺时针旋转90°得到对应点，顺次连接即可．A′B′在旋转过程中扫过的图形面积是一个扇形，根据扇形的面积公式计算即可．
【详解】
解：（1）见图中△A′B′C′
（2）见图中△A″B′C″ 扇形的面积()22901242053604S πππ=
+=⋅=（平方单位）． 【点睛】
本题主要考查了位似图形及旋转变换作图的方法及扇形的面积公式．。