九数下(北师大版)-精品教学课件-第三章小结与复习

优翼 课件
第三章 圆
学练优九年级数学下（BS） 教学课件
小结与复习
要点梳理
考点讲练
课堂小结
课后作业
要点梳理
一、圆的基本概念及性质 1.定义:平面上到定点的距离等于定长的所有点组 成的图形叫做圆. 2.有关概念: (1)弦、直径(圆中最长的弦)
(2)弧、优弧、劣弧、等弧
．
(3)弦心距
O
3.不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
解：将线段FC平移到直线AE上，此时点F与点E重合， 点C到达点C'的位置.连接AC，如图所示. 根据平移的方法可知，四边形EFCC'是矩形. ∴ AC'=AE+EC'=AE+FC=16，CC'=EF=8. 在Rt△AC'C中，得
AC= AC'2 +CC'2 = 162 +82 =8 5
∴正方形ABCD外接圆的半径为 4 5
二、点与圆的位置关系
r
●C
●
O
●B d ●A
点与圆的 位置关系 点在圆外 点在圆上 点在圆内
点到圆心的距离d与圆的半 径r之间的关系
d﹥r d=r d﹤r
三、圆的对称性 1.圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是
它的对称轴.圆有无数条对称轴. 2.圆是中心对称图形,并且绕圆心旋转任何一
个角度都能与自身重合,即圆具有旋转不变性.
例2 在图中，BC是☉O的直径，AD⊥BC,若∠D=36°, 则∠BAD的度数是（ B ） A. 72° B.54° C. 45° D.36 °
A
B
C
D
例3 ☉O的半径为R，圆心到点A的距离为d，且R、d 分别是方程x2－6x＋8＝0的两根，则点A与☉O的位 置关系是（ D ） A．点A在☉O内部 B．点A在☉O上 C．点A在☉O外部 D．点A不在☉O上
2
∵∠P＋∠AOB＝180°，∠P＝70°， ∴∠DOE＝55°.
(2)若PA＝4 cm，求△PDE的周长．
(2)∵⊙O分别切PA、PB、DE于A、B、C， ∴AD＝CD，BE＝CE. ∴△PDE的周长＝PD＋PE＋DE ＝PD＋AD＋BE＋PE＝2PA＝8(cm)
考点四 弧长与扇形面积
例9 如图，四边形OABC为菱形，点B、C在以点O为圆 心的圆上, OA=1,∠AOC=120°，∠1=∠2，求扇形 OEF的面积？
l d
●r
直线与 圆心与直线
圆的位 的距离d与
置关系 圆的半径r
的关系
相离
d﹥r
相切
d=r
相交
d﹤r
直线与 直线名称 圆的交
点个数
—
0
切线
1
割线
2
七、切线的判定与性质 1.切线的判定一般有三种方法： a.定义法：和圆有唯一的一个公共点 b.距离法： d=r c.判定定理：过半径的外端且垂直于半径
2.切线的性质 圆的切线垂直于过切点的半径.
∴∠C=∠OBD，∴∠BDO=∠CDE. ∵AB是直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠BDC=90°， 即∠BDE+∠CDE=90°. ∴∠BDE+∠BDO=90°，即∠ODE=90°. ∴ED与☉O相切.
例6 （多解题）如图，直线AB,CD相交于点O，
∠AOD=30 °,半径为1cm的☉P的圆心在射线OA上，且
B D
AB=8mm.
（
针对训练 3.如图a，点C是扇形OAB上的AB的任意一点，OA=2, 连接AC,BC,过点O作OE ⊥AC,OF ⊥BC，垂足分别为 E,F，连接EF，则EF的长度等于 2 .
AE C
F
O 图a
B
4.如图b,AB是⊙O的直径，且AB=2，C,D是同一半圆
（ （
上的两点，并且AC与BD的度数分别是96 °和36 °，
与点O的距离为6cm,如果☉P以1cm/s的速度沿由A向B的
方向移动，那么 4或8 秒钟后☉P与直线CD相切.
C
AP
P1 E
P2 B
D 解析： 根本题应分为两种情况：(1)☉P在直线CD下面与
直线CD相切；(2)☉P在直线CD上面与直线CD相切.
例7 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为 直径的☉O交AC于点D，过点D的切线交BC于E. （1）求证：BC=2DE.
7. 已知：如图，PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，
过 AB 上的一点C作⊙O的切线，交PA于D，交PB于E. (1)若∠P＝70°，求∠DOE的度数；
解：(1)连接OA、OB、OC， ∵⊙O分别切PA、PB、DE于点A、B、C， ∴OA⊥PA，OB⊥PB，OC⊥DE,AD＝CD,BE＝CE， ∴OD平分∠AOC，OE平分∠BOC. ∴∠DOE＝ 1 ∠AOB.
三角形的内心到三角形的三边的距
A
离相等.
D
F
重要结论
I
r 2S ； abc
┐
E
C
九、圆内接正多边形
概念
A
A
F
半径R
圆心角
B
O圆心
类比学习
问题1
B 中心角
中心
O半径R
E
弦心距r 圆内接正多边形
边心距r
弦a
C MD
CM D
外接圆的圆心 外接圆的半径
每一条边所 对的圆心角
弦心距
正多边形的中心 正多边形的半径 正多边形的中心角
其中l为正n边形的周长.
十、弧长及扇形的面积
（1）弧长公式：
l n R
180
（2）扇形面积公式： S n R2 1 lR 360 2
A
O
S
l
B
考点一 圆的有关概念及性质
例1 如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠CAO 等于（ B ） A．30° B．40° C．50° D．60°
∵
AD = DB , AB BC
即
3= 4 , 5 BC
∴BC=
20 . 3
（2）取BC的中点E，连接ED，试证明ED与☉O相切.
（2）证明：连接OD，在Rt△BDC中， ∵E是BC的中点，∴CE=DE，∴∠C=∠CDE. 又OD=OB，∴∠ODB=∠OBD. 又∵∠OBD+∠DBC=90°，∠C+∠DBC=90°，
[解析] 连接BD，则在Rt△BCD 中，BE＝DE，利用角的互余 证明∠C＝∠EDC.
解：（1）证明：连接BD， ∵AB为直径，∠ABC=90°， ∴BE切☉O于点B. 又∵DE切☉O于点D，∴DE=BE， ∴∠EBD=∠EDB. ∵∠ADB=90°， ∴∠EBD+∠C=90°， ∠BDE+∠CDE=90°. ∴∠C=∠CDE，DE=CE. ∴BC=BE+CE=2DE.
解析：此题需先计算出一元二次方程x2－6x＋8＝0的 两个根，然后再根据R与d的之间的关系判断出点A 与 ☉O的关系.
针对训练
1.如图所示，在圆O中弦AB∥CD，若∠ABC=50°， 则∠BOD等于（ C ） A．50° B．40° C．100° D．80°
2.如图a，四边形ABCD为☉O的内接正方形，点P为 劣弧BC上的任意一点（不与B,C重合），则∠BPC的 度数是 135° .
∴AD=
10 3
.
例8 如图，已知灯塔A的周围7海里的范围内有暗礁，
一艘渔轮在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向，向东
航行8海里到达C处后，又测得该灯塔在北偏东30°的
方向，如果渔轮不改变航向，继续向东航行，有没有
触礁的危险？请通过计算说明理由.
（参考数据 3 =1.732）
北
60°
B

30°
C
解析：灯塔A的周围7海里都是暗礁，即表示以A为圆 心，7海里为半径的圆中，都是暗礁.渔轮是否会触礁， 关键是看渔轮与圆心A之间的距离d的大小关系.
正多边形的边心距
计算公式
1.正n边形的中心角= 360
n
2.正多边形的内角= (n 2) 180
n
F
E
a
3.正n边形的边长a，半径R，边心距r
A
O
D
之间的关系： R2 r2 (a )2.
2
R r
BP C
4.边长a，边心距r的正n边形面积的计算：
S 1 nar 1 lr. 22
解：∵四边形OABC为菱形 ∴OC=OA=1 ∵ ∠AOC=120°，∠1=∠2 ∴ ∠FOE=120° 又∵点C在以点O为圆心的圆上

S扇形OEF
=
120 12
360


3
针对训练
8. 一条弧所对的圆心角为135 ° ，弧长等于半径为5cm 的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为40cm.
9. 如图所示，在正方形ABCD内有一条折线段，其中 AE⊥EF，EF⊥FC，已知AE=6，EF=8，FC=10，求 图中阴影部分的面积.
北
60°
B
A
30°
C
解：如图，作AD垂直于BC于D，
根据题意，得BC=8.设AD为x.
∵∠ABC=30°，∴AB=2x. 北
BD= 3 x. ∵∠ACD=90°-30°=60°，
60°
B
∴ AD=CD×tan60°，
CD= 3 x .
3
BC=BD-CD= 2 3 x =8.
3
解得 x= 4 3 41.732 6.928＜7.
即渔船继续往东行驶，有触礁的危险.
A
30°
D C
针对训练
5.如图b，线段AB是直径，点D是☉O上一点， ∠CDB=20 °,过点C作☉O的切线交AB的延长线于点 E,则∠E等于 50° .
C
AO
BE
D 图b
6.如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O交边AC于
点D，且过点D的切线DE平分边BC.问：BC与⊙O是
（2）若tanC= 5 ,DE=2，求AD的长.
2
（2）∵DE=2，∴BC=2DE=4.
在Rt△ABC中，tan C AB ,
BC
∴AB=BC•
5 2
=2
5
在Rt△ABC中，
AC AB2 BC2 (2 5)2 42 6.
又∵△ABD∽△ACB，
∴
AD AB
=
AB AC
,
即
AD = 2 5 , 25 6
动点P是AB上的任意一点，则PC+PD的最小值
是
3
.
C
D
A
PO P B
D’
图b
考点三 切线的判定与性质
例5 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直 径的☉O交AC于点D，连接BD.
（1）若AD=3，BD=4，求边BC的长.
解：（1）∵AB是直径，∴∠ADB=90°. ∵AD=3，BD=4，∴AB=5. ∵∠CDB=∠ABC， ∠A=∠A， ∴△ADB∽△ABC，
∴正方形ABCD的边长为 AB= AC 4 10 2
S阴影=（ 4 5）2 （4 10）2 =80 160
考点五 圆内接正多边形的有关计算
例10 若一个正六边形的周长为24，则该正六边形 的面积为_2_4__3__.
3.切线长及切线长定理 切线长：
从圆外一点引圆的切线，这个点与切点间的线 段的长称为切线长.
切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长
相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.
八、三角形的内切圆及内心
1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心. 3.三角形的内心就是三角形的三条角平分线的交点.
否相切？
解：BC与⊙O相切．理由：连接OD，BD， ∵DE切⊙O于D，AB为直径， ∴∠EDO＝∠ADB＝90°. 又DE平分CB，∴DE＝ 1 BC＝BE. ∴∠EDB＝∠EBD. 2 又∠ODB＝∠OBD，∠ODB＋∠EDB＝90°， ∴∠OBD＋∠DBE＝90°，即∠ABC＝90°. ∴BC与⊙O相切．
．
3.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等．
4.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、 两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余 各组量都分别相等．
四、垂径定理及推论
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所 对的两条弧.
C
A
B
M└
●O
若 ① CD是直径 ② CD⊥AB
D
可推得
③AM=BM, ④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
垂径定理的逆定理
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦
C
所对的两条弧.
A ┗●M B
●O
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
D
可推得
②④CA⌒CD=⊥B⌒ACB, , ⑤A⌒D=B⌒D.
五、圆周角和圆心角的关系
定义:顶点在圆周上，两边和圆相交的角，叫做 圆周角. 圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的 圆心角的一半.
A O
B
C
1
∠BAC= ∠BOC
2
推论：同弧或等弧所对的圆周角相等.
D
E
C
O A
B
∵∠ADB与∠AEB 、∠ACB 是 同弧所对的圆周角 ∴∠ADB=∠AEB =∠ACB
推论：直径所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是圆的直径.
推论：圆的内接四边形的对角互补.
C
A
O
B
六、直线和圆的位置关系
A
D
O
B
C
图Pa
考点二 垂径定理
例4 工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设 钢珠的直径是10mm,测得钢珠顶端离零件表面的距离为 8mm,如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为 8 mm.
C
解析 设圆心为O，连接AO,作出过
点O的弓形高CD，垂足为D,可知
O
8mm
AO=5mm,OD=3mm,利用勾股定理 A 进行计算，AD=4mm，所以