高考数学一轮总复习名师精讲 第15讲等比数列课件

2．若{an}是等比数列，则通项 an＝a1qn
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－1
或 an＝amqn
－m
，当 n－m
n－m a n 为大于 1 的奇数时，q 用 an、am 表示为 q＝ ；当 n－ m 为正偶 am
n－m a n 数时，q＝± . am
an＝a1q
n－1
a1 a1 可变形为 an＝Aq ， 其中 A＝ ； 点(n， an)是曲线 y＝ q q
• 2．(2010·辽宁 )设Sn 为等比数列 {an}的前n项和 ，已知 3S3 ＝ a4 － 2,3S2 ＝ a3 － 2 ，则公比 q ＝ ( ) • A．3 B．4 ① D．6 • C ．5 3S3＝ a4－ 2
解析：
3S2＝ a3－ 2
②
，①－②得：3a3＝a4－a3,4a3＝ a4，q
奇 偶 奇 偶 偶 奇 ＋
qmSn.(用 Sm 与 Sn 表达)，或 Sm＋n＝Sn＋qnSm.
• 考点陪练 • 1.(2010·江西)等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2， a5>a2，则an＝ • ( ) • A．(－2)n－1 B．－(－2)n－1 • C．(－2)n D．－(－2)n • 解析：记数列{an}的公比为q，由a5＝－8a2，得a1q4＝ －8a1q，即q＝－2.由|a1|＝1，得a1＝±1，当a1＝－1 时，a5＝－16<a2＝2，与题意不符，舍去；当a1＝1时 ，a5＝16>a2＝－2，符合题意，故an＝a1qn－1＝(－2)n －1 . • 答案：A
解析：(a1a 2a3)×(a7a8a 9)＝a56＝50，a4a5a6＝a53＝5 2，选 A.
• 答案：A
• 5．(2010·安徽)设{an}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项 和与前 3n 项和分别为 X ， Y ， Z ，则下列等式中恒成立的是 ( ) • A．X＋Z＝2Y • B．Y(Y－X)＝Z(Z－X) • C．Y2＝XZ • D．Y(Y－X)＝X(Z－X) • 解析：根据等比数列的性质：若 {an}是等比数列，则Sn，S2n－ Sn，S3n－S2n也成等比数列，即X，Y－X，Z－Y成等比数列， 故(Y－X)2＝X(Z－Y)，整理得Y(Y－X)＝X(Z－X)，故选D. • 答案：D
其中 ac＞0.
na ，q＝1. 1 3．等比数列{an}中，Sn＝a11－qn a1－anq ＝ ，q≠1. 1－q 1－q 求和公式的推导方法是乘公比，错位相减法．求和公式变形为 Sn＝Bqn－B(q≠1)，其中 B＝ a1 且 q≠ 0，q≠ 1. q －1
2
a 已知三数成等比，设三数为 a，aq，aq 或设为 ，a，aq，四个 q a a 数成等比，可设为 3， ，aq，aq3，其中公比为 q2. q q
n
qx 上一群彼此孤立的点．
a1＞0， 单调性： q＞1， a1＜0， 或 q＞1， a1＜0 或 0＜q＜ 1 a1＞0， ⇔{an}是递增数列； 0＜q＜ 1，
⇔{an}是递减数列；q＝1⇔{an}是常数列；q＜ 0⇔{ an}为
摆动数列． 等比中项：若 a，b，c 成等比数列，则称 b 为 a，c 的等比中项， 且 b2＝ac 或 b＝± ac .因此， a， b， c 是等比数列⇔ b2＝ac 或 b＝± ac ，
a1 n a1 4．前 n 项和公式法：Sn＝ q－ ＝ kqn－ k q－ 1 q－ 1 a1 ( k＝ 是常数， k≠0 且 q≠0， q≠1)⇔{an}是等比数列． q－ 1
• 【典例1】 已知数列{an}的前n项和为Sn，又有 数列{bn}，它们满足关系b1＝a1，对于n∈N*有 an＋Sn＝n，bn＋1＝an＋1－an，求证{bn}是等比 数列，并求其通项公式．
类型一
等比数列的判断与证明
解题准备：等比数列的判定方法主要有： an＋ 1 1．定义法： ＝ q(q 是不为 0 的常数，n∈ N*)⇔{an}是等比数 an 列； a1 2．通项公式法：an＝ cq (c，q 均是不为 0 的常数，c＝ ，n∈ N*) q
n
⇔{an}是等比数列； 3．中项公式法：an＋ 12＝ an· an＋ 2(an· an＋ 1· an＋ 2 不为零，n∈ N*)⇔{an} 是等比数列；
• 4 ．若 m ＋ n ＝ p ＋ q ＝ 2t(m ， n ， p ， t∈N*) ，则 am·an ＝ ap·aq ＝ at2 ； a1·an ＝ a2·an － 1 ＝ … ＝ am·an＋1－m＝…. • {an} 成等比，则 {λan} ， {|an|} 仍是等比数列，公 比分别是q和|q|；按原来的顺序抽出间隔相同的 项组成的新数列仍是等比数列；若{an}成等比， 各项为正数，则 若项数为 2n－1(n∈N *){log ，P 表示奇数项的积， P 表示偶数项的 aan} 成等差数列，公差是 logaP q. P * 积，则 ＝an；若项数为偶数 2n(n∈N )，则 ＝qn. P • {an}P 成等比，则 Sm ， S2m － Sm ， S3m － S2m 也成 若 Sn 是以 q 为公比的等比数列的前 n 项和，则有 Sm n＝Sm＋ 等比数列，公比为 qm.
a4 ＝ ＝4. a3
• 答案：B
• 3．(2010·重庆)在等比数列 {an}中，a2010＝8a2007，则 公比q的值为 • ( ) • A．2 B．3 • C．4 D．8
a2010 解析：依题意得 ＝q3＝8，q＝2，选 A. a2007
• 答案：A
4．(2010· 全国Ⅰ)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a 3＝ 5，a7a 8a9＝10，则 a4a5a 6＝( A．5 2 C．6 B．7 D．4 2 )
第十五讲
等比数列
回归课本 1.如果一个数列从第二项起， 每一项与它的前一项的比等于同一个 常数，这个数列叫等比数列，这个常数叫等比数列的公比．即
a n ＋1 a1， n＝ 1， * ∈N ，且 n≥ 2)或 ＝q(n∈N )或 an＝ an an－1q，n≥2.
*
an ＝q(n an－1