2022-2023学年江苏省盐城市大丰区高一上学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年江苏省盐城市大丰区高一上学期期中数学试题
一、单选题
1．下列关系中，正确的是（）
A ．3∈N
B ．1
4
∈Z
C ．{}
00∈D ．12
∉Q
【答案】C
【分析】根据元素与集合的关系求解.
【详解】根据常见的数集，元素与集合的关系可知，3∈N ，14∈Z ，1
2
∉Q 不正确，
故选：C
2．已知集合{}1,0,1,2A =-，{|12}B x x =-<<，则A B = （）
A ．{}0,1
B ．{}
1,1-C ．{}
1,0,1-D ．{}
0,1,2【答案】A
【分析】根据交集含义即可得到答案.【详解】根据交集含义得{}0,1A B = ，故选：A.
3．设R x ∈，则“0x >”是“3x >”的（）条件
A ．充分不必要
B ．必要不充分
C ．充要
D ．既不充分也不必要
【答案】B
【分析】根据充分条件、必要条件的定义即得.【详解】由3x >可得0x >，而由0x >推不出3x >，故“0x >”是“3x >”必要不充分条件.故选：B.
4．已知a ＞0，b ＞0，且a +2b ＝ab ，则ab 的最小值是（）
A ．4
B ．8
C ．16
D ．32
【答案】B
【分析】利用基本不等式可得答案.
【详解】∵已知a ＞0，b ＞0，且a +2b ＝ab ，∴ab ≥22a b ⋅，化简可得
ab ≥22，
∴ab ≥8，当且仅当a ＝2b 时等号成立，故ab 的最小值是8，故选：B ．
5．命题p ：“()2,3x ∀∈，30x a -<”，若命题p 是真命题，则a 的取值范围为（）
A ．9a >
B ．9
a ≥C ．6
a >D ．6
a ≥【答案】B
【分析】由题可得()2,3x ∀∈，3a x >，进而即得.【详解】由题可知()2,3x ∀∈，30x a -<，所以()2,3x ∀∈，3a x >，又()36,9x ∈，所以9a ≥.故选：B.
6．已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{}1<<2x x ，求关于x 的不等式20bx ax c ++<的解集（
）
A ．2<<25x x ⎧⎫⎨⎬
⎩⎭
B ．2
<,>13x x x -⎧⎫⎨⎬
⎩⎭或C ．2
<<13x x -⎧⎫⎨⎬
⎩⎭
D ．2
<,>25x x x ⎧⎫⎨⎬
⎩⎭
或【答案】C
【分析】由已知一元二次不等式解集可得=3=2<0b a
c a a -⎧⎪
⎨⎪⎩
，代入目标不等式求解集即可.
【详解】由题设=3
=2<0
b a c
a a -⎧⎪⎪
⎪⎨⎪⎪⎪⎩
，则=3=2<0
b a
c a a -⎧⎪⎨⎪⎩，
所以223++2=(32)<0ax ax a a x x ----，即232=(3+2)(1)<0x x x x ---，所以213x -
<<，解集为2
{|<<1}3
x x -.故选：C
7．设lg 6a =，lg 20b =，则2log 3=A ．
11
a b b +-+B ．
11
a b b +--C ．
11
a b b -++D ．
11
a b b -+-【答案】D
【解析】先根据已知求出lg21lg31b a b =-=-+，，再求的值.
【详解】23
12a lg lg b lg =+⎧⎨=+⎩
，2131lg b lg a b =-⎧∴⎨=-+⎩，则2lg31log 3lg21a b b -+==-.故选D
【点睛】本题主要考查对数的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8．已知函数y ＝f （x ）是定义域为R 的偶函数，且f （x ）在[0，+∞）上单调递增，则不等式f （2x ﹣1）＞f （x ﹣2）的解集为（）
A ．
（﹣1，1）B ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C ．（1，+∞）D ．
（0，1）【答案】B
【解析】根据偶函数性质分析可得f （2x ﹣1）＞f （x ﹣2）⇒f （|2x ﹣1|）＞f （|x ﹣2|）⇒|2x ﹣1|＞|x ﹣2|，变形解可得不等式的解集，即可得答案．
【详解】根据题意，函数y ＝f （x ）是定义域为R 的偶函数，且f （x ）在[0，+∞）上单调递增，则f （2x ﹣1）＞f （x ﹣2）⇒f （|2x ﹣1|）＞f （|x ﹣2|）⇒|2x ﹣1|＞|x ﹣2|，变形可得()()2
2
212x x ->-即x 2＞1，解可得：x ＜﹣1或x ＞1，
即不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）故选：B ．
【点睛】本题考查函数不等式的求解，涉及函数的单调性与奇偶性，在函数为偶函数时，可充分利用偶函数的性质()(||)f x f x =，将问题转化为函数在[0,)+∞上的单调性进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
二、多选题
9．对任意实数,,a b c ，下列命题中真命题是（）
A ．“=a b ”是“=ac bc ”的充要条件
B ．“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件
C ．“a b >”是“22a b >”的充分条件
D ．“5a <”是“3a <”的必要条件【答案】BD
【分析】通过反例可知AC 错误；根据充要条件和必要条件的定义可知BD 正确.【详解】对于A ，当0c =时，=ac bc ，此时可以a b ≠，必要性不成立，A 错误；
对于B ，当5a +为无理数时，根据5为有理数，可知a 为无理数，充分性成立；当a 为无理数时，根据5为有理数可得5a +为无理数，必要性成立；
∴“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件，B 正确；
对于C ，当0b a <<时，22a b <，充分性不成立，C 错误；对于D ，35a a <⇒<，必要性成立，D 正确.故选：BD.
10．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a ，b ，R c ∈，则下列命题正确的是（
）
A ．若0a b >>，则11
a b
<B ．若,,a b R ∈，则2232
3a b ab
+≥C ．若0a b >>，0c >，则0ac bc ->D ．若a b <，则a b <【答案】ABC
【分析】根据不等式的性质，或者做差法，即可判断选项.【详解】对于A ，因为0a b >>，所以110b a a b ab
--=<，故A 正确；对于B ，(
)
2
2232330a b ab a b +-=
-≥，故B 正确；
对于C ，若0a b >>，0c >，则ac bc >，即0ac bc ->，故C 正确；对于D ，当2a =-，1b =时，满足a b <，但a b >，故D 不正确．故选：ABC ．
11．关于函数()24
11
x x f x x -=--的性质描述，正确的是（
）
A ．()f x 的定义域为[)(]1,00,1-
B ．()f x 的值域为()1,1-
C ．()f x 在定义域上是增函数
D ．()f x 的图象关于原点对称
【答案】ABD
【解析】由被开方式非负和分母不为0，解不等式可得()f x 的定义域，可判断A ；化简()f x ，讨论
01x <≤，10x -≤<，分别求得()f x 的范围，求并集可得()f x 的值域，可判断B ；由()()110f f -==，
可判断C ；由奇偶性的定义可判断()f x 为奇函数，可判断D ；
【详解】对于A ，由24
110x x x ⎧-≥⎪⎨--≠⎪⎩
，解得11x -≤≤且0x ≠，
可得函数()24
11
x x f x x -=--的定义域为[)(]1,00,1- ，故A 正确；
对于B ，由A 可得()24
x x f x x -=
-，即()21x x f x x
-=-，当01x <≤可得()(]211,0f x x =--∈-，
当10x -≤<可得()[)210,1f x x =-∈，可得函数的值域为()1,1-，故B 正确；对于C ，由()()110f f -==，则()f x 在定义域上是增函数，故C
错误；
对于D ，由()2
1x x f x x
-=
-的定义域为[)(]1,00,1- ，关于原点对称，
()()2
1x x f x f x x
--=
=-，则()f x 为奇函数，故D 正确；
故选：ABD
【点睛】本题考查了求函数的定义域、值域、奇偶性、单调性，属于中档题.
12．对于实数x ，符号[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[]π3=，[ 1.08]2-=-，定义函数()[]f x x x =-，则下列命题中正确的是（
）
A ．()1()3.9 4.f f -=
B ．函数()f x 的最大值为1
C ．函数()f x 的最小值为0
D ．方程()1
02
f x -=有无数个根【答案】ACD
【分析】对A 选项直接计算进行判断，B 、C 、D 选项根据函数定义，研究函数()f x 的性质，逐项分析即可．
【详解】因为()[]f x x x =-，
所以( 3.9)( 3.9)[ 3.9] 3.9(4)0.1f -=---=---=，
()[]4.1 4.1 4.1 4.140.1f =-=-=，A 正确；
由定义可得[]1x x x -<≤，所以[]01x x ≤-<，
所以()f x 无最大值，但有最小值且最小值为0，B 错，C 正确；方程()102f x -=可化为[]12x x -=，所以()1
Z 2
x k k =+
∈，D 正确，故选：ACD.
三、填空题
13．已知幂函数()f x 的图象过点18,2⎛⎫
⎪⎝⎭
，则
127f ⎛⎫= ⎪⎝⎭
【答案】3
【分析】先求得幂函数()f x 的解析式，再去求函数值712f ⎛⎫
⎪⎝⎭
即可.
【详解】设幂函数()n f x x =，则182n
=，则13n =-，
则()13
f x x -=，则()
113
33
113
3
2727f ---⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
故答案为：3
14．已知11232f x x ⎛⎫
-=+ ⎪⎝⎭，若()4f t =，则t =
．
【答案】3
4
-/0.75-.
【分析】先利用换元法求出函数解析式，再由()4f t =解方程可求出t 的值.
【详解】令1
12
x m -=，则22x m =+，
所以()2(22)347f m m m =++=+，因为()4f t =，
所以474t +=，解得3
4
t =-，
故答案为：34
-
15．已知正数x ，y ，z 满足320x y z +-=，则2z
xy
的最小值为
.
【答案】24
【分析】22291249412z x xy y x y xy xy y x
++==++，由基本不等式即可求得最小值.【详解】因为320x y z +-=，所以32z x y =+，
所以2222(32)9124z x y x xy y xy xy xy +++==94941221224x y x y y x y x
=
++≥⋅+=，当且仅当
94x y
y x
=时，等号成立.故答案为：24
16．已知定义在R 上的奇函数()y f x =在区间(,0]-∞上单调递减，若()2
2(22)(0)f m m f m f ++-≥，
则实数m 的取值范围为.
【答案】[]1
2,2
-.
【分析】由题意，得到()00f =，且在区间(,0]-∞上单调递减，在区间(0,)+∞为单调递减函数，把()22(22)(0)f m m f m f ++-≥，转化为()22(22)f m m f m +≥-，结合单调性，即可求解.
【详解】因为函数()y f x =是R 上的奇函数，所以()00f =，
又由()y f x =在区间(,0]-∞上单调递减，所以()y f x =在区间(0,)+∞也是单调递减函数，
又因为不等式()22(22)(0)f m m f m f ++-≥，即()2
2(22)0f m m f m ++-≥，即()2
2(22)(22)f m m f m f m +≥--=-，
可得2222m m m +≤-，即22320m m +-≤，解得122
m -≤≤
，即实数m 的取值范围为[]1
2,2
-.
四、解答题
17．（1）已知,a b 是方程2640x x -+=的两个根，且0a b >>，求
a b a b
-+的值．
（2）已知1
1
223a a -+=，求下列各式的值：①1a a -+；②22a a -+．
【答案】（1）
5
5
；（2）①17a a -+=；②2247a a -+=．【分析】（1）先得到两根之和，两根之积，再求解a b a b
-+的平方，进而求出
a b a b
-+的值；（2）
利用平方法进行求解.
【详解】（1）因为,a b 是方程2640x x -+=的两个根，所以64a b ab +=⎧⎨=⎩，
所以2
262421
1052624a b a b ab a b a b ab ⎛⎫ ⎪ -+--==⎪⎝==++++⎭
．因为0a b >>，所以a b >．
所以
1555a b a b
-==+．
（2）①将1
1
223a a -+=两边平方，得129a a -++=．即17a a -+=．
②将17a a -+=两边平方，得22249a a -++=，即2247a a -+=．
18．已知集合()()2
{|2310},{|10}.
P x x x Q x x a x a =-+≤=---≤（1）若1a =，求P Q ；
（2）若x P ∈是x ∈Q 的充分条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}1；（2）10,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
.
【解析】（1）由集合描述可得1
{|
1}2
P x x =≤≤，{|12}Q x x =≤≤，根据集合交运算即可求P Q ；（2）由x P ∈是x ∈Q 的充分条件知P Q ⊆列不等式组即可求a 的范围.
【详解】（1）2
1
{|2310}{|
1}2
P x x x x x =-+≤=≤≤，当1a =时，()(){|120}{|12}Q x x x x x =--≤=≤≤，则{}1P Q ⋂=；（2）∵1a a ≤+，
∴()(){|10}{|1}
Q x x a x a x a x a =---≤=≤≤+x P ∈ 是x ∈Q 的充分条件，
P Q ∴⊆，
1211a a ⎧≤⎪∴⎨⎪≤+⎩
，解得102a ≤≤，
即实数a 的取值范围是10,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
.
【点睛】本题考查了集合的关系以及基本运算，首先根据集合描述写出集合，利用交运算求交集，再由充分条件得到包含关系，列不等式组求参数范围.19．求下列函数的解析式.
(1)已知二次函数()f x 满足2(1)(1)22f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式；
(2)已知函数()f x 满足1
()2()21f x f x x
-=-，0x ≠，求()f x 的解析式.
【答案】(1)2()1f x x x =--(2)24
()1(0)33f x x x x
=-
-+≠【分析】（1）设2()(0)f x ax bx c a =++≠，代入2(1)(1)22f x f x x x ++-=-，让两边系数相等即可；（2）把x 用
1
x
替代，两个式子联立，消去1f x ⎛⎫
⎪⎝⎭
，即得解.【详解】（1）设2()(0)f x ax bx c a =++≠，
222(1)(1)(1)(1)22a x b x c a x b x c x x +++++-+-+=-，
22222222ax bx a c x x +++=-，
∴22ax bx a c x x +++=-，
故=1=-1+=0a b a c ⎧⎪
⎨⎪⎩
，解得1,1,1a b c ==-=-，2()1f x x x ∴=--，
（2）在1()221f x f x x ⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭
①中
把x 用1x 替代，得122()1f f x x x ⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭
②，
由①②联立消去1f x ⎛⎫
⎪⎝⎭
得24()133f x x x =--
+，
24
()1,(0)33f x x x x
∴=--+≠.
20．已知：集合{}36A x x =<≤，{}21B x m x m =≤≤+(1)若2m =，求A B ⋂，A B ⋃；
(2)若x A ∈是x B ∈的充分条件，求实数m 的取值范围；(3)若A B ⋂=∅，求实数m 的取值范围．
【答案】(1){}35A B x x ⋂=<≤，{}26A B x x ⋃=≤≤；(2)5,32⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
；(3)(](),16,-∞+∞ .
【分析】（1）根据交集和并集定义可直接得到结果；
（2）根据充分条件定义可知A B ⊆，由此可构造不等式组求得结果；（3）分别在B =∅和B ≠∅的情况下，根据A B ⋂=∅构造不等式组求得结果.【详解】（1）当2m =时，{}25B x x =≤≤，{}35A B x x ∴⋂=<≤，{}26A B x x ⋃=≤≤.
（2）x A ∈ 是x B ∈的充分条件，
A B ∴⊆，则212163
m m
m m +≥⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
，解得：532≤≤m ，
即实数m 的取值范围为5,32⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
.
（3）当B =∅时，21m m +<，解得：1m <-，满足A B ⋂=∅；
当B ≠∅时，若A B ⋂=∅，则216m m m ≤+⎧⎨>⎩或21
213m m m ≤+⎧⎨+≤⎩
，解得：6m >或11m -≤≤；
综上所述：实数m 的取值范围为(](),16,-∞+∞ .21．（1）已知x ，y 为正数，且14
12x y
+=+，求+x y 的最小值；（2）已知3
02
x <<
，求(32)x x -的最大值．【答案】（1）7；（2）
98
【分析】（1）先根据142(2)(
)2x y x y x y
++=++++，利用基本不等式求2x y ++的最小值，即可得+x y
（2）由1(32)2(32)2
x x x x -=⨯-根据基本不等式即可得最大值.【详解】（1）22
x y x y +=++-142(2)(
)2x y x y x y ++=++++4(2)4(2)1425922x y x y y x y x
++=+++≥⋅+=++当且仅当4(2)2x y y x
+=+，即1,6x y ==时取等号.所以2x y ++的最小值为9，
所以+x y 的最小值为7.
（2）因为302
x <<，所以320x ->，21139(32)2(32)2248
x x x x -=⨯-≤⨯=，当且仅当232x x =-，即34
x =时取等号.所以(32)x x -的最大值为98
.22．已知函数()223f x x bx =-+，R b ∈.
(1)若函数()f x 的图象经过点()4,3，求实数b 的值；
(2)在（1）条件下，求不等式()0f x <的解集；
(3)当[]1,2x ∈-时，函数()y f x =的最小值为1，求当[]1,2x ∈-时，函数()y f x =的最大值.
【答案】(1)2b =；(2){}13x x <<；
(3)当1b ≤-时，()f x 的最大值为13，当12b -<<时，()f x 最大值为422+．
【分析】（1）由题可得()43f =，进而即得；
（2）利用二次不等式的解法即得；
（3）对()f x 的对称轴与区间[]1,2-的关系进行分情况讨论，判断()f x 的单调性，利用单调性解出b ，再求出最大值．
【详解】（1）由题可得()244833f b =-+=，
（2）由()2430f x x x =-+<，
解得13x <<，
所以不等式()0f x <的解集为{}13x x <<；
（3）因为2()23f x x bx =-+是开口向上，对称轴为x b =的二次函数，①若1b ≤-，则()f x 在[]1,2-上是增函数，
∴min ()(1)421f x f b =-=+=，解得32
b =-，∴max ()(2)7413f x f b ==-=；
②若2b ≥，则()f x 在[]1,2-上是减函数，
∴min ()(2)741f x f b ==-=，解得32
b =（舍）；③若12b -<<，则()f x 在[]1,b -上是减函数，在(],2b 上是增函数；
∴2min ()()31f x f b b ==-=，解得2b =或2b =-（舍）．∴max ()(1)42422f x f b =-=+=+；
综上，当1b ≤-时，()f x 的最大值为13，当12b -<<时，()f x 最大值为422+．。