2018高考数学异构异模复习第三章导数及其应用3.2.2函数的极值与最值撬题理

2018高考数学异构异模复习考案 第三章 导数及其应用 3.2.2 函数的极值与
最值撬题 理
1.设函数f (x )＝3sin
πx m
.若存在f (x )的极值点x 0满足x 20＋[f (x 0)]2<m 2
，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－6)∪(6，＋∞) B．(－∞，－4)∪(4，＋∞) C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 答案 C
解析∵x 0是f (x )的极值点，∴f ′(x 0)＝0，即πm ·3·cos πx0m ＝0，得πm x 0＝k π＋π
2，k ∈Z ，即x 0
＝mk ＋1
2
m ，k ∈Z .
∴x 20＋[f (x 0)]2
<m 2
可转化为⎝ ⎛⎭⎪⎫mk ＋12m 2＋⎣
⎢⎡⎦⎥⎤3sin πm ⎝ ⎛⎭⎪⎫mk ＋12m 2<m 2，k ∈Z ， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋122m 2＋3<m 2
，k ∈Z ，即⎝ ⎛⎭
⎪⎫k ＋122<1－3m2，k ∈Z .要使原问题成立，只需存在k ∈Z ，使1－3m2>⎝ ⎛⎭⎪
⎫k ＋122
成立即可．又⎝ ⎛⎭
⎪⎫k ＋122
的最小值为14，∴1－3m2>14，解得m <－2或m >2.故选C.
2．已知函数f (x )＝x 3
＋bx 2
＋cx ＋d (b ，c ，d 为常数)，当x ∈(0,1)时，f (x )取得极大值，当x ∈(1,2)
时，f (x )取得极小值，则⎝ ⎛⎭
⎪⎫b ＋122＋(c －3)2
的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫
372，5B ．(5，5) C.⎝
⎛⎭
⎪⎫374，25D ．(5,25)
答案 D
解析 因为f ′(x )＝3x 2
＋2bx ＋c ，f ′(x )的两个根分别在(0,1)和(1,2)内，所以f ′(0)>0，f ′(1)<0，f ′(2)>0，即⎩⎪⎨⎪
⎧
c>0，3＋2b ＋c<0，
12＋4b ＋c>0，
作出可行域如图中阴影部分所示(不包括b 轴)，⎝ ⎛⎭
⎪⎫b ＋122＋(c －3)2
表示
可行域内一点到点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3的距离的平方，由图象可知，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3到直线3＋2b ＋c ＝0的距离最小，即⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋122＋(c －3)2的最小值为⎝ ⎛⎭
⎪⎫|3－1＋3|52＝5，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3到点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，6的距离最大，此时⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋122＋(c －
3)2
＝25，因为可行域的临界线为虚线，所以所求范围为(5,25)，故选D.
3．若函数f (x )＝x 3
－3x 在(a,6－a 2
)上有最小值，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－5，1)
B ．[－5，1)
C ．[－2,1)
D ．(－2,1)
答案 C
解析 令f ′(x )＝3x 2
－3＝0，得x ＝±1，且x ＝－1为函数f (x )的极大值点，x ＝1为函数f (x )的极小值点．函数f (x )在区间(a,6－a 2
)上有最小值，则函数f (x )的极小值点必在区间(a,6－a 2
)内，且左端点的函数值不小于f (1)，即实数a 满足a <1<6－a 2
且f (a )＝a 3
－3a ≥f (1)＝－2，解得－5<a <1，且a ≥－2.
故实数a 的取值范围是[－2，1)．
4．设函数f (x )＝(x －1)k
cos x (k ∈N *
)，则( ) A ．当k ＝2013时，f (x )在x ＝1处取得极小值
B ．当k ＝2013时，f (x )在x ＝1处取得极大值
C ．当k ＝2014时，f (x )在x ＝1处取得极小值
D ．当k ＝2014时，f (x )在x ＝1处取得极大值
答案 C
解析 当k ＝2013时，f (x )＝(x －1)2013
cos x ，则f ′(x )＝2013(x －1)
2012
cos x －(x －1)
2013
sin x ＝(x －
1)
2012
·[2013cos x －(x －1)sin x ]，当π4<x <1时，f ′(x )>0；当1<x <π
3
时，f ′(x )>0，此时函数x ＝1不是
函数f (x )的极值点，A 、B 选项均错误．当k ＝2014时，f (x )＝(x －1)2014
·cos x ，则f ′(x )＝2014(x －1)
2013
cos x
－(x －1)
2014
sin x ＝(x －1)
2013
[2014cos x －(x －1)sin x ]，当π4<x <1时，f ′(x )<0；当1<x <π
3
时，f ′(x )>0，
此时函数f (x )在x ＝1处取得极小值，故选C.
5．已知点M 在曲线y ＝3ln x －x 2
上，点N 在直线x －y ＋2＝0上，则|MN |的最小值为________．
答案 22
解析 本题考查导数的几何意义、点到直线的距离．
当点M 处的曲线的切线与直线x －y ＋2＝0平行时|MN |取得最小值．令y ′＝－2x ＋3
x ＝1，解得x ＝1，
所以点M 的坐标为(1，－1)，所以点M 到直线x －y ＋2＝0的距离为|1＋2＋1|
2
＝22，即|MN |的最小值为
2 2.
6．函数f (x )＝x 3
－3x 2
＋6在x ＝________时取得极小值．
答案 2
解析 依题意得f ′(x )＝3x (x －2)．当x <0或x >2时，f ′(x )>0；当0<x <2时，f ′(x )<0.因此，函数
f (x )在x ＝2时取得极小值．
7．设函数f (x )＝ln (x ＋1)＋a (x 2
－x )，其中a ∈R .
(1)讨论函数f (x )极值点的个数，并说明理由； (2)若∀x >0，f (x )≥0成立，求a 的取值范围．。