【压轴题】高三数学上期末试题(带答案)

【压轴题】高三数学上期末试题(带答案)
一、选择题
1．等差数列{}n a 中，已知70a >，390a a +<，则{}n a 的前n 项和n S 的最小值为（ ） A ．4S
B ．5S
C ．6S
D ．7S
2．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2，n S ，3n a 成等差数列，则5S 的值是（ ） A ．243-
B ．242-
C ．162-
D ．243
3．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，6
B π
=，4
C π
=
，
则ABC ∆的面积为（ ） A
．2+B
1
C
．2
D
1
4．设,x y 满足约束条件300
2x y x y x -+≥⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
, 则3z x y =+的最小值是 A ．5-
B ．4
C ．3-
D ．11
5．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36=2S =18S ，，则10
5
S S 等于( )
A ．－3
B ．5
C ．33
D ．－31
6．已知实数x 、y 满足约束条件00134x y x y
a a
⎧
⎪≥⎪≥⎨⎪⎪+≤⎩，若目标函数23
1x y z x ++=+的最小值为
3
2
，则正实数a 的值为（ ） A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
7．已知点(),P x y 是平面区域()
4
{04y x y x m y ≤-≤≥-内的动点, 点()1,1,A O -为坐标原点, 设
()OP OA R λλ-∈u u u r u u u r
的最小值为M ,
若M ≤恒成立, 则实数m 的取值范围是（ ）
A ．11,35
⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
B ．11,,35
⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝
⎦⎣⎭
C ．1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
D ．1,2⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭
8．设数列{}n a 是以2为首项，1为公差的等差数列，{}n b 是以1为首项，2为公比的等
比数列，则1210b b b a a a ++⋯+=（ ） A ．1033
B ．1034
C ．2057
D ．2058
9．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（ ）
A ．2a b =
B ．2b a =
C ．2A B =
D ．2B A =
10．已知数列{a n }满足331log 1log ()n n a a n N +
++=∈且2469a a a ++=，则
15793
log ()a a a ++的值是( )
A ．－5
B ．－
15
C ．5
D ．
15
11．在R 上定义运算
：A
()1B A B =-，若不等式()
x a -()1x a +<对任意的
实数x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．11a -<<
B ．02a <<
C ．1322
a -
<< D ．31
22
a -
<< 12．若变量x ，y 满足约束条件1358x y x x y ≥-⎧⎪
≥⎨⎪+≤⎩
，
，
，则2
y
z x =
-的取值范围是（ ） A ．113⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
，
B ．11115⎡⎤
--⎢⎥⎣⎦
，
C ．111153⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦， D ．3153
⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，
二、填空题
13．已知数列{}n a 的前n 项和为21n
n S =-，则此数列的通项公式为___________．
14．设函数2
()1f x x =-，对任意2,3
x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣
⎭
，2
4()(1)4()x f m f x f x f m m ⎛⎫-≤-+
⎪⎝⎭
恒成立，则实数m 的取值范围是 .
15．已知数列{}n a 满足：11a =，{}112,,,n n n a a a a a +-∈⋅⋅⋅()
*
n ∈N ，记数列{}n a 的前n
项和为n S ，若对所有满足条件的{}n a ，10S 的最大值为M 、最小值为m ，则
M m +=______.
16．如图，在ABC V 中，,43
C BC π
=
=时，点D 在边AC 上， AD DB =，
DE AB ⊥，E 为垂足若22DE =cos A =__________
17．若正项数列{}n a 满足11n n a a +-<,则称数列{}n a 为D 型数列,以下4个正项数列{}n a 满足的递推关系分别为:①22
1
1n n
a
a +-= ②111
1n n
a a +-= ③12
1n n n a a a +=+ ④2
121n n a a +-=，则D 型数列{}n a 的序号为_______.
18．设等比数列{}n a 满足a 1 + a 2 = –1, a 1 – a 3 = –3，则a 4 = ___________． 19．设(
)
3
2()lg 1f x x x x =++
+，则对任意实数,a b ，“0a b +≥”是
“()()0f a f b +≥”的_________条件．（填“充分不必要”.“必要不充分”.“充要”.“既不充分又不必要”之一）
20．若log 41,a b =-则+a b 的最小值为_________.
三、解答题
21．已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，等差数列{}n b 的公差为2d ，设n A ，n B 分别是数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，且13b =，23A =，53A B =. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设1
1n n n n c b a a +=+
•，数列{}n c 的前n 项和为n S ，证明：2
(1)n S n <+.
22．如图，在四边形ABCD 中，7,2,AC CD AD ==2.3
ADC π∠=
（1）求CAD ∠的正弦值；
（2）若2BAC CAD ∠=∠，且△ABC 的面积是△ACD 面积的4倍，求AB 的长. 23．设数列{}n a 的前n 项和n S 满足：2(1)n n S na n n =--，等比数列{}n b 的前n 项和为
n T ，公比为1a ，且5352T T b =+．
（1）求数列{}n a 的通项公式;
（2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和为n M ，求证：11
54n
M ≤<． 24．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC V 的外接圆半径为
R
，且sin sin cos 0A B b A --=.
（1）求A ∠；
（2）若tan 2tan A B =，求
sin 2sin 2sin b C
a b B c C
+-的值.
25．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的首项为1
2
，且()3122123a a a -=+。

（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若8n b n =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，试比较
12111
n T T T ++⋅⋅⋅+与12
n S 的大小. 26．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()sin 2sin 0b A a A C -+=． （1）求角A ；
（2）若3a =，ABC △
11b c +的值．
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一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】
先通过数列性质判断60a <，再通过数列的正负判断n S 的最小值. 【详解】
∵等差数列{}n a 中，390a a +<，∴39620a a a +=<，即60a <.又70a >，∴{}n a 的前n 项和n S 的最小值为6S . 故答案选C 【点睛】
本题考查了数列和的最小值，将n S 的最小值转化为{}n a 的正负关系是解题的关键.
2．B
解析：B
【解析】 【分析】 【详解】
因为2,,3n n S a 成等差数列，所以223n n S a =+，当1n =时，111223,2S a a =+∴=-；当2n ≥时，1113333112222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+
--=-
，即113
22
n n a a -=，即()1
32n
n a n a -=≥，∴数列{}n a 是首项12a =-，公比3q =的等比数列，()()55151213242113
a q S q
---∴==
=---，故选B.
3．B
解析：B 【解析】
试题分析：根据正弦定理，
，解得
，
，并且
，所以
考点：1．正弦定理；2．面积公式．
4．C
解析：C 【解析】
画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．
由3z x y =+可得3y x z =-+．平移直线3y x z =-+，结合图形可得，当直线
3y x z =-+经过可行域内的点A 时，直线在y 轴上的截距最小，此时z 也取得最小值．
由300x y x y -+=⎧⎨+=⎩，解得32
3
2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，故点A 的坐标为33(,)22-．
∴min 33
3()322
z =⨯-+
=-．选C ． 5．C
解析：C 【解析】 【分析】
由等比数列的求和公式结合条件求出公比，再利用等比数列求和公式可求出10
5
S S . 【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q （公比显然不为1），则
()(
)
6
163
6333111119111a q S q q q S q
a q q
---===+=---，得2q =， 因此，()(
)
10
11055
10555111111233111a q S q q q S q a q
q
---===+=+=---，故选C. 【点睛】
本题考查等比数列基本量计算，利用等比数列求和公式求出其公比，是解本题的关键，一般在求解等比数列问题时，有如下两种方法：
（1）基本量法：利用首项和公比列方程组解出这两个基本量，然后利用等比数列的通项公式或求和公式来进行计算；
（2）性质法：利用等比数列下标有关的性质进行转化，能起到简化计算的作用．
6．D
解析：D 【解析】 【分析】
作出不等式组所表示的可行域，根据目标函数的几何意义，利用直线斜率的几何意义以及数形结合进行求解即可. 【详解】 目标函数()121231
12111
x y x y y z x x x ++++++===+⨯
+++， 设1
1
y k x +=
+，则k 的几何意义是区域内的点与定点(1,1)D --连线的斜率， 若目标函数231x y z x ++=
+的最小值为32，即12z k =+的最小值是3
2
，
由
3 1
2
2
k
+=，得1
4
k=，即k的最小值是
1
4
，
作出不等式组对应的平面区域如图：
由斜率的意义知过D的直线经过()
3,0
B a时，直线的斜率k最小，此时
011
314
k
a
+
==
+
，得314
a+=，得1
a=.
故选：D.
【点睛】
本题考查利用线性规划中非线性目标函数的最值求参数，解题时要结合非线性目标函数的几何意义寻找最优解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
7．C
解析：C
【解析】
试题分析：直线()4
x m y
=-恒过定点(0,4)，当0
m>时，约束条件
()
4
{0
4
y
x y
x m y
≤
-≤
≥-
对应的可行域如图，则()
OP OA R
λλ
-∈
u u u r u u u r
的最小值为0
M=，满足2
M≤，当0
m=时，直线()4
x m y
=-与y轴重合，平面区域
()
4
{0
4
y
x y
x m y
≤
-≤
≥-
为图中y轴右侧的阴影区域，则()
OP OA R
λλ
-∈
u u u r u u u r
的最小值为0
M=，满足2
M≤，当0
m<时，由约束条件()
4
{0
4
y
x y
x m y
≤
-≤
≥-
表示的可行域如图，点P与点B重合时，()
OP OA R
λλ
-∈
u u u r u u u r
的最小值为M OB
=
u u u r
，联立{
(4)
y x
x m y
=
=-
，解得
44
(,)
11
m m
B
m m
--
，所以
4
2
1
m
OB
m
=
-
u u u r
，由
42
21m m ≤-，解得1135m -≤≤，所以1
03
m -≤≤，综上所述，实数m 的取值范围是1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
，故选C.
考点：简单的线性规划.
【方法点晴】本题主要考查了二元一次不等式组所表示的平面区域、简单的线性规划求最值问题，着重考查了数形结合思想方法及分类讨论的数学思想方法的应用，关键是正确的理解题意，作出二元一次不等式组所表示的平面区域，转化为利用线性规划求解目标函数的最值，试题有一定的难度，属于难题.
8．A
解析：A 【解析】 【分析】 【详解】
首先根据数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，求出等差数列和等比数列的通项公式，然后根据a b1+a b2+…+a b10=1+2+23+25+…+29+10进行求和． 解：∵数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列， ∴a n =2+（n-1）×
1=n+1， ∵{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列， ∴b n =1×
2n-1， 依题意有：a b1+a b2+…+a b10=1+2+22+23+25+…+29+10=1033， 故选A ．
9．A
解析：A 【解析】
sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+
所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A.
【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有A ，B ，C 的式子，用正弦定理将角转化为边，得到
2a b =.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视.
10．A
解析：A 【解析】
试题分析：331313log 1log log log 1n n n n a a a a +++=∴-=Q 即13
log 1n n a a +=13n n
a
a +∴= ∴数列{}n a 是公比为3的等比数列335579246()393a a a q a a a ∴++=++=⨯=
15793
log ()5a a a ∴++=-．
考点：1．等比数列的定义及基本量的计算；2．对数的运算性质．
11．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据新运算的定义, ()x a -()x a +22x x a a =-++-,即求221x x a a -++-<恒成
立,整理后利用判别式求出a 范围即可
【详解】
Q A
()1B A B =-
∴()x a -()x a +()()()()22
=11x a x a x a x a x x a a --+=--+-=-++-⎡⎤⎣⎦
Q ()
x a -()1x a +<对于任意的实数x ∈R 恒成立,
221x x a a ∴-++-<,即2210x x a a -++--<恒成立,
()()2214110a a ∴∆=-⨯-⨯--<,
13
22
a ∴-<<
故选：C 【点睛】
本题考查新定义运算,考查一元二次不等式中的恒成立问题, 当x ∈R 时,利用判别式是解题关键
12．A
解析：A 【解析】 【分析】
画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合2
y
z x =-的几何意义求出其范围，即可得到答案. 【详解】
由题意，画出满足条件的平面区域，如图所示：
由358y x x y =⎧⎨+=⎩，解得11A (，)，由1
x y x
=-⎧⎨
=⎩，解得(11)B --，， 而2
y
z x =
-的几何意义表示过平面区域内的点与0(2)C ，
的直线斜率， 结合图象，可得1AC k =-，13
BC k =， 所以2y z x =
-的取值范围为113⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
，， 故选：A.
【点睛】
本题主要考查了简单的线性规划问题，其中解答中作出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定出目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及计算能力，属于基础题.
二、填空题
13．【解析】【分析】由数列的前项和为得时得出;验证时是否满足即可【详解】当时当时又所以故答案为:【点睛】本题考查了由数列的前项和公式推导通项公式的计算问题;解题时需验证时是否满足是基础题
解析：1
2
n n a -=
【解析】 【分析】
由数列{}n a 的前n 项和为23n n S =-，得2n >时1
123n n S --=-,，得出1n n n a S S -=-;
验证1n =时11a S =是否满足n a 即可. 【详解】
当1n =时,11211a S ==-=, 当2n ≥时,(
)1
11212
12n
n n n n n a S S ---=-=---=,
又1121-=,所以1
2n n a -=. 故答案为:1
2n n a -=.
【点睛】
本题考查了由数列{}n a 的前n 项和公式n S 推导通项公式n a 的计算问题;解题时，需验证
1n =时11a S =是否满足n a ，是基础题.
14．【解析】【分析】【详解】根据题意由于函数对任意恒成立分离参数的思想可知递增最小值为即可知满足即可成立故答案为
解析：33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭
【解析】 【分析】 【详解】
根据题意，由于函数2
()1f x x =-，对任意2,3
x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭
，
24()(1)4()x f m f x f x f m m ⎛⎫
-≤-+ ⎪⎝⎭
恒成立，22222()4(1)(1)11x
m x x m m
--≤--+-，分离参数的思想可知，
,
递增，最小值为
53
，
即可知满足33
,⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭
即可成
立故答案为33
,22⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭
．
15．1078【解析】【分析】根据数列的递推关系求出数列的前四项的最大最小值得出何时和最大何时和最小进而求得结论【详解】解：因为数列{an}满足：即解得；或或；或所以最小为4最大为8；所以数列的最大值为时
解析：1078 【解析】 【分析】
根据数列的递推关系，求出数列的前四项的最大，最小值，得出何时和最大，何时和最小，进而求得结论． 【详解】
解：因为数列{a n }满足：11a =，{}112,,,n n n a a a a a +-∈⋅⋅⋅()
*
n ∈N ，
{}211a a a ∴-∈即211a a a -=解得22a =； {}3212,a a a a ∴-∈
321a a ∴-=或322a a -= 33a ∴=或34a =；
{}43123,,a a a a a ∴-∈
431a a ∴-=或432a a -=，433a a -=，434a a -=
所以4a 最小为4，4a 最大为8；
所以，数列10S 的最大值为M 时，是首项为1，公比为2的等比数列的前10项和：
()
10112102312
M ⨯-=
=-；
10S 取最小值m 时，是首项为1，公差为1的等差数列的前10项和：
()
101011011552
m ⨯-=⨯+⨯=；
∴1078M m +=． 故答案为：1078． 【点睛】
本题考查了数列的递推关系式，等比数列以及等差数列的通项公式与前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．本题的关键在于观察出数列的规律．
16．【解析】在△ABC 中
∵DE⊥ABDE=∴AD=∴BD=AD=∵AD=BD∴A=∠ABD∴∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A 在△BCD 中由正弦定理得即整理得cosA=
解析：
4
【解析】
在△ABC 中，∵DE ⊥AB ，DE =，∴AD =sin A
,
∴BD =AD ． ∵AD =BD ，∴A =∠ABD ， ∴∠BDC =∠A +∠ABD =2∠A ， 在△BCD 中，由正弦定理得
sin sin BD BC
C BDC
=
∠ ，
4
sin2
2
A
=，整理得cosA
17．①②③④【解析】【分析】根据D型数列的定义逐个判断正项数列是否满足即可【详解】对①因为且正项数列故故所以成立对②故成立对③成立对④故成立综上①②③④均正确故答案为：①②③④【点睛】本题主要考查了新定
解析：①②③④
【解析】
【分析】
根据D型数列的定义,逐个判断正项数列{}n a是否满足11
n n
a a
+
-<即可.
【详解】
对①,因为22
1
1
n n
a a
+
-=,且正项数列{}n a.
故()2
222
1
1211
n n n n n
a a a a a
+
=+<++=+,故11
n n
a a
+
<+.所以
1
1
n n
a a
+
-<成立.
对②, 1
11
1111
1
1
1n
n
n n n n n
a
a
a a a a a
+
++
-=?=
Þ
+
+,
故
22
1
111
1
n n n n n
n n n
n n n
a a a a a
a a a
a a a
+
-
-=-
--
++
==<<
+
成立.
对③,
11
222
1
101
111
n n
n n n n n
n n n
a a
a a a a a
a a a
++
⎛⎫
=⇒-=-=-<<
⎪
+++
⎝⎭
成立
对④, ()2
222
11
2121211
n n n n n n n
a a a a a a a
++
-=⇒=+<++=+.
故11
n n
a a
+
<+,
1
1
n n
a a
+
-<成立.
综上,①②③④均正确.
故答案为：①②③④
【点睛】
本题主要考查了新定义的问题,需要根据递推公式证明11
n n
a a
+
-<.属于中等题型. 18．-8【解析】设等比数列的公比为很明显结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：由可得：代入①可得由等比数列的通项公式可得【名师点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题解决这类问题的关键在于
解析：-8
【解析】
设等比数列{}n a的公比为q，很明显1
q≠-，结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：
()()
1212
1311113a a a q a a a q ⎧+=+=-⎪⎨-=-=-⎪⎩，①
，②
，由②①可得：2q =-，代入①可得11a =， 由等比数列的通项公式可得3
418a a q ==-.
【名师点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程.
19．充要【解析】所以为奇函数又为单调递增函数所以即是的充要条件点睛：充分必要条件的三种判断方法1定义法：直接判断若则若则的真假并注意和图示相结合例如⇒为真则是的充分条件2等价法：利用⇒与非⇒非⇒与非⇒非
解析：充要 【解析】
33()()lg(()lg(lg10f x f x x x x x +-=++-+-== ，所以()f x 为
奇函数，又()f x 为单调递增函数，所以
0()()()()()()0a b a b f a f b f a f b f a f b +≥⇔≥-⇔≥-⇔≥-⇔+≥ ，即
“0a b +≥”是“()()0f a f b +≥”的充要条件
点睛：充分、必要条件的三种判断方法．
1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．
2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．
20．1【解析】试题分析：由得所以（当且仅当即时等号成立）所以答案应填1考点：1对数的运算性质；2基本不等式
解析：1 【解析】
试题分析：由log 41,a b =-得1
04a b
=>，
所以114a b b b +=
+≥=（当且仅当14b b =即12b =时，等号成立） 所以答案应填1.
考点：1、对数的运算性质；2、基本不等式.
三、解答题
21．（1）n a n =，21n b n =+；（2）见解析 【解析】
【分析】
（1）由等差数列的通项公式及求和公式列1a d ，的方程组求解则n a n =可求，进而得
21n b n =+（2）利用()11
1212111n c n n n n n n ⎛⎫=++
=++- ⎪⋅++⎝⎭
分组求和即可证明
【详解】
（1）因为数列{}n a ，{}n b 是等差数列，且23A =，53A B =，所以1123
51096a d a d d +=⎧⎨
+=+⎩. 整理得1123549a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得11
1a d =⎧⎨=⎩
，
所以()11?n a a n d n =+-=，即n a n =，
()11221n b b n d n =+-⋅=+，即21n b n =+.
综上，n a n =，21n b n =+. （2）由（1）得()11
1212111n c n n n n n n ⎛⎫=++
=++- ⎪⋅++⎝⎭，
所以()11111352112231n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋯+++-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
， 即()()22
2
11211111
n S n n n n n n =++-=+-<+++. 【点睛】
本题考查等差数列的通项公式及求和公式，裂项相消求和，考查推理计算能力，是中档题 22．（1
）7
（2
【解析】 【分析】
（1）ACD ∆中，设(0)AD x x =>，利用余弦定理得到1x =，再利用正弦定理得到答案. （2）利用面积关系得到sin 4sin .AB BAC AD CAD ⋅∠=⋅∠化简得到
cos 2.AB CAD AD ⋅∠=根据（1
）中sin 7
CAD ∠=
解得答案. 【详解】
（1）在ACD ∆中，设(0)AD x x =>， 由余弦定理得2
2
27=422cos 3
x x x x +-⨯⋅π 整理得277x =，解得1x =. 所以1, 2.AD CD ==
由正弦定理得2sin sin 3
DC AC
DAC =∠π
，解得sin 7DAC ∠= （2）由已知得4ABC ACD S S ∆∆=， 所以
11
sin 4sin 22
AB AC BAC AD AC CAD ⋅⋅∠=⨯⋅⋅∠， 化简得sin 4sin .AB BAC AD CAD ⋅∠=⋅∠
所以2sin cos 4sin ,AB CAD CAD AD CAD ⋅∠⋅∠=⋅∠ 于是cos 2.AB CAD AD ⋅∠=
因为sin CAD ∠=，且CAD ∠
为锐角，所以cos CAD ∠==.
代入计算21AB =⨯
因此AB = 【点睛】
本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生利用正余弦定理解决问题的能力.
23．(1) 43n a n =-;(2)证明见解析. 【解析】 【分析】 【详解】
（1）∵2(1)n n S na n n =--①， ∴11(1)2(1)n n S n a n n ++=+-+②， ②-①，11(1)4n n n a n a na n ++=+--，
∴14n n a a +-=，又∵等比数列{}n b ，5352T T b =+， ∴535452T T b b b -=⇐=，1q =，
∴11a =，∴数列{}n a 是1为首项，4为公差的等差数列， ∴14(1)43n a n n =+-=-；
（2）由（1）可得
111111
()(43)(41)44341
n n a a n n n n +==--+-+， ∴11111111(1)(1)45594341441n M n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=--++，∴111(1)454
n M -≤<， 即
1154
n M ≤<． 考点：1．等差等比数列的运算；2．列项相消法求数列的和．
24．（1）6π；（2
）10
-
. 【解析】 【分析】
（1）由正弦定理化简已知三角等式，根据sin 0B ≠
可得tan A =，即可求出角A ； （2）由（1
）可得tan 6
B =，利用2sin 1A =及正弦定理将分式化简，再利用余弦定理化简分式得()1
tan 2
A B -+，最后利用正切和角公式代入tan A ，tan B ，可求出结果. 【详解】
（1
）∵sin sin cos 0A B b A -=，
由正弦定理得：sin sin 2sin cos 0A B R B A -=，
即)
sin cos 0B
A A -=，
∵()0,B π∈，∴sin 0B ≠，
cos A A =
，tan A =， ∵()0,A π∈，∴6
A π
∠=
.
（2）由（1
）知：tan A =
，tan B =，1sin 2A =，
∴2sin 1A =， ∴
sin 2sin sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin b C Ab C
a b B c C Aa b B c C =+-+-
222
sin ab C
a b c =
+-
由余弦定理得：
()sin sin 11
tan tan 2sin 2sin 2cos 22
b C C C A B a b B
c C C ===-++-
1tan tan 21tan tan 10A B A B +=-⨯=-
-. 【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系等基础知识，考查学生数形结合、转化与化归以及运算求解能力，解决此类问题的关键是灵活运用正、余弦定理进行边角的互化，属于中等题.
25．（1）12
n n a =；（2）
1211112n n S T T T ++⋅⋅⋅+<
【解析】 【分析】
(1)根据数列{}n a 的首项为
1
2
,且()3122123a a a -=+,可得关于1a 和公比q 的不等式组,解出1a 和q 可得数列{}n a 的通项公式;
(2)根据条件分别利用等比数列和等差数列的前n 项和公式,求出{}n a 的前n 项和为n S ,{}n b 的前n 项和n T ,再用列项相消法求出12111n T T T ++⋅⋅⋅+,然后比较12111
n T T T ++⋅⋅⋅+与12
n S 的大小即可. 【详解】
解:(1)由题意,设1
1(0)n n a a q q -=>,则()
12111122123a a q a a q ⎧=⎪⎨
⎪-=+⎩
, 解得1
2
q =
或2q =-(舍), ∴1
111222n n
n a -⎛⎫⎛⎫
=⨯= ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
,即12n n a =.
(2)由(1)知12n n a =,∴11122111212n
n n S ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==- ⎪⎝⎭-
. ∵8n b n =,∴2
44n T n n =+,
∴
2111114441n T n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭
, ∴121111111111111142231414
n T T T n n n ⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭, 又∵
11111111112112224242n n n n S --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,11
102
n --≥, 1124
n S ∴≥ ∴
1211112
n n S T T T ++⋅⋅⋅+<. 【点睛】
本题考查了数列通项公式的求法,等差数列的前n 项和公式,等比数列的前n 项和公式和裂项相消法求数列的前n 项和,考查了方程思想和计算能力,属中档题.
26．（1）3π；（2）2
【解析】 【分析】
（1）可通过化简()sin2sin 0b A a A C -+=计算出cos A 的值，然后解出A 的值。

（ 2）可通过计算b c +和bc 的值来计算11
b c
+的值。

【详解】
（1）由()bsin 2sin 0A a A C -+=得bsin 2sin sin A a B b A ==， 又0A π<<，所以sin 0A ≠，得2cos 1A =，所以A 3
π
=。

（2）由ABC n 的面积为
2及A 3π=得1bcsin 232
π=，即bc 6= ，
又3a =，从而由余弦定理得222cos 9b c bc A +-=，所以b c +=，
所以
112
b c b c bc ++==。

【点睛】
本题考察的是对解三角函数的综合运用，需要对相关的公式有着足够的了解。