高中数学 3.4.1函数与方程(二)配套课件 苏教版必修1

f(x)＝x3＋lnx＋12的零点时，第一次经计算
f(0)<0，f12>0，可得其中一个零点 x0∈__0_，__12___，第二次应计算 1
___f __4___．
解析 由于 f(0)<0，f 12>0，故 f(x)在0，12上存在零点，所 以 x0∈0，12， 第二次计算应计算 0 和12在数轴上对应的中点 x1＝0＋2 12＝14.
一系列闭区间，方程的一个解在这些区间中，区间长度越来越小，
端点逐步逼近方程的解，可以得到一个近似解．
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3.4.1（二）
例 1 利用计算器，求方程 x2－2x－1＝0 的一个正实数零点
的近似解(精确到 0.1)．
解 设 f(x)＝x2－2x－1，先画出函数图象的简
间(1,2)，利用二分法就可以求得它的近似解．
设 f(x)＝2x＋x－4，利用计算器计算得：
f(1)<0 ， f(2)>0 ⇒ x1∈(1,2) ， f(1)<0 ， f(1.5)>0 ⇒ x1∈(1,1.5) ， f(1.25)<0 ， f(1.5)>0 ⇒ x1∈(1.25,1.5) ， f(1.375)<0 ， f(1.5)>0 ⇒ x1∈(1.375,1.5)，f(1.437 5)>0，f(1.375)<0⇒x1∈(1.375,1.437 5)． 因为 1.375,1.437 5 精确到 0.1 的近似值都为 1.4，
解析 由于 f(2)f(3)＝5×(－3)＝－15<0，f(3)f(4)＝(－3)×10 ＝－30<0，f(4)f(5)＝－50<0，所以函数 f(x)存在零点的区间有 [2,3]，[3,4]，[4,5]．
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3.4.1（二）
实处 2．用二分法研究函数
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3.4.1（二）
跟踪训练 2 利用计算器，求方程 2x＋x＝4 的近似解(精确到 0.1)． 解 方程 2x＋x＝4 可以化为 2x＝4－x.分别画函 数 y＝2x 与 y＝4－x 的图象，由图象可以知道， 方程 2x＋x＝4 的解在区间(1,2)内，那么对于区
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研一研•问题探究、课堂(kètáng)更高 跟效踪训练 1 已知函数 f(x)＝x3＋x.
3.4.1（二）
(1)试求函数 y＝f(x)的零点；
(2)是否存在自然数 n，使 f(n)＝1 000？若存在，求出 n，若
不存在，请说明理由．
解 (1)函数 y＝f(x)的零点即方程 x3＋x＝0 的实数根，解方程 得 x＝0；
3.4.1（二）
答 取[－1,5]的中点 2，因为 f(5)<0，f(2)>0，即 f(2)·f(5)<0.
所以在区间[2,5]内有方程的解．
于是再取[2,5]的中点 3.5……这样继续下去，如果取到某个区间
的中点 x0，恰使 f(x0)＝0，则 x0 就是所求的一个解；如果区间的 中点的函数值总不等于零，那么，不断地重复上述操作，就得到
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3.4.1（二）
问题 2 这种猜测的思想是什么？ 答 上述游戏，每次都将所给区间一分为二，进行比较后得 到新的区间，再一分为二，如此下去，使得所猜数字逐步逼 近计算机所给的数字，这种思想就是二分法．
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3.4.1（二）
再取区间(1,1.5)的中点 x2＝1.25，用计算器算得 f(1.25)≈－0.87.因 为 f(1.25)·f(1.5)＜0，所以 x0∈(1.25，1.5)．同理可得 x0∈(1.375， 1.5)，x0∈(1.375,1.437 5)． 由于精确到 0.1,1.375 与 1.437 5 的近似值都为 1.4， 所以，原方程的近似解可取为 1.4.
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3.4.1（二）
问题 1 任给一个 1～100 的整数，你能在 7 次以内猜出吗？请说 出猜出的过程．
答 第一次猜 50，若“大了”，接着猜 1 与 50 中间的整数 25，若 “大了”，则继续猜 1 与 25 中间的整数 13，若“大了”，则继续 猜 1 与 13 中间的整数 7，若“小了”，则继续猜 7 与 13 中间的整 数 10，若“小了”，则继续猜 10 与 13 中间的整数 11 或 12，若 11 不对，则一定是 12，这样最多需要猜 7 次．
图．(如右图所示)
因为 f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0，
所以在区间(2,3)上，方程 x2－2x－1＝0 有正实
数根，又因为在区间(2,3)上函数 f(x)是单调递增的，所以方程
x2－2x－1＝0 在区间(2,3)上有唯一正实数根 x1.
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3.4.1（二）
因为 2.375 与 2.437 5 精确到 0.1 的近似值都为 2.4，
所以此方程的一个正实数零点的近似解为 2.4. 小结 用二分法求函数 f(x)的零点近似值的步骤如下： (1)确定区间[a，b]，验证 f(a)·f(b)<0；(2)求区间(a，b)的中点 x1；(3)计算 f(x1)：a.若 f(x1)＝0，则 x1 就是函数的零点；b.若 f(a)·f(x1)<0，则令 b＝x1(此时零点 x0∈(a，x1))；c.若 f(x1)·f(b)<0， 则令 a＝x1(此时零点 x0∈(x1，b))；(4)判断是否达到题目要求， 若是则得到零点值；否则重复步骤(2)～(4)．
所以此方程的近似解为 1.4.
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3.4.1（二）
1．已知函数 f(x)的图象是不间断的，x、f(x)的对应关系见下表， 则函数 f(x)存在零点的区间有__[_2_,3_]_，__[3_,_4_]，__[_4_,5_]___.
x 12 3 4 5 6 f(x) 6 5 －3 10 －5 －23
x
0 1 23 4 5 6 7 8 …
f(x)＝2x＋3x－7 －6 －2 3 10 21 40 75 142 273 …
观察表可知 f(1)·f(2)＜0，说明这个函数在区间(1,2)内有零点 x0. 取区间(1,2)的中点 x1＝1.5，用计算器算得 f(1.5)≈0.33.因为
f(1)·f(1.5)＜0，所以 x0∈(1,1.5)．
(2)计算得 f(9)＝738，f(10)＝1 010，由函数 f(x)＝x3＋x 在区间 (0，＋∞)上单调递增，可知不存在自然数 n，使 f(n)＝1 000 成立．
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研一研•问题探究、课堂(kètáng)更高 效 探究点二 二分法的应用
3.4.1（二）
例 2 利用计算器，求方程 lg x＝3－x 的近似解(精确到 0.1)． 解 分别画出函数 y＝lg x 和 y＝3－x 的图象如图，可知它们交点
的横坐标在区间(2,3)内．设 f(x)＝lg x＋x－3，利用计算器计算得
f(2)<0，f(3)>0⇒x1∈(2,3)， f(2.5)<0，f(3)>0⇒x1∈(2.5,3)， f(2.5)<0，f(2.75)>0⇒x1∈(2.5,2.75)， f(2.5)<0，f(2.625)>0⇒x1∈(2.5,2.625)， f(2.562 5)<0，f(2.625)>0⇒x1∈(2.562 5,2.625)．
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练一练•当堂检测、目标(mùbiāo)达成 落实处
3.4.1（二）
3．借助计算器或计算机用二分法求方程 2x＋3x＝7 的近似解(精确
到 0.1)． 解 原方程即 2x＋3x－7＝0，令 f(x)＝2x＋3x－7， 用计算器或计算机作出函数 f(x)＝2x＋3x－7 的对应值表
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填一填·知识(zhī shi)要点、记 下疑难点
3.4.1（二）
1．二分法：用二分法求方程 f(x)＝0 的近似解，实质上就是对于 在区间[a，b]上连续不断，且 f(a)f(b)<0 的函数 y＝f(x)，通过 不断地把方程 f(x)＝0 的解所在的区间______一__分__为__二__(y_ī_f_ē_n，wéi è 使区间的两端点逐步逼近____方__程__(_fā_n_g_c_h_é_n_g_)_的，进解而得到方程 的近似解．
3.4.1（二）
取 2 与 3 的平均数 2.5，因为 f(2.5)＝0.25>0， 所以 2<x1<2.5.
再取 2 与 2.5 的平均数 2.25，因为 f(2.25)＝－0.437 5<0，所以 2.25<x1<2.5.如此继续下去， 得 f(2)<0，f(3)>0⇒x1∈(2,3)， f(2)<0，f(2.5)>0⇒x1∈(2,2.5) f(2.25)<0，f(2.5)>0⇒x1∈(2.25,2.5) f(2.375)<0，f(2.5)>0⇒x1∈(2.375,2.5) f(2.375)<0，f(2.437 5)>0⇒x1∈(2.375,2.437 5)，
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3.4.1（二）
1．明确二分法是一种求一元方程近似解的常用方法． 2．二分法求方程的近似解的步骤，关键在第一步，区间的确定． 3．在本节课中要注重感悟数学中的几种数学思想，即：等价转
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填一填·知识(zhī shi)要点、记下 疑难点
3.4.1（二）
2．用二分法求方程 f(x)＝0 近似解 x0 的步骤：
(1)确定区间[a，b]，验证__f_(a_)_·f_(_b_)_<_0__，给定精确度 ε； (2)求区间(a，b)的中点____c____；
(3)计算 f(c)；
①若 f(c)＝0，则_c_就__是__(_ji_ù_s_h_ì_)方__程__的；解 ②若 f(a)·f(c)<0，则令 b＝c(此时零点 x0∈__(a_，__c_)__)； ③若 f(c)·f(b)<0，则令 a＝c(此时零点 x0∈__(_c，__b_)__)．
(4)若 a，b 在精确度 ε 的要求下取值相同，这个值就为方程的近 似解；否则重复(2)～(4).
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3.4.1（二）
因为 2.562 5 与 2.625 精确到 0.1 的近似值都为 2.6， 所以此方程近似解为 2.6.
小结 判定一个方程 f(x)＝0 能否用二分法求其零点的近似值 的依据：函数 y＝f(x)在区间[a，b]上连续不断，且 f(a)·f(b)<0.
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研一研·问题探究(tànjiū)、课 堂更高效
3.4.1（二）
[问题情境] 一元二次方程可用判别式判定根的存在性，可用 求根公式求方程的根．但对于一般的方程，虽然可用零点存 在 性定理判定根的存在性，而没有公式求得方程的解，如何 求得方程的解呢？本节我们就来探讨这个问题．
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3.4.1（二）
3.4.1 函数与方程(二)
【学习要求】 1．通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法
是求方程近似解的常用方法； 2. 会用二分法求一个函数在给定区间内的零点，从而求得方程
的近似解． 【学法指导】 通过借助计算器用二分法求方程的近似解，了解逼近法这一数 学思想，体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一.
3.4.1（二）
导引 2 如下图，f(x)的图象与 x 轴有一个交点，如何求方程 f(x) ＝0 的解？
问题 3 假设在区间[－1,5]上，f(x)的图象是一条连续的曲线，且 f(－1)·f(5)<0，如何按照二分法的思想求方程 f(x)＝0 的一个解？
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研一研•问题探究、课堂(kètáng)更高 效
研一研•问题探究、课堂(kètáng)更高 效 探究点一 二分法
3.4.1（二）
导引 1 有一个猜数字游戏：给定 1～100 这 100 个自然数，计
算机随机输出一个 1～100 之间的整数，通过操作键盘让同学
们去猜这个数，对于大家每次猜测的结果，计算机的提示是
“对了”或“大了”或“小了”．
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