(江苏专用)2018-2019学年高中数学 章末综合测评3 导数及其应用 苏教版选修1-1

章末综合测评(三) 导数及其应用
(时间120分钟，满分160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上．) 1．质点运动规律s ＝t 2
＋3，则在时间(3,3＋Δt )中，质点的平均速度等于________． 【解析】 平均速度为V ＝＋Δt 2
＋3－
2
＋
3＋Δt －3
＝6＋Δt .
【答案】 6＋Δt
2．若f ′(x 0)＝－3，则当h →0时，
f x 0＋h －f x 0－3h
h
趋于常数________.
【导学号：95902262】
【解析】 f x 0＋h －f x 0－3h
h
＝4×
f x 0＋h －f x 0－3h
4h
.
∵f ′(x 0)＝－3，∴当h →0时，
f x 0＋h －f x 0－3h
4h
趋于－3，故当h →0时，
f x 0＋h －f x 0－3h
h
趋于－12.
【答案】 －12
3．已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若
f ′(1)＝3，则a 的值为________．
【解析】 f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )．
由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3. 【答案】 3
4．已知曲线f (x )＝x 2
＋2x －2在点M 处的切线与x 轴平行，则点M 的坐标是________． 【解析】 ∵f ′(x )＝2x ＋2，由f ′(x )＝0得x ＝－1，又f (－1)＝1－2－2＝－3，∴点M 的坐标为(－1，－3)．
【答案】 (－1，－3)
5．函数y ＝x e x
在其极值点处的切线方程为__________.
【导学号：95902263】
【解析】 由题知y ′＝e x
＋x e x
，令y ′＝0，解得x ＝－1，代入函数解析式可得极值点的坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫－1，－1e ，又极值点处的切线为平行于x 轴的直线，故方程为y ＝－1e .
【答案】 y ＝－1
e
6．下列结论①(sin x )′＝－cos x ；②⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝1x 2；③(log 3x )′＝13ln x ；④(x 2
)′＝1x ；
⑤⎝ ⎛⎭
⎪
⎫－x e x ′＝x －1e
x
，其中正确的有________(填序号)．
【解析】 由于(sin x )′＝cos x ，故①错误；由于⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x ′
＝－1x
2，故②错误；
由于(log 3x )′＝1x ln 3，故③错误；由于x 2
＝2x ，故④错误；由于⎝ ⎛⎭
⎪⎫－x e x ′＝－e x －x e x
x 2＝
x －1
e
x
，所以⑤正确． 【答案】 ⑤
7．函数y ＝e x
cos x 在⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2内的单调增区间是________．
【解析】 y ′＝e x
(cos x －sin x )，当x ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π4时cos x ＞sin x ，y ′＞0，∴函数
y ＝e x cos x 在⎝
⎛⎭
⎪⎫
0，π2内的单调增区间为⎝
⎛⎭
⎪⎫
0，π4
.
【答案】 ⎝
⎛⎭
⎪⎫0，π4
8．函数f (x )＝12
e x
(sin x ＋cos x )在区间上的值域为________.
【导学号：95902264】
【解析】 f ′(x )＝12e x (sin x ＋cos x )＋12e x (cos x －sin x )＝e x
cos x ，
当0≤x ≤π2时，f ′(x )≥0，∴f (x )故⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增．
∴f (x )的最大值在x ＝π2处取得，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝12
e π
2，
f (x )的最小值在x ＝0处取得，f (0)＝1
2.∴函数值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，12e π2.
【答案】 ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
12，12e π2
9．已知函数y ＝f (x )在定义域[－4,6]内可导，其图象如图1，记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集为________．
图1
【解析】 不等式f ′(x )≤0的解集即为函数y ＝f (x )的减区间，由题图知y ＝f (x )的
减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－43，1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤113，6，故f ′(x )≤0的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－43，1∪⎣⎢⎡⎦
⎥⎤113，6. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－43，1∪⎣⎢⎡⎦
⎥⎤113，6
10．如图2，是y ＝f (x )的导函数的图象，现有四种说法： ①f (x )在(－2，－1)上是增函数； ②x ＝－1是f (x )的极小值点； ③f (x )在(－1,2)上是增函数； ④x ＝2是f (x )的极小值点．
以上说法正确的序号是________(填序号)．
图2
【解析】 由函数的图象可知：f ′(－2)＜0，f ′(－1)＝0，f (x )在(－2，－1)上是减函数，①不正确；x ＝－1时f ′(1)＝0，函数在(－3，－1)递减，在(－1,2)单调递增，所以x ＝－1是f (x )的极小值点，所以②正确；f (x )在(－1，2)上f ′(x )＞0，所以函数在(－1,2)上是增函数，所以③正确；函数在(－1,2)单调递增，在(2,4)单调递减，所以x ＝2是
f (x )的极大值点，所以④不正确．
【答案】 ②③
11．已知f (x )＝x 3
－3x 2
＋2x ＋a ，若f (x )在R 上的极值点分别为m ，n ，则m ＋n 的值为________.
【导学号：95902265】
【解析】 ∵f (x )＝x 3
－3x 2
＋2x ＋a ，∴f ′(x )＝3x 2
－6x ＋2，∵f (x )在R 上的极值点分别为m ，n ，则m ，n 为f ′(x )＝0的两个根，根据根与系数的关系可得，m ＋n ＝－－6
3＝2，
∴m ＋n 的值为2.
【答案】 2
12．若a ＞2，则函数f (x )＝13x 3－ax 2
＋1在区间(0,2)上恰好有________个零点．
【解析】 ∵f ′(x )＝x 2
－2ax ＝x (x －2a )，由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2a ，又a ＞2，∴2a ＞4.当x ∈(0,2)时，f ′(x )＜0，此时f (x )单调递减，又f (0)＝1，f (2)＝8
3－4a ＋1＝
11
3
－4a ，由a ＞2知f (2)＜0，∴函数f (x )在(0,2)上只有1个零点． 【答案】 1
13．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f ′(x )≥0，则f (0)＋f (2)与2f (1)的大小关系为________．
【解析】 依题意，当x ≥1时，f ′(x )≥0，函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数； 当x ＜1时，f ′(x )≤0，f (x )在(－∞，1)上是减函数，故当x ＝1时，f (x )取得极小值也为最小值，即有f (0)≥f (1)，f (2)≥f (1)，∴f (0)＋f (2)≥2f (1)．
【答案】 f (0)＋f (2)≥2f (1)
14．已知函数f (x )＝13x 3＋12x 2
－2x ＋m 的图象不经过第四象限，则实数m 的取值范围是
________.
【导学号：95902266】
【解析】 f ′(x )＝x 2
＋x －2.令f ′(x )＝0，解得x ＝－2或1，则f (x )在(0,1)内单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴x ＝1是极小值点．∵f (x )的图象不经过第四象限，即当
x ＞0时，f (x )≥0.∴f (1)＝13＋1
2－2＋m ≥0，∴m ≥76
.
【答案】 m ≥7
6
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 15．(本小题满分14分)已知函数y ＝ax 3
＋bx 2
，当x ＝1时，有极大值3. (1)求a ，b 的值； (2)求函数y 的极小值．
【解】 (1)y ′＝3ax 2
＋2bx ，当x ＝1时，y ′|x ＝1＝3a ＋2b ＝0，y |x ＝1＝a ＋b ＝3，
即⎩
⎪⎨
⎪⎧
3a ＋2b ＝0a ＋b ＝3，解得：a ＝－6，b ＝9.
(2)由(1)得y ＝－6x 3
＋9x 2
，y ′＝－18x 2
＋18x ，令y ′＝0，得x ＝0，或x ＝1 当x ＞1或x ＜0时，y ′＜0，函数在(－∞，0)，(1，＋∞)内单调递减；当0＜x ＜1时，y ′＞0，函数在(0,1)单调递增．
∴y 极小值＝y |x ＝0＝0.
16．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝－x 3
＋3x 2
＋9x ＋a .
(1)求f (x )的单调递减区间；
(2)若f (x )在区间[－1,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.
【导学号：95902267】
【解】 (1)f ′(x )＝－3x 2
＋6x ＋9.令f ′(x )＜0，解得x ＜－1或x ＞3， 所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)． (2)f (2)＝－8＋12＋18＋a ＝22＋a .
因为f (x )在区间[－1,2]上，所以f ′(x )＞0，所以f (x )在区间[－1,2]上单调递增， 因此f (2)和f (－1)分别是f (x )在区间[1,2]上的最大值和最小值，于是有22＋a ＝20，解得a ＝－2.故f (x )＝－x 3
＋3x 2＋9x －2，因此f (－1)＝1＋3－9－2＝－7，
即函数f (x )在区间[－1,2]上的最小值为－7.
17．(本小题满分14分)设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＋ax (a ＞0)． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )在(0,1]上的最大值为1
2
，求a 的值．
【解】 函数f (x )的定义域为(0,2)，f ′(x )＝1x －1
2－x
＋a .
(1)当a ＝1时，f ′(x )＝－x 2
＋2
x －x ，令f ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝－2(舍去)
所以f (x )的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，2)． (2)当x ∈(0,1]时，f ′(x )＝
2－2x
x －x
＋a ＞0，
即f (x )在(0,1]上单调递增，故f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)＝a ，因此a ＝1
2.
18．(本小题满分16分)一火车锅炉每小时煤的消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20 km/h 时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需400元，火车的最高速度为100 km/h ，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？
【解】 设火车的速度为x km/h ，甲、乙两城距离为a km.由题意，令40＝k ·203
，∴k ＝1200
， 则总费用f (x )＝(kx 3
＋400)·a x ＝a ⎝
⎛⎭⎪⎫kx 2＋400x ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1200x 2＋400x (0＜x ≤100)． 由f ′(x )＝
a x 3－
100x
2
＝0，得x ＝203
5.
当0＜x ＜2035时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当203
5＜x ≤100时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．
∴当x ＝2035时，f (x )取极小值也是最小值，即速度为203
5 km/h 时，总费用最少． 19．(本小题满分16分)已知a 为实数，函数f (x )＝x (x －a )． (1)求函数f (x )的单调区间；
(2)设g (a )为f (x )在区间[0,2]上的最小值，试写出g (a )的表达式.
【导学号：95902268】
【解】 (1)由题意知函数的定义域为[0，＋∞)，f ′(x )＝x ＋
x －a 2x ＝3x －a
2x
(x ＞0) ①若a ≤0，则f ′(x )＞0，故f (x )有单调递增区间[0，＋∞)；
②若a ＞0，令f ′(x )＝0，得x ＝a 3.当0＜x ＜a 3时，f ′(x )＜0，当x ＞a
3时，f ′(x )
＞0.
故f (x )有单调递减区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，a 3，单调递增区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫a
3，＋∞.
由于函数在某一点处没有增减性， 故函数的单调区间的情况为： 若a ≤0，f (x )有单调递增区间[0，＋∞)；
若a ＞0，f (x )有单调递减区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，a 3，单调递增区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫a
3，＋∞.
(2)①若a ≤0，f (x )在[0,2]上单调递增，所以g (a )＝ f (0)＝0.
②若0＜a ＜6，f (x )在[0，a 3 ]上单调递减，在⎝ ⎛⎦
⎥⎤a
3，2上单调递增， 所以g (a )＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 3＝－2a 3a
3
.
③若a ≥6，f (x )在[0,2]上单调递减， 所以g (a )＝f (2)＝2(2－a )．
综上所述，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧
0，a ≤0，
－
2a
3a
3
，0＜a ＜6，
2
－a ，a ≥6.
20．(本小题满分16分)已知二次函数h (x )＝ax 2
＋bx ＋c (c ＜4)，其导函数y ＝h ′(x )的图象如图3所示，函数f (x )＝8ln x ＋h (x )．
图3
(1)求a ，b 的值；
(2)若函数f (x )在区间⎝
⎛⎭⎪⎫m ，m ＋12上是单调增函数，求实数m 的取值范围； (3)若对任意k ∈[－1,1]，x ∈(0,8]，不等式(k ＋1)x ≥f (x )恒成立，求实数c 的取值范围．
【解】 (1)h ′(x )＝2ax ＋b ，由h ′(5)＝0，h ′(0)＝－10，解得a ＝1，b ＝－10. (2)f (x )＝8ln x ＋x 2
－10x ＋c ，则f ′(x )＝8x
＋2x －10＝
x －
x －
x
，
令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝4，列表如下：
因f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m ＋2是单调增函数， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m ＋12⊆(0,1)或⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m ＋12⊆(4，＋∞)，
所以⎩⎪⎨⎪
⎧
0≤m ，m ＋1
2
≤1或m ≥4，
所以实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，12∪[4，＋∞)．
(3)由(k ＋1)x ≥f (x )在x ∈(0,8]恒成立，
整理得k ≥8ln x x ＋x －11＋c
x
对任意k ∈[－1,1]恒成立，
所以应有－1≥8ln x x ＋x －11＋c x
恒成立，
即c ≤－8ln x －x 2
＋10x 对x ∈(0,8]恒成立， 设g (x )＝－8ln x －x 2
＋10x ，x ∈(0,8]， 则g ′(x )＝－8
x
－2x ＋10＝－
x －
x －
4
.
令g′(x)＝0，得x＝1或x＝4，列表如下：
所以g(x)在x∈(0,8]的最小值为g(8)＝16－8ln 8，又c＜4，16－8ln 8－4＝12－8ln 8＜12－8ln e2＝12－16＜0，
所以实数c的取值范围是(－∞，16－8ln 8]．。