广东省珠海一中等六校2014届高三第三次联考数学文试题(含答案)

广东2014届高三六校第三次联考
文科数学
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，20小题，满分150分。

考试用时120分钟。

参考公式
（1）用最小二乘法求线性回归方程系数公式1
2
2
1
ˆˆˆn
i i
i n
i
i x y nx y
b
a
y bx x
nx
==-⋅==--∑∑，． （其中12n
x x x x n
++
+=
）
（2）锥体体积公式1
3
V Sh =
（S 为锥体的底面积，h 为锥体的高） 第一部分 选择题(共50分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}1,2,3,4,5,6U =,{}1,2,4A =,则U A =
A ．U
B ．{}1,3,5
C ．{}3,5,6
D ． {}2,4,6
2.设复数i(12i)z =+(其中i 是虚数单位)，则在复平面内,复数z 对应的点位于
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 3.已知向量(2,1),(1,),a b k ==-若//(2)a a b -，则k =
A ．12-
B ．12
C ．
1
2
D ．12-
4.已知等比数列{}n a 中，公比1q >，且168a a +=，3412a a =，则11
6
a a = A ． 2 B ． 3或6 C ． 6 D ． 3
5.设βα,为两个不重合的平面，n m ,是两条不重合的直线，则下列四个命题中是真命题的是
A ．若α⊥⊥m n m ,，则α//n
B ．若,,βα⊂⊂m n βα与相交且不垂直，则m n 与不垂直
C ．若n m m ⊥=⊥,,βαβα ，则n β⊥
D ．若βαα//,,//⊥n n m ，则β⊥m
6.某种产品的广告费支出
与销售额y （单位：百万元）之间有如下对应数据：
由散点图判断y 与x 具有线性相关关系，计算可得回归直线的斜率是7，则回归直线的方程是
A ．^715y x =+
B ．^75y x =+
C ．^750y x =+
D ．^745y x =+
7.一个几何体的三视图如图1所示,则该几何体的体积为
A ． 13
B ． 1
C ． 12
D ．32
8.同时具有性质：“①最小正周期为π；②图象关于直线
3
x π
=
对称；③在(,)63ππ
-
上是增函数”的一个函数是
A.sin()26x y π=+
B.cos()26
x y π
=-
C.cos(2)
3y x π
=+
D.sin(2)6y x π
=-
9.若221x y
+=,则x y +的取值范围是
A ．]2,0[
B ．]0,2[-
C ．),2[+∞-
D ．]2,(--∞
10.已知函数(0)()lg()(0)
x e x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，则实数2t ≤-是关于x 的方程2
()()0f x f x t ++=有三个不同
实数根的
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．非充分非必要条件
第二部分 非选择题(共 100 分)
二、填空题: 本大题共4小题，每小题511. 已知函数33,0
()tan ,02x x f x x x π⎧<⎪
=⎨-≤<⎪⎩
,则(())4f f π12.阅读图2的程序框图，输出结果s 的值为 ．
13.已知实数,a b 满足：102102210a b a b a b -+≥⎧⎪
--≤⎨⎪+-≥⎩
，1z a b =--，则z 的取值范围是_ ．
14.在平面内，若三角形的面积为S ，周长为C ，则此三角形的内切圆的半径2S
r C
=
；在空间中，三棱锥P ABC -的三条侧棱,,PA PB PC 两两垂直，且1PA PB PC ===，利用类比推理的方法，求得此三棱锥P ABC -的内切球（球面与三棱锥的各个面均相切）的半径R =_____________.
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
15.（本小题满分12分）
已知向量2(2cos a x =，(1,sin 2)b x =，函数()f x a b =⋅.
（1）求函数()f x 的最小正周期；
(2)若()23f π
α-
=，,2παπ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，求sin(2)6πα+的值.
16．（本小题满分12分）
从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高,被测学生身高全部介于155cm 和195cm 之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组[)155,160,第二组[)160,165,…,第八组[]
190,195,图3是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分,已知第一组与第八组人数相同,第六组的人数为4人.
(1)求第七组的频率； (2)根据得到的样本数据估计该学校男生身高在180cm 以上(含
180cm )的
人数；
(3)从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生,求抽取的两个男生的身高之差不超过5的
概率 .
17．（本小题满分14分）
在图4所示的几何体中,ABC ∆是边长为2的正三角形,
1AE =,
AE ⊥平面ABC ,平面BCD ⊥平面ABC ,BD CD =,且BD CD ⊥. （1）证明：AE //平面BCD ； （2）证明：平面BDE ⊥平面CDE ；
（3）求该几何体的体积.
18．（本小题满分14分）
已知数列{}n a 为等差数列,且5714,20a a ==,数列{}n b 的前项和为n ,且满足
132n n S S -=+(2,*)n n ≥∈N ，12
3
b =
. （1）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式；
（2）若n n n c a b =⋅,n T 为数列{}n c 的前n 项和,求n T .
19．（本小题满分14分）
已知函数2
()ln ,()(R)f x x x g x ax x a ==-∈. （1）求()f x 的单调区间和极值点；
（2）求使()()f x g x ≤恒成立的实数a 的取值范围；
（3）当18a =
时，是否存在实数m ，使得方程
3()
()04f x m g x x
++=有三个不等实根？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.
20.（本小题满分14分）
已知函数2
()4f x x =-，设曲线)(x f y =在点(,())n n x f x 处的切线与x 轴的交点为)0,(1+n x ，其中1x 为正实数，*N ∈n .
（1）用n x 表示1+n x ； （2）若41=x ，记2
2
lg
-+=n n n x x a (*N ∈n )，试判断数列{}n a 是否是等比数列，若是求出其
A B
C
E
D
公比；若不是，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，设()()(25)lg3
22123n n
n b n n a +=
++，数列{}n b 的前n 项和为n S ，证明：
71303
n S ≤<.
2014届高三六校第三次联考
文科数学参考答案
一、 选择题：
C B
D D D A A D D C 二、填空题： 11.3-；
； 13.122⎡
⎤-⎢⎥⎣⎦
，-；
三、解答题：
15.（本小题满分12分）
已知向量2(2cos a x =，(1,sin 2)b x =，函数()f x a b =⋅.
（1）求函数()f x 的最小正周期；
(2)若()23f π
α-
=，,2παπ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，求sin(2)6πα+的值. 解：
(1)2()2cos 2cos221f x x x x x ==+ 2sin(2)16
x π
=+
+ ， 4分
∴()f x 的最小正周期为T π=. 6分 (2)
()2sin(2())12sin(2)123362f ππππ
ααα-=-++=-+=， 1cos 22α∴-=，1
cos 22
α=-， 8分
,2παπ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，[]2,2αππ∴∈，423πα∴=，23πα=， 10分 3sin(2)sin 162
ππ
α∴+==-. 12分
16．（本小题满分12分）
从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高,被测学生身高全部介于155cm 和195cm 之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组[
)155,160,第二组[
)160,165,……,第八组[]190,195,图3是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分,已知第一组与第八组人数相同,第六组的人数为4人.
(1)求第七组的频率；
(2)根据得到的样本数据估计该学校男生身高在180cm 以上(含180cm )的人数；
(3)从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生,求抽取的两个男生的身高之差不超过5的概率 . 16.解： (1)第六组的频率为
4
0.0850
=， 2分 所以第七组的频率为 ：10.085(0.00820.0160.042+0.06=0.06--⨯++⨯）. 4分 （2）由直方图得后三组频率为0.06+0.08+0.0085=0.18⨯，
所以估计该校男生身高在180cm 以上(含180cm )的人数为0.18800144⨯=人. 7分 (3)第六组[
)180,185的人数为4人,设为,,,a b c d ,第八组[]190,195的人数为2人, 设为,A B , 则从这6人中抽取2人有,,,,,ab ac ad bd bc cd ，,,,,,,,,aA bA cA dA aB bB cB dB AB 共15种情况,
9分
抽取的两个男生的身高之差不超过5有,,,,,,ab ac ad bc bd cd AB 共7种情况, 11分 抽取的两个男生的身高之差不超过5的概率为7
15
P =. 12分 17．（本小题满分14分）
在图4所示的几何体中,ABC ∆是边长为2的正三角形,1AE =,
AE ⊥平面ABC ,平面BCD ⊥平面ABC ,BD CD =,且BD CD ⊥
. （1）证明：AE //平面BCD ；
（2）证明：平面BDE ⊥平面CDE ；
A
B
C
E
D
（3）求该几何体的体积.
17.证明:(1) 取BC 的中点M ,连接DM 、AM , 由已知BD CD =,可得：DM BC ⊥，
又因为平面BCD ⊥平面ABC ,平面BCD 平面ABC BC =，
所以DM ⊥平面ABC ，
因为AE ⊥平面ABC , 所以//AE DM ， 又因为AE ⊄平面BCD ,DM ⊂平面BCD ，
所以//AE 平面BCD . 4分 (2)由(1)知//AE DM ,又1AE =,1DM = ,
所以四边形DMAE 是平行四边形,则有//DE AM ， 由（1）得DM AM ⊥,又AM BC ⊥,
∴AM ⊥平面BCD , 所以DE ⊥平面BCD ， 又CD ⊂平面BCD ,所以DE CD ⊥，
由已知BD CD ⊥, D BD DE = ,∴CD ⊥平面BDE ，
因为CD ⊂平面CDE , 所以平面BDE ⊥平面CDE . 10分 (也可利用勾股定理等证明题中的垂直关系)
（3）M AM DM AM BC DM BC =⊥⊥ ,,，∴BC ⊥平面AEDM ， 11分 1,3==DM AM ，易得四边形AEDM
为矩形其面积S = 12分 故该几何体的体积C AEDM B AEDM V V V --=+=33231=⨯⨯BC S . 14分
18．（本小题满分14分）
已知数列{}n a 为等差数列,且5714,20a a ==,数列{}n b 的前n 项和为n S ,且满足
132n n S S -=+(2,*)n n ≥∈N ，123
b =
. （1）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式；
（2）若n n n c a b =⋅,n T 为数列{}n c 的前n 项和,求n T . 18.（1）
数列{}n a 是等差数列，设公差为d ，则11414620
a d a d +=⎧⎨
+=⎩，解得12
3a d =⎧⎨=⎩，
1(1)31n a a n d n ∴=+-=-. 2分 132(2)n n S S n -=+≥ ①， 1232(3)n n S S n --∴=+≥ ②，
由① — ②得13(3)n n b b n -=≥，
11
(3)3
n n b n b -∴
=≥， 4分 由112
,32(2)3
n n b S S n -=
=+≥得1213()2b b b +=+， 229b ∴=
， ∴211
3
b b =， 5分 {}n b ∴是等比数列，公比是13， 2
3
n n b ∴=. 6分
（2）2(31)
3n n n n
n c a b -=⋅=，
23111111
2(258(34)(31))33333
n n n T n n -=⋅+⋅+++-+-，
2341111111
2(258(34)(31))333333n n n T n n +=⋅++++-+-， 8分 231121111112(2(31))3333333
n n n T n -+∴=⋅+++++-- 1111(1())21332((31))13313
n n n -+-=+---
1171112((31))6233n n n -+=---176733n n ++=-，
767223n n
n T +∴=-⋅. 14分
19．（本小题满分14分）
已知函数2
()ln ,()(R)f x x x g x ax x a ==-∈. （1）求()f x 的单调区间和极值点；
（2）求使()()f x g x ≤恒成立的实数a 的取值范围；
（3）当18a =
时，是否存在实数m ，使得方程
3()
()04f x m g x x
++=有三个不等实根？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由. 19．解：（1）()ln 1f x x '=+， 由()0f x '>得1x e >
， ()0f x '<得1
0x e
<<，
()f x ∴在1(0,)e 单调递减，在1,e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭单调递增，
()f x 的极小值点为1
x e
=
.（注：极值点未正确指出扣1分） 3分 （2）方法1：由()()f x g x ≤得2ln (0)x x ax x x ≤->，
ln 1ax x ∴≥+ ，令()ln 1h x ax x =-- ，则11()ax h x a x x
-'=-
=， ⅰ）当0a ≤时，()0h x '<，()h x 在()0,+∞单调递减，()h x 无最小值，舍去； ⅱ）当0a >时， 由()0h x '>得1x a >
，()0h x '<得1
0x a
<<， ()h x ∴在1(0,)a 单调递减，在1,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭单调递增，
min 1
()()ln h x h a a
∴==，只须ln 0a ≥，即1a ≥，
∴当1a ≥时()()f x g x ≤恒成立. 8分
方法2：由()()f x g x ≤得2
ln (0)x x ax x x ≤->，ln 1ax x ∴≥+，
即ln 1
x a x
+≥
对任意0x >恒成立， 令ln 1()x h x x +=，则2
ln ()x
h x x -'=，
由()0h x '>得01x <<，()0h x '<得1x >，
()h x ∴在(0,1)单调递增，在()1,+∞单调递减，
max ()(1)1h x h ∴==，∴ 1a ≥，
∴当1a ≥时()()f x g x ≤恒成立.
（3）假设存在实数m ，使得方程
3()
()04f x m g x x
++=有三个不等实根， 即方程2
6ln 880x m x x ++-=有三个不等实根，
令2
()6ln 88x x m x x ϕ=++-，
262(43)2(3)(1)
()28x x x x x x x x x
ϕ-+--'=+-==，
由()0x ϕ'>得01x <<或3x >，由()0x ϕ'<得13x <<，
()x ϕ∴在(0,1)上单调递增，(1,3)上单调递减，(3,)+∞上单调递增，
∴()x ϕ的极大值为(1)78m ϕ=-+，()x ϕ的极小值为(3)156ln38m ϕ=-++. 11分
要使方程26ln 880x m x x ++-=有三个不等实根，则函数()x ϕ的图像与x 轴要有三个交点， 根据()x ϕ的图像可知必须满足780156ln 380
m m -+>⎧⎨
-++<⎩，解得7153
ln 3884m <<
-， 13分 ∴存在实数m ，使得方程
3()
()04f x m g x x ++=有三个不等实根， 实数m 的取值范围是7153
ln 3884
m <<
-. 14分
20.（本小题满分14分）
已知函数2()4f x x =-，设曲线)(x f y =在点(,())n n x f x 处的切线与x 轴的交点为)0,(1+n x ，其中1x 为正实数，*N ∈n .
（1）用n x 表示1+n x ； （2）若41=x ，记2
2
lg -+=n n n x x a (*N ∈n )，试判断数列{}n a 是否是等比数列，若是求出其
公比；若不是，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，设()()(25)lg3
22123n n
n b n n a +=
++，数列{}n b 的前n 项和为n S ，
证明：
71303
n S ≤<. 20.解：（1）由题可得()2f x x '=，
所以曲线()y f x =在点(,())n n x f x 处的切线方程是()()()n n n y f x f x x x '-=-， 即2(4)2()n n n y x x x x --=-， 2分 令0y =，得21(4)2()n n n n x x x x +--=-，即2142n n n x x x ++=，
显然0n x ≠，∴2124n n n
x x x ++=. 4分
（2）数列{}n a 是等比数列，证明如下：
由2124n n n
x x x ++=，22lg -+=n n n x x a 得 222112214222(2)22l g l g l g l g ()2l g 242
(2)2222n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x a a x x x x x x +++++++++======+-----， ∴12n n
a a +=， 所以数列{}n a 成等比数列，公比为2． 8分 （3）解：14x = 1114lg
lg34x a x +∴==-，由（2）得11122lg3n n n a a --=⋅=， ∴()()(25)lg322123n n n b n n a +=++⋅()()25121232
n n n n +=⋅++ 21121232
n n n ⎛⎫=-⋅ ⎪++⎝⎭111(21)2(23)2n n n n -=-++， 所以12n n S b b b =+++L
()()211111113525272212232n n n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪⋅⋅⋅++⎝⎭⎝⎭⎣⎦L ()113232n
n =-+， 12分 故数列{}n b 的前n 项和()113232n n S n =-+， 10(23)2n n >+⋅13n S ∴<， 又1(23)2n n +⋅单调递增，113(23)2n n
S n ∴=-+⋅单调递减， ∴当1n =时n S 的最小值为
730， ∴
71303
n S ≤<． 14分。