第3章 平面问题的有限单元法

考虑到：
0 u [ L]u y v x
u N ae
x 其中： [ L] 0 y
0 y x
因此：
[L][N ]ae [B]ae
Li N i 1 (ai bi x ci y )
2A
3-2 单元位移函数
——以三角形单元为例
选择单元位移函数时，应当保证有限元法解答的收敛性 ，即当网格逐渐加密时，有限元法的解答应当收敛于问题 的正确解答。
因此，选用的位移模式应当满足下列两方面的条件：
(1) 必须能反映单元的刚体位移和常量应变。 6个参数 a1到 a6反映了三个刚体位移和三个常量应变。 (2) 必须保证相邻单元在公共边界处的位移连续性。 (线性函数的特性)
3-2 单元位移模式
三结点三角形单元
——以三角形单元为例
为什么？
六个节点位移只能确 定六个多项式的系数。 所以平面问题的3结点三角形单元 的位移函数如下：
u 1 2 x 3 y v 4 5 x 6 y
该位移函数为线性函数.
其中,β1-β6 为待定系数，可由单 元的6个结点位移来确定。
[ N ] [ IN i IN j IN m ] 1 (下标i，j，m轮换)， ae N i (ai bi x ci y ) 称为形函数， 2A
I是2乘2的单位矩阵，
3-2 单元位移函数
• 形函数具有如下性质:
• (1) 在结点上形函数的值有
0 i j N i ij 1 i j
ai 4 1 bi 5 2 A c 6 i
aj bj cj
am vi bm v j v cm m
将待定系数β1-β6：代入位移模式
u 1 2 x 3 y 中,有： v 4 5 x 6 y
移函数(模式)的具体形式
ui v i 0 u j Nm v j u m vm
写成矩阵形式：
u u v
Ni 0
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
简写为：
u IN i
x y 0 1 0 a a y x y 0 1 a a a
3-3 单元应变矩阵[B] ——以三角形单元为例
u x x x v y 0 y xy u v y x y
其中：
I是2乘2的单位矩阵，
Ni
1 (ai bi x ci y ) 2A
x [ L] 0 y
0 y x
bi Bi 1 0 2A ci
0 (下标i，j，m轮换)， ci bi
3-1 3-2 3-3 3-4 3-5 3-6 3-7
有限单元法的标准过程回顾 单元位移函数 单元应变矩阵[B] 单元刚度矩阵[K] 单元载荷移置 总体刚度矩阵的集成 支承条件的处理
3-1 有限单元法的标准过程回顾(review)
步骤1：离散化
把物体分成有限大小的单元，单元间用结点相连接。 对于平面问题，最简单的单元是三角形单元。这些单元在 结点处用铰相连，荷载也移置到结点上，成为结点荷载。
1 u [( ai bi x ci y )ui (a j b j x c j y )u j (am bm x cm y )um ] 2A
1 v [( ai bi x ci y )vi (a j b j x c j y )v j (am bm x cm y )vm ] 2A
即△Pjm面积为Ai , △Pim面积为Aj ， △Pij面积为Am 。 P点的位置可由三个比值来确定： P(Li, Lj, Lm)
Li=Ai/A
Lj=Aj/A
Lm=Am/A
我们称Li, Lj, Lm为面积坐标。
3-2 单元位移函数
• 面积坐标的特点是:
——以三角形单元为例
(1) 由于三角形的面积坐标与该三角形的具体形状及其在总体 坐标中的位置无关，因此它是三角形的一种自然坐标。 (2) 三个面积坐标并不相互独立，三个面积坐标必然满足: Li+Lj+Lm =1 可见3个面积坐标中只有2个是独立的。 (3) 三角形单元形函数的几 0 i j Li ij 何含义 1 i j (4) 3节点三角形单元的三个形函数就是单元的三个面积坐标。
ci xm x j c j xi xm cm x j xi
3-2 单元位移函数
同理，可最终确定六个待定系数β1-β6：
——以三角形单元为例
ai 1 1 bi 2 2 A c 3 i
aj bj cj
am ui bm u j u cm m
aj bj cj
a m ui bm u j u cm m
其中：
A为三角形单元的面积。
பைடு நூலகம்
a j xm yi xi ym am xi y j x j yi
ai x j y m x m y j
bi y j ym b j y m yi bm yi y j
[ B] [ L][N ]
[B]矩阵称为应变矩阵。
思考：若是空
间问题，[L]矩阵 应是什么形式？
这是用结点位移表示的单元应变。
其中：
3-3 单元应变矩阵[B] ——以三角形单元为例
[ B] [ L][N ]
考虑到：
[ N ] [ IN i IN j IN m ] 有： B [ B B B ] i j m
1 1 y N j (a j b j x c j y ) 2 (0 0 ay ) 2A a a
1 1 2 x y N m (am bm x cm y ) 2 (a ax ay ) 1 2A a a a
y x a 0 a [N ] x 0 0 a
步骤2：单元分析(三角形单元)
2.1、单元内部各点的位移近似用结点位移来描绘(位移模式)
问题1： 如何构造位 移模式
u e [ N ] a v
2.2
[ K ] a P 0
e e e
单元刚度矩阵
问题2： 如何得到[B]、[K]
[ K ]e V [ B]T [ D][ B]dV
和单元载荷向量
Pe [ N ] X dV
T V
S1
[ N ]T T dS
问题3：如何 载荷移置
问题4：如何 组装单元
步骤3：单元组装( 总刚集成)
步骤4：施加边界条件
问题5：如何 施加边界条 件
步骤5：方程求解(《计算方法》已学) 步骤6：求单元内力
问题6：如何 求内力？
解得：
ui 1 xi u j 1 x j u 1 x m m
y i 1 yj 2 ym 3
ai 1 1 bi 2 2 A c 3 i
对于3结点三角形单元, [Bi] 是 3*2 的矩阵 [B] 是 3*6 的矩阵
式中bi ， ci ， bj， cj ，bm ，cm是单元形状的参数。 当单元的结点坐标确定后，这些参数都是常量。 思考： 对于平面4节点单元,[B] 矩阵是几乘几的？ 在应变梯度较大的部位，单元划分应适当密集，否 空间4节点单元呢? 则将不能反映应变的真实变化而导致较大误差。 因此 3结点三角形单元称为常应变单元。
称为单元刚度矩阵。
由于 3结点三角形单元为常应变单元,可得到:
3-2 单元位移函数
u
——以三角形单元为例
1 v [( ai bi x ci y )vi (a j b j x c j y )v j (am bm x cm y )vm ] 2A
1 [( ai bi x ci y )ui (a j b j x c j y )u j (am bm x cm y )um ] 2A 这就是三节点三角形单元位
3-3 单元应变矩阵[B]
例题：图示等腰三角形单元，求其应变矩阵[B]。
1 0 0 0 1 0 1 B 0 0 0 1 0 1 a 0 1 1 0 1 1
3-4 单元刚度矩阵
[ K ]e [ B]T [ D][ B]dV
V
——以三角形单元为例
有待解决的问题
问题1：如何构造位移模式？ 问题2：如何得到[B]、[K]？ 问题3：如何载荷移置？
问题4：如何组装单元？ 问题5：如何施加边界条件？
问题6：如何求解内力？
3-2 单元位移模式
对每个单元，可以假定一个简单函数，用它近似表示该 单元的位移。 这个函数称为位移函数，或称为位移模式、位移模型。 即：单元内部各点的位移用近似函数来描绘，有时也称 之为试探函数。 对于平面问题，单元位移函数可以用多项式表示：
3-2 单元位移函数
例题：图示等腰三角形单元，求其形态矩阵[N]。
ai x j y m x m y j 0 bi y j ym a
a j xm yi xi ym 0 b j y m yi x 0
ci xm x j 0 c j xi xm a
IN j
u N ae
其中：[N]称为形函数矩阵
ai IN m a j a m

[N]是2*6的矩阵
ui v i ai u j a j a v j m u m v m
am xi y j x j yi a 2 bm yi y j a
cm x j xi a
3-2 单元位移函数
由三角形的面积
a2 A 2
——以三角形单元为例
1 1 x Ni (ai bi x ci y ) 2 (0 ax 0) 2A a a
也就是说在i结点上Ni=1，在j，m结点上Ni=0。
• (2) 在单元中的任意一点上，所有形函数之和等于1 ，即
N
i
1
3-2 单元位移函数
•
——以三角形单元为例
三角形单元形函数的几何含义与面积坐标
面积坐标 三角形中任一点P与其三个角点相连形成三个子三角形， 我们以原三角形边所对的角码来命名此三个子三角形的面积，
思考：若是平面4节点矩形单元
时，位移函数应是什么形式？
3-2 单元位移函数
将3个水平位移分量和结点坐标代入位移模式中的第一式：
——以三角形单元为例
ui 1 2 xi 3 yi 写成矩阵形式： u j 1 2 x j 3 y j um 1 2 xm 3 ym
u a1 a2 x a3 y a4 x 2 a5 xy a6 y 2 ... v b1 b2 x b3 y b4 x 2 b5 xy b6 y 2 ...
多项式中包含的项数越多，就越接近实际的位移分布， 越精确。但选取多少项数，要受单元类型的限制。