曲靖市第一中学2020届高三第二次模拟考试 理科数学试卷参考答案

曲靖市第一中学2020届高三第二次模拟考试
数学（理科）参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.40 14. -3 15. 29π 16. ⎩⎨⎧-)(1)
(为偶数为奇数n n n n
三、解答题（本大题共6个小题，共70分） 17.（本小题满分12分）
解：(1)21cos 2121sin 23)(-++=
x x x f =)6
sin(π+x π≤≤x 0Θ ππ
676≤≤∴
x 1)6
sin(21≤+≤-∴π
x ∴函数的值域为]1,2
1
[-∴(6分)
(2) 1)6
sin()(=+
=π
C C f
2
6
π
π
=
+
∴C 3
π
=
∴C
2
1
23cos 22-=-+=ab b a C Θ ab ab b a 2322≥-=+∴ 3≤∴ab
≤==
C ab h S sin 2
1
32134323323=⨯
⨯ 2
3≤
∴h h ∴的最大值为23
(12分)
18.（本小题满分12分）
解：(1)取AB 中点O ，连结PO ，OC . ∵PA ＝PB ，∴PO ⊥AB ， ∵PB=AP ＝ 3 ∴PO ＝2，CO ＝1 ∴∠POC 为直角 ∴PO ⊥0C
∴PO ⊥平面ABC ，∴面PAB ⊥面ABC （6分）
(2)如图所示，建立空间直角坐标系O －xyz ，则A (1,0,0)，P (0,0，2)，C (0,1,0)，可取m ＝OC →
＝(0,1,0)为平面PAB 的一个法向量．
设平面PAC 的一个法向量为n ＝(l ，m ，n )．
则PA →·n ＝0，AC →·n ＝0，其中PA →＝(1,0，－2)，AC →＝(－1,1,0)，
∴⎩⎨
⎧
l －2n ＝0，－l ＋m ＝0.
∴⎩⎪⎨⎪⎧
n ＝22l ，
m ＝l .
不妨取l ＝2，则n ＝(2，2，1)．
cos 〈m ，n 〉＝m ·n
|m ||n |
＝
0×2＋1×2＋0×102
＋12
＋02
·
2
2
＋22
＋1
2
＝10
5
. ∵C －PA －B 为锐二面角， ∴二面角C －PA －B 的余弦值为
10
5
.（12分） 19.（本小题满分12分）
【详解】
解：（1）由题意可知2361021131518
118x +++++++=
=r ， 112 2.56 3.5 3.5 4.538
y +++++++==u r ，
由公式0.98r =
=≈，
0.980.75r ≈>Q ，∴y 与x 的关系可用线性回归模型拟合；
（2）药品A 的每类剂型经过两次检测后合格的概率分别为
1142255A P =⨯=，2412525A P =⨯=，3322
535
A P =⨯=，
由题意，235X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
:, ，
()26
355E X ∴=⨯=.
20.（本小题满分12分）
解：由e ＝
22，得b ＝c ＝22a ，所以焦点F 1(－22a,0)，F 2(2
2
a,0)，直线l 的方程为x ＝2a ，设M (2a ，y 1)，N (2a ，y 2)，
(1)∵|F 1M →|＝|F 2N →
|＝25，∴12a 2＋y 22＝20，92a 2＋y 2
1＝20，消去y 1，y 2，得a 2
＝4，故a ＝2，b ＝ 2.（6分）
(2)|MN |2＝(y 1－y 2)2＝y 21＋y 22－2y 1y 2≥－2y 1y 2－2y 1y 2＝－4y 1y 2＝6a 2.
当且仅当y 1＝－y 2＝
62a 或y 2＝－y 1＝6
2
a 时，|MN |取最小值6a ， 此时，F 1M →
＋F 2N →
＝(322a ，y 1)＋(2
2a ，y 2)＝(22a ，y 1＋y 2)＝(22a,0)＝2F 1F 2→，故F 1M →＋F 2M
→与F 1F 2→
共线.（12分）
21.（本小题满分12分）
解：(1)k e e x f x
++='-)1()(2
2)1()2(222+=++='-e k e e f ，解得1=k .(4分)
(2) )()(x g x f >得x x x e e x
ln 1)1(2
-->-++，变形得
x x x e e x ln 1)1(2--->+
令函数x x x x h ln 1)(--=
x x h ln 2)(--='
令0ln 2=--x 解得2
-=e x
当),0(2
-∈e x 时0)(>'x h ，),(2
+∞∈-e x 时0)(<'x h .
∴函数)(x h 在),0(2-e 上单调递增，在),(2+∞-e 上单调递减 ∴221)()(--+=≤e e h x h
而函数x
e e x F )1()(2
-+=在区间),0(+∞上单调递增
∴)1()0()(2-+=>e F x F
∴x x x x h e F x F ln 1)()1()0()(2--=≥+=>-
即x x x e e x
ln 1)1(2
-->+- 即x x x e e x ln 1)1(2
->+-+-
∴)()(x g x f >恒成立（12分）
22．（本小题满分10分）
解：（1）消去参数t ，得直线l 的普通方程为21y x =+， 将2sin ρθ=两边同乘以ρ得22sin ρρθ=，()2
211x y +-=，
∴圆C 的直角坐标方程为()2
211x y +-=；
（2）经检验点()1,3M 在直线l 上，12x t y t =⎧⎨=+⎩
可转化为13x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩①，
将①式代入圆C 的直角坐标方程为()2
211x y +-=
得2
2
121⎛⎫⎫+++= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，
化简得240t ++=，
设12,t t
是方程240t ++=
的两根，则12t t +=-124t t =， ∵1240t t =>，∴1t 与2t 同号，
由t
的几何意义得1212MA MB t t t t +=+=+=
23.（本小题满分10分）
解: (1)b a b a b x a x b x a x +=+=--+≥-++)()(
b a M +=∴
(2)
证明：为要证c a c -<<
只需证a c <-<
即证a c -<
也就是2
2
()a c c ab -<-，即证22a ac ab -<-，即证2()ac a a b >+， ∵0,2,0a c a b b >>+>，
∴2
a b
c +>
≥2c ab >即有20c ab ->，
又 由2c a b >+可得2()ac a a b >+成立，
∴ 所求不等式c a c <<+。