著名机构初中数学培优讲义平行四边形.第05讲(B级).教师版

内容
基本要求
略高要求
较高要求
平行四边形 会识别平行四边形
掌握平行四边形的概念、判定和性质，会用平行四边形的性质及判定解决简单问题 会运用平行四边形的性质及判定解决
有关问题
一、平行四边形的性质
平行四边形的边：平行四边形的对边平行且对边相等． 平行四边形的角：平行四边形的对角相等，邻角互补． 平行四边形的对角线：平行四边形的对角线互相平分． 平行四边形的对称性：平行四边形是中心对称图形． 平行四边形的周长：一组邻边之和的2倍． 平行四边形的面积：底乘以高．
二、平行四边形的判定
两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形． 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
【例1】 如图，E 、F 是平行四边形ABCD 对角线AC 上两点，BE DF ∥，求证：AF CE =．
F
E
D
C
B
A
【解析】省略
【答案】证明：平行四边形ABCD 中，AD BC ∥，AD BC =，
∴ACB CAD ∠=∠． 又BE DF ∥， ∴BEC DFA ∠=∠，
例题精讲
中考要求
平行四边形
∴BEC DFA ∆∆≌， ∴CE AF =
【例2】 如图，平行四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，DE 、AB 的延长线交于点F ，连接AE 、CF ．求
证：ABE EFC S S ∆∆=．
【解析】省略
【答案】易证BEF CED ∆∆≌，
∴BF CD AB ==
∴ABE ∆和FBE ∆是以AB 、BF 为底的等底等高三角形． ∴ABE FBE S S ∆∆=
∵FBE ∆和FCE ∆是以BE 、CE 为底的等底等高三角形． ∴FBE FCE S S ∆∆=，∴ABE EFC S S ∆∆=．
【例3】 如图，在平行四边形ABCD 中，BC 2AB =，CE AB ⊥于E ，F 为AD 的中点，若54AEF ∠=︒，
则B ∠等于 ．
F
E
D
C
A B
【解析】连接CF ，并延长与BA 的延长线交于一点，利用斜边中线 【答案】36°
【例4】 如图，已知平行四边形ABCD 中，M 是BC 的中点，且9,12,10,AM BD AD ===则该平行四边形
的面积是 ．
M
A
B C
D
【解析】过点D 作DE DE AM ∥，交BC 延长线于点E ，四边形ADEM 为平行四边形，AM DE =，根据
勾股定理逆定理，BDE △为直角三角形，根据等面积法求出高，故面积为72
E
M D
C B
A
【答案】72
【例5】 如图，矩形纸片ABCD 中，AB 43AD ==，，
折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，记与点A 重合点为'A ，则'A BG 的面积与该矩形的面积比为 ．
G D
C
B
A
【解析】略
【答案】1
8
【例6】 已知点P 是矩形ABCD 的边AD 的一个动点，矩形的两条边AB BC 、的长分别为3和4，
那么点P 到矩形的两条对角线AC 和BD 的距离之和是 ．
【解析】略
【答案】
125
【例7】 已知：如图，AD BC ⊥于D 点，2B C ∠=∠，CE EB =，求证：2AB DE =．
E D
B
A
【解析】利用斜边中线与三角形中位线
【答案】取AB 边中点F ，连接EF ，DF ，∵DF BF B FDB =∠=∠，
， ∴2FDB C ∠=∠，∴AC EF ∥，
∴ACE FEB ∠=∠，∴2FDB FEB ∠=∠,故2DE DF AB DE ==，
【例8】 如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 边上一点，且.AB AE =
（1）求证：ABC EAD ≌△△．
（2）若AE 平分,25,DAB EAC ∠∠=︒求AED ∠的度数。

A
B
D
E
【解析】略
【答案】（1）ABE AEB EAD AB AE BC AD ∠=∠=∠==，，，∴ABC EAD ≌△△
（2）∵ABC EAD ≌△△，∴AED BAC ∠=∠，∵AE 平分DAB ∠,∴B AEB BAE ∠=∠=∠，
∴ABE △为等边三角形，∴85AED ∠=︒
【例9】 如图，ACD ∆、ABE ∆、BCF ∆均为直线BC 同侧的等边三角形．当AB AC ≠时，
（1）求证：BEF BAC ≌
△△ （2）求证：四边形ADFE 为平行四边形．
F
E
D
C
B
A
【解析】略
【答案】（1）60BA BE BC BF CBF ABE ==∠=∠=︒，，，∴CBA FBE ∠=∠∴BEF BAC ≌△△，（2）∵
ABE ∆、BCF ∆为等边三角形，
∴AB BE AE ==，BC CF FB ==，60ABE CBF ∠=∠=︒． ∴FBE CBA ∠=∠． ∴FBE CBA ∆∆≌． ∴EF AC =．
又∵ADC ∆为等边三角形， ∴CD AD AC ==． ∴EF AD =． 同理可得AE DF =．
∴四边形AEFD 是平行四边形．
【例10】 等边ABC ∆中，点D 在BC 上，点E 在AB 上，且CD BE =，所以AD 为边作等边ADF ∆．
（1）求证：EFB △为等边三角形
（2）求证：四边形CDFE 是平行四边形．
F
E
D
C
B
A
【解析】略
【答案】（1）连结FB ．
∵1602BAD ∠=-∠=∠o ，AF AD =，AB AC = ∴AFB ∆≌ADC ∆，∴60ABF ACD ∠=∠=o ，FB DC = ∵CD BE =，∴FB BE =
∴BEF ∆是等边三角形，（2）∴EF BE DC ==，60BEF ∠=o ∵60ABC ∠=o ，∴BEF ABC ∠=∠
∴EF ∥BC ，∴四边形CDFE 是平行四边形
【例11】 在平行四边形ABCD 中，过A 任作一直线AM ，过B 、C 、D 作AM 的垂线BE 、CF 、DG ，
垂足分别是E 、F 、G ，求证：BE DG CF =-．
G
F
E D C
B
A
H
G
F
E D
C B
A
H
G
F
E D
C B
A
【解析】省略
【答案】解法一：如图，过C 作CH DG ⊥于H ，则GFCH 为矩形．
∴GH CF =，CH AM ∥． 又AB CD ∥，∴BAE DCH ∠=∠． 又AB CD =，∴Rt Rt ABE CDH ∆∆≌． ∴BE DH DG GH ==-，∴BE DG CF =-．
解法二：如图，延长CF 到H ，使HF BE =，连接BH ，显然BHFE 为矩形． ∴90BHC AGD ∠=︒=∠．
∵DG CF ∥，AD BC ∥，∴ADG BCH ∠=∠．
又∵AD BC =，∴ADG BCH ∆∆≌，∴DG CH CF HF CF BE ==+=+． ∴BE DG CF =-．
【例12】 如图所示，P 为平行四边形ABCD 内一点，求证：以AP 、BP 、CP 、DP 为边可以构成一个四
边形，并且所构成的四边形的对角线的长度恰好分别等于AB 和BC ．
D
P
C
B
A Q
D
P
C
B
A
【解析】如图所示，将PAB ∆平移至QDC ∆的位置，易证DQ AP =，CQ BP =，则四边形DPCQ 恰好是一
个以AP 、BP 、CP 、DP 为边的四边形，并且它的对角线恰好等于平行四边形ABCD 的两条邻边．
【例13】 如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点P ，过点P 作直线交AD 于点E ，交BC 于点F ．若
PE PF =，且AP AE CP CF +=+．求证：四边形ABCD 是平行四边形．
P
F
E D
B
A
N
M
A
E
D
P
C F
B
【解析】省略
【答案】延长PA 、PC ，使AM AE =、CF CN =．连结MF 、EN ．
∵AP AE CP CF +=+ ∴PM PN =
∴四边形MFNE 是平行四边形． ∴ME NF =,M N ∠=∠ ∵AE AM =，CN CF = ∴AME CNF ∆∆≌ ∴AM CN =
∴AP CP =,PAD PCB ∠=∠ ∴APD NCPB ∆≌ ∴
PD PB =
∴四边形ABCD 是平行四边形．
【例14】 如图⑴，四边形EFGH 中，若12∠=∠，则3∠必然等于4∠.请运用结论证明下述问题：如图⑵，
在平行四边形ABCD 中取一点P ，使得56∠=∠，求证：78∠=∠.
(1)
4
321
G
E F
H
(2)
8
765B
D
C
A P 8
76
5B
D
C
A
K
P
【解析】省略
【答案】分别过点B 、P 作//BK AP ，//PK AB ，交于点K ，连接CK ． ∵//BK AP ，//PK AB
∴BK AP =，PK AB =，5BKP ∠=∠，7BPK ∠=∠
∵AB CD =，//AB CD ，∴//PK CD ，PK CD = ∴PKCD 为平行四边形，∴PD CK =
∵AD BC =，∴ADP ∆≌BCK ∆，∴8BCK ∠=∠ 在四边形BKCP 中，56BKP ∠=∠=∠
∴BPK BCK ∠=∠，∴78∠=∠
【例15】 如图，ABC ∆中，90C ∠=︒，点M 在BC 上，且BM AC =，点N 在AC 上，且AN MC AM =，与
BN 相交于点P ，求证：45BPM ∠=︒
43
21
E A
B
C M N P P
N M
C
B
A
【解析】省略
【答案】过M 作ME AN ∥，且ME AN =，连接NE BE ，，则四边形AMEN 为平行四边形，得
NE AM ME BC =⊥，
因为90ME CM EMB MCA BM AC =∠=∠=︒=，，
所以BEM AMC ∆∆≌，得1234BE AM NE ==∠=∠∠=∠，， 因为1390∠+∠=︒，所以2490∠+∠=︒且BE NE = 所以BEN ∆为等腰直角三角形，45BNE ∠=︒ 因为AM NE ∥，所以45BPM BNE ∠=∠=︒
1. 如图，ABC ∆中，D 是AB 的中点，E 是AC 上任意一点，EF ∥AB ，DF ∥BE ．求证：DF 与AE
互相平分．
F
E
D
C B A
F
E
D
C
B A
【解析】省略
【答案】连结AF 、DE ．
课后作业
∵EF∥AB，DF∥BE，∴四边形BDFE是平行四边形∴EF BD
=
∵AD BD
=，∴AD EF
=
∵AD∥EF，∴四边形ADEF是平行四边形
∴DF与AE互相平分。