一维非线性随机微分方程的随机指数稳定性_闫振海

exp｛ － σ' （ 0 ） W（ t） ｝ F （ X （ t） ） σ' （ 0 ） dW（ t） + 1 2 exp｛ － σ' （ 0 ） W（ t） ｝ · F （ X （ t） ） ［ σ' （ 0 ） － σ' （ 0 ） σ' （ X （ t） ） ］ － 2 σ' （ 0 ） exp｛ － σ' （ 0 ） W（ t） ｝ F （ X （ t） ） σ' （ 0 ） dt = σ' （ 0 ） b（ X （ t） ） σ' （ 0 ） σ' （ X （ t） ） exp｛ － σ' （ 0 ） W（ t） ｝ F （ X （ t） ） dt． － 2 σ（ X （ t） ）
第 47 卷第 2 期 2015 年 6 月
郑 州 大 学 学 报（ 理 学 版） J． Zhengzhou Univ． （ Nat． Sci． Ed． ）
Vol. 47 No. 2 Jun. 2015
一维非线性随机微分方程的随机指数稳定性
1 1 2 2 2 闫振海 ， 刘再明 ， 王帅鸽 ， 杨文静 ， 马志敏
2
1 σ' （ 0 ） b（ X （ t） ） dt + F （ X （ t） ） σ' （ 0 ） dW（ t） + F （ X （ t） ） ［ σ' （ 0 ） （ X （ t ） ） 2 σ 由连续半鞅的乘积公式，
－ σ' （ 0 ） σ（ X （ t） ） ］ dt，
dY（ t） = d（ exp｛ － σ' （ 0 ） W（ t） F （ X （ t） ｝ ） = F （ X （ t） ） d（ exp｛ － σ' （ 0 ） W（ t） ｝ ） + exp｛ － σ' （ 0 ） W（ t） ｝ dF （ X （ t） ） + 〈d（ exp｛ － σ' （ 0 ） W（ t） ｝ ） ， dF（ X（ t） ） 〉 = － σ' （ 0 ） exp｛ － σ' （ 0 ） W（ t） ｝ F （ X （ t） ） dW（ t） + σ' （ 0 ） exp｛ － σ' （ 0 ） W（ t） ｝ F （ X （ t） ） dt + 2 exp｛ － σ' （ 0 ） W（ t） ｝ F （ X （ t） ） σ' （ 0 ） b（ X （ t） ） dt + σ（ X （ t） ）
1
主要结论及其证明
0 ） 上 σ（ x） ＜ 0 ． 令 设 m = d = 1， 由条件 A3 ） ，不妨设在（ 0 ， 在（ － ∞ ， ∞ ） 上 σ（ x） ＞ 0 ， 1 σ' （ 0 ） exp｛ du｝ ， x ≥ 0， x σ（ u） F（ x） = x σ' （ 0 ） － exp｛ du｝ ， x ＜ 0， －1 σ（ u）
x→0 t ＞0
（ 2）
= 0， a． s． ，
（ 3） （ 4）
则称式（ 1 ） 的平凡解是稳定的，否则称为不稳定． 如果存在 γ ＞ 0 使得 lim sup e γt X （ t； x） = 0 ， a． s． ，
x→0 t ＞0
则称式（ 1 ） 的平凡解是指数稳定的． 近二十年来， 许多控制论学者和概率论学者都在关心随机微分系统和带切换的随机微分系统的稳定性 2 － 5］ ． 由于随机系统的复杂性，大部分文献都采 问题， 而且产生了众多的研究成果和研究方法 ，参看文献［
[
]
由假设 A3 ） ， 可令 σ' （ 0 ） b（ x） σ' （ 0 ） σ' （ X （ t） ） σ' （ 0 ） = b' （ 0 ） + h（ x） ， = 2 2 σ（ x）
2
+ q（ x） ， Ｒ（ x） = h（ x） － q（ x） ，
22
郑州大学学报（ 理学版）
第 47 卷
1219 收稿日期： 2014Email： yanzhenhai2008@ 163． com； 通讯作者： 刘再 作者简介： 闫振海（ 1984 － ） ， 男， 河南郑州人， 博士研究生， 主要从事马氏过程分析研究， Email： math_lzm@ csu． edu． cn． 明（ 1961 － ） ， 男， 湖南宁乡人， 教授， 主要从事马氏过程及其应用研究， 2015 ， 47 （ 2 ） ： 20 － 23． 引用本文： 闫振海， 刘再明， 王帅鸽， 等． 一维非线性随机微分方程的随机指数稳定性［J］． 郑州大学学报： 理学版，
1 x x→0 + 1 0
lim 同理， －
x→0
σ（ u） － σ' （ 0 ） u du｝ ． σ（ u） u X （ t； x0 ） 仍记作 X （ t） ， 任取 x0 ≠ 0 ， 令
F（ x） = exp｛ x
∫
0
－1
Y（ t） = exp｛ － σ' （ 0 ） W（ t） ｝ F （ X （ t） ） ， （ 6） 由于 exp｛ － σ' （ 0 ） W（ t） ｝ 和 F （ X （ t） ） 都是连续半鞅， 由 Ito 公式， σ' （ 0 ） exp｛ － σ' （ 0 ） W（ t） ｝ dt， d（ exp｛ － σ' （ 0 ） W（ t） ｝ ） = － σ' （ 0 ） exp｛ － σ' （ 0 ） W（ t） ｝ dW（ t） + 2 dF （ X （ t） ） = F' （ X （ t） ） b（ X （ t） ） dt + F' （ X （ t） ） σ（ X （ t） ） dW（ t） + F（ X（ t） ） 1 F'' （ X （ t） ） σ （ X （ t） ） 2 dt = 2
A3 ） 0 是 b（ x） 和 σ（ x） 唯一的 0 点， 并且 σ（ 0 ） 不为 0 ． 1］的引理 2 ． 1 知， 条件 A3 ） 意味着 X （ t） ≡ 0 是方程（ 1 ） 的一个解， 称为平衡解． 由文献［ P ｛ t ＞ 0 ， X（ t） = 0 X（ 0 ） = x｝ = 0 ， x ≠ 0 ． 方程（ 1 ） 的解记作 X （ t； x0 ） ． 定义 1 如果 lim sup X （ t； x）
t→∞
lim sup 由 Brown 运动的重对数律，
W（ t） = 1， a． s． ， 所以几乎必然地对于 Brown 运动的每一条轨 2 tlog log t 槡
2 tlog log t ） ， t ≥ 0 ， 显然函数 道 W（ t） ，存在 与 之 相 关 的 常 数 M W ，使 得 σ' （ 0 ） W（ t） ≤ M W （ 1 + 槡 γt exp｛ M W （ 1 + 槡 2 tlog log t ） + ｝ 是有界函数，它的上界记作 N W ， 显然 N W ＞ 1 ． 2 由于lim Ｒ （ x） = 0 ， 取 ε ＞ 0 使得在（ 0 ， ε） 上 Ｒ （ x） ＜
{
1 x
∫ ∫
（ 5）
则 F （ 0 ） = 0 ． 显然 F （ x） 是严格单调增函数， 它的逆映射记作 G （ x） ． 1 F（ x） σ' （ 0 ） lim du － log x｝ = = lim exp｛ － x x→0 + x→0 + x σ（ u）
∫
x→0 +
'（ 0） 1 － ） du｝ = ∫（σ u σ（ u） σ' （ 0 ） u － σ（ u） exp｛ － lim ∫ du｝ = σ（ u） u σ（ u） － σ' （ 0 ） u exp｛ ∫ du｝ ． σ（ u） u lim exp｛ －
0
指数稳定性
F， F， P ） 是一个带有滤子 F = ｛ F t ｝ 的完备的概率空间， 设（ Ω， 滤子 F 满足通常条件， 即 1 ） F 包含所有 0 概率事件； 2 ） F 是右连续的． F， F， P ） 上的标准 d 维 Brown 运动， 设｛ W（ t） ｝ t≥0 是定义在（ Ω， 适应于滤子 F． 考虑以下随机微分方程 X （ t） = b（ X （ t） ） dt + σ（ X （ t） ） dW（ t） ， {d X（ 0 ） = x ，
显然 T ＞ 0 ． 如果 T 是有限的，并且 Ｒ （ X （ T） ） =
dY γt =［ Y（ t） ≤ ， γ + Ｒ （ X （ t） ） ］ dt 2 0， T］上 Y（ t） ≤ e 2 Y（ 0 ） = e 2 F （ x0 ） ≤ 2 C e 2 x0 ≤ δ， 所以在［ X （ t） = exp｛ σ' （ 0 ） W（ t） ｝ G （ Y（ t） ） ≤ exp｛ M W （ 1 + 槡 2 tlog log t ） ｝ G （ 2 C e 2 x0 ） ≤ γt 2 exp｛ M W （ 1 + 槡 2 tlog log t ） ｝ 2 C e 2 x0 = C γt 4exp｛ M W （ 1 + 槡 2 tlog log t ） + ｝ x0 ≤ 4 N W x0 ＜ ε， 2 0， T］上， Ｒ（ X（ t） ） ＜ 由 ε 的定义可知在［ 说明当 x0 ＜ min｛ δ， ε｝ 时， 4 （ 1 + C） N W γt X （ t； x0 ） = exp｛ σ' （ 0 ） W（ t） ｝ G （ Y（ t） ） ≤ 4exp｛ M W （ 1 + 槡 2 tlog log t ） + ｝ x0 ， 2 得式（ 1 ） 的平凡解是指数稳定的． 同理可证 x0 ＜ 0 的情形． 定理 2 证明 当 γ ＞ 0 时， 方程（ 1 ） 的平凡解是不稳定的． Cx γ ， Ｒ（ x） ＞ － ， ． 假设 x0 ＞ 0 ． 取当 ε ＞ 0 ， 使得 F （ x） ＞ x ∈ （ 0 ， ε］ 2 2
（ 1． 中南大学 数学与统计学院 湖南 长沙 410000 ； 2． 郑州大学 数学与统计学院 河南 郑州 450001 ）
摘要： 利用特殊的变换将一类一维非线性随机微分方程转化为带随机系数的常微分方程，并给出它的随机指数稳 定性的判据． 关键词： Ito 公式； 指数稳定性； 随机微分方程 中图分类号： O211． 62 文献标志码： A 文章编号： 1671 － 6841 （ 2015 ） 02 － 0020 － 04 DOI： 10． 3969 / j． issn． 1671 － 6841． 2015． 02． 004
则lim Ｒ （ x） = 0 ． 将以上结果整理后可得 Y（ t） 满足
x→0
{
d Y（ t） = dt
[ b' （ 0）
－
σ' （ 0 ） + Ｒ （ exp｛ σ' （ 0 ） W（ t） ｝ G （ Y（ t） ） ） Y（ t） dt ， 2
]
（ 7）
Y（ 0 ） = F （ x0 ）
式（ 7 ） 是一个含 W（ t） 的常微分方程， 对于 Brown 运动的每个轨道 W（ t） ， 式 （ 7 ） 都存在唯一解， 令γ = σ' （ 0 ） ． b' （ 0 ） － 2 定理 1 证明 当 γ ＜ 0 时， 方程（ 1 ） 的平凡解是指数稳定的． 假设 x0 ＞ 0 ．
x→0
γ ． 3
由于 C = lim G（ x） ≤
x→0 +
F（ x） G（ x） 1 = ． 取 δ ＞ 0 使得 是一个非零常数，G （ x） 是 F （ x） 的反函数，所以 lim x→0 + x x C
2 min｛ δ， ε｝ γ x， F （ x） ≤ 2 Cx， ， ｝， x ∈ （ 0 ， δ） ． 对于任意的 x0 ＜ 令 T = inf｛ t Ｒ （ X （ t； x0 ） ） ≥ C 4 （ 1 + C） N W 2 γ ． 由式（ 7 ） ，在［ 0， T］上， 2
第2 期
闫振海， 等： 一维非线性随机微分方程的随机指数稳定性
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ห้องสมุดไป่ตู้
用 Liapunov 的方法来讨论这类问题． 这类方法由于要构造 Liapunov 函数，所以对 b（ x） ， σ（ x） 的要求比较 高． 在本文中， 我们先将一维随机微分方程通过一个变换转换为常微分方程 ，然后给出指数稳定性的判据． 我们判据仅依赖 b' （ x） 和 σ' （ x） ．
0
（ 1）
m 其中 b（ x） ， σ（ x） 是 Ｒ 上的两个连续函数， 满足以下条件：
σ（ x） ＜ M（ 1 + 由随机微分方程的知识可知方程 （ 1 ） 存在唯一解． 我们假设： +
A1 ） b（ x） ， σ（ x） 是连续可微的； A2 ） 存在常数 M ＞ 0 ， 使得 b（ x）
x ）．
同理lim由于exp?0wt和fxt都是连续半鞅由ito公式dexp?0exp?0wtdwtexp?0wtdtdfxt?0xtdt由连续半鞅的乘积公式dytdexpexp?0wtdfxtdexp将以上结果整理后可得yt满足dytdtwt的常微分方程对于brown运动的每个轨道wt式7都存在唯一解令时方程1的平凡解是指数稳定的