中考数学重高生培优复习讲义：(第5讲)一次方程与方程组

一次方程与方程组
一：【知识梳理】 1.方程的分类 2.方程的有关概念 （1）方程：含有 的等式叫方程。

（2）有理方程：_________________________________________统称为有理方程。

（3）无理方程：__________ 叫做无理方程。

（4）整式方程：___________________________________________叫做整式方程。

（5）分式方程：___________________________________________叫做分式方程。

（6）方程的解： 叫做方程的解。

（7）解方程： _叫做解方程。

（8）一元一次方程：___________________________________叫做一元一次方程。

（9）二元一次方程：___________________________________叫做二元一次方程
3．①解方程的理论根据是：_________________________
②解方程（组）的基本思想是：多元方程要_________,高次方程要__________.
③在解_____方程，必须验根.要把所求得的解代入______进行检验；
（1）代人消元法：解方程组的基本思路是“消元”一把“二元”变为“一元”，主要步骤是，将其中
一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代人另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程，这种解方程组的方法称为代人消元法，简称代人法．
（2）减消元法：通过方程两边分别相加（减）消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法叫
做加减消元法，简称加减法．
6．整体思想解方程组． （1）整体代入．如解方程组3(1) 5 5(1)3(5) x y y x -=+⎧⎨-=+⎩①②
，方程①的左边可化为3(x+5)－18=y+5③，把②中的3（x+5）看作一个整体代入③中，可简化计算过程，求得y ．然后求出方程组的解． （2）整体加减，如1+3y 19 313x+y 11 3x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩①②因为方程①和②的未知数x 、y 的系数正好对调，所以可采用
两个方程整体相加减求解．利用①+②，得x+y=9③，利用②－①
得x －y=3④，可使③、④组成简单的方程组求得x ，y ．
⎧⎧⎨⎪⎨⎩⎪⎩整式方程有理方程方程分式方程无理方程
7.两个方程二元一次方程与一次函数的区别和联系．区别：（1）二元一次方程有两个未知数，而一次函数有两个变量；（2）二元一次方程用一个等式表示两个未知数的关系，而一次函数既可以用一个等式表示两个变量之间的关系，又可以用列表或图象来表示两个变量之间的关系．联系：（1）在直角坐标系中分别描出以二元一次方程的解为坐标的点，这些点都在相应的一次函数的图象上；（2）在一次函数的图象上任取一点，它的坐标都适合相应的二元一次方程．
8.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系：在同一直坐标系中，两个一次函数图象的交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解．反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点，
9.用作图象的方法解二元一次方程组：（1）将相应的二元一次方程组改写成一次函数的表达式；（2）在同一坐标系内作出这两个一次函数的图象；（3）观察图象的交点坐标，即得二元一次方程组的解．1.
（1）审题：仔细阅读题，弄清题意；
（2）设未知数：直接设或间接设未知数；
（3）列方程：把所设未知数当作已知数，在题目中寻找等量关系，列方程；
（4）解方程；
（5）检验：所求的解是否是所列方程的解，是否符合题意；
（6）答：注意带单位．
二：【经典考题剖析】
1、解方程：12
733)1(2-=-++x x x
2、(2014·抚州)情景：
试根据图中的信息，解答下列问题：
(1)购买6根跳绳需__ __元，购买12根跳绳需__ __元．
(2)小红比小明多买2根，付款时小红反而比小明少5元，你认为有这种可能吗？若有，请求出小红购买跳绳的根数；若没有，请说明理由．
三、当堂训练
1．下列方程中，解是2的方程是( )
A ．3x ＋6＝0
B ．－14x ＋12＝0 C. 23
x ＝2 D ．5－3x ＝1 2．小李在解方程5a －x ＝13(x 为未知数)时，错将－x 看作＋x ，得方程的解为x ＝－2，则原方程的解为( ) A ．x ＝－3 B ．x ＝0 C ．x ＝2 D ．x ＝1
3．二元一次方程组⎩
⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，x －y ＝0的解是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝2 B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝0 C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1 D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－1
4．如果式子3x －2与12
互为倒数，那么x 的值是( ) A ．0 B.23 C ．－23 D.43
5．(2014·无锡)某文具店一支铅笔的售价为1.2元，一支圆珠笔的售价为2元．该店在“6·1儿童节”举行文具优惠售卖活动，铅笔按原价打8折出售，圆珠笔按原价打9折出售，结果两种笔共卖出60支，卖得金额87元．若设铅笔卖出x 支，则依题意可列得的一元一次方程为( )
A ．1.2×0.8x ＋2×0.9(60＋x )＝87
B ．1.2×0.8x ＋2×0.9(60－x )＝87
C ．2×0.9x ＋1.2×0.8(60＋x )＝87
D ．2×0.9x ＋1.2×0.8(60－x )＝87
6．(2014·毕节)若－2a m b 4与5a n ＋2b 2m ＋n 可以合并成一项，则m n 的值是( )
A ．2
B ．0
C ．－1
D ．1
二、填空题
7．如果x ＝2是方程12
x ＋a ＝－1的解，那么a 的值是__ __． 8．(2014·湘潭)七、八年级学生分别到雷锋、毛泽东纪念馆参观，共589人，到毛泽东纪念馆的人数是到雷锋纪念馆人数的2倍多56人．设到雷锋纪念馆的人数为x 人，可列方程为__ __．
9．关于x 的方程kx －1＝2x 的解为正实数，则k 的取值范围是_ __．
10．(2014·襄阳)若方程mx ＋ny ＝6的两个解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，则m ＝_ _ ，n ＝__ __． 11．已知关于x 的方程a (2x －1)＝3x －2无解，那么a 的值为__ __．
12．已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4－a ，x －y ＝3a ，其中－3≤a ≤1.给出下列结论：①⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－1是方程组的
解；②当a ＝－2时，x ，y 的值互为相反数；③当a ＝1时，方程组的解也是方程x ＋y ＝4－a 的解；④若x ≤1，则1≤y ≤4.其中正确的是__ __．
三、解答题
13．解下列方程：
x 0.2－1＝2x －0.80.3
.
14．(2014·滨州)解方程组：⎩
⎪⎨⎪⎧3x －y ＝7，x ＋3y ＝－1.
15、(2014·红河)一件外衣的进价为200元，按标价的8折销售时，利润率为10%，求这件外衣的
标价为多少元？(注：利润率＝售价－进价进价
×100%)
16．(2013·台州)已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋ny ＝7，2mx －3ny ＝4的解为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，求m ，n 的值．
17．(2014·淄博)为鼓励居民节约用电，某省试行阶段电价收费制，具体执行方案如表：
某户居民五、六月份共用电500度，缴电费290.5元．已知该用户六月份用电量大于五月份，且五、六月份的用电量均小于400度．问该户居民五、六月份各用电多少度？
18．如图，在3×3的方阵图中，填写了一些数和代数式(其中每个代数式都表示一个数)，使得每行的3个数、每列的3个数、斜对角的3个数之和均相等．
(1)求x ，y 的值；
(2)在备用图中完成此方阵图.。