吉林省高二数学寒假作业9

高二数学寒假作业
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共22小题，共150分，考试时间120分钟，考生作答时将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项符合题目要求。

）
1.已知函数()f x 为奇函数，且当0x <时，2
1
()f x x x
=-，则(1)f = （ ） A.2 B.1 C.0 D.-2
2.设集合M={2|log (1)1x x -<}，N={2
|20x x x -<}，则M I N= A ．{|12x x <<} B ．{ |13x x <<} C ．{ |03x x <<} D ．{ |02x x <<}
3.已知函数()sin()(0,0,,)2
f x A x A x R π
ωϕωϕ=+>><
∈在一个周期内的图象如图所
示,则()y f x =的图象可由函数cos y x =的图象(纵坐标不变)( )得到。

A.先把各点的横坐标缩短到原来的倍,再向左平移
6
π
单位 B.先把各点的横坐标缩短到原来的倍,再向右平移
12π
个单位 C.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍,再向左平移6
π
个单位 D.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍,再向右平移
12
π
个单位
4.已知圆的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，且与y 轴相切，则圆的方程是（ ） A ．2
2
40x y x +-= B ．2
2
40x y x ++= C ．2
2
230x y x +--= D ．2
2
230x y x ++-=
5.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为0
60的直线与
双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ） A.(1,2] B.(1,2) C.[2,)+∞ D.(2,)+∞
6.已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象可能是
7.设函数()y f x =在(0，+∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数
(),()(),()K f x f x K f x K f x K ≤⎧=⎨>⎩
，取函数ln 1
()x
x f x e +=，恒有()()K f x f x =，则 A ．K 的最大值为
1e B ．K 的最小值为1
e
C ．K 的最大值为2
D ．K 的最小值为2
8.已知直线012:1=++y ax l 与直线0)3(:2=+--a y x a l ，若1l ⊥2l ，则a 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．6 D ．1或2
9.已知集合{}{}0,1,1,0,3A B a ==-+，且A B ⊆，则a =（ ） A. 1 B. 0 C. 2- D. 3-
10.已知,x y 满足2
2
(1)16x y -+=，则2
2
x y +的最小值为 （ ） A.3 B.5 C.9 D.25
11.已知集合A={x|x+2>0}，集合B={-3，-2，0，2}，那么(R A)∩B= A ．
B ．{-3，-2}
C ．{-3}
D ．{-2，0，2}
12.没函数()y f x =在(0，+∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数
(),()(),()K f x f x K f x K f x K ≤⎧=⎨>⎩
，取函数ln 1
()x
x f x e +=，恒有()()K f x f x =，则 A ．K 的最大值为
1e B ．K 的最小值为1
e
C ．K 的最大值为2
D ．K 的最小值为2
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13.若曲线2
ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴,则a =________.
14.已知三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ；表面积是 .
15.已知抛物线2
4y x =-上一点A 到焦点的距离等于5，则A 到坐标原点的距离为 。

俯视图
1 1
侧视图
正视图
1
16.定义域为R 的函数()x f 满足()()x f x f 22=+，当[]2,0∈x 时，
()
()⎪⎩⎪
⎨⎧--=210
1
2x x x x f [)[]2,11,0∈∈x x ，若[]6,4∈x 时，()422
--≥t t x f 恒成立，则实数t 的取值范围是________________.
三、解答题：
17.(本小题满分12分)如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面
ABCD ,6PA AB ==，点E 是棱PB 的中点．
（Ⅰ）求证：直线AD PBC P 平面； (Ⅱ) 求直线AD 与平面PBC 的距离；
（Ⅲ）若3AD =，求二面角A EC D --的平面角的余弦值.
18.（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，H 是正方形AA 1B 1B 的中心，AA 1＝22，C 1H ⊥平面AA 1B 1B ，且C 1H ＝5. (Ⅰ）求异面直线AC 与A 1B 1所成角的余弦值；
(Ⅱ)设N 为棱B 1C 1的中点，点M 在平面AA 1B 1B 内，且MN ⊥平面A 1B 1C 1，求线段BM 的长．
19.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12=2AA AC AB ==，且11BC A C ⊥． （Ⅰ)求证：平面1ABC ⊥平面11A ACC ；
（Ⅱ)设D 是11A C 的中点，判断并证明在线段1BB 上是否存在点E ，使DE ‖平面1ABC ；若存在，求三棱锥1E ABC -的体积．
20.（本小题满分10分）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，A 为B ，C 的等差中项. (Ⅰ)求A ；
(Ⅱ)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c 的值.
21.（本小题满分12分）已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且
bc a c b +=+222.
求：（I ）)sin(cos sin 2C B C B --的值； （II ）若a=2，求△ABC 周长的最大值．
22. （本小题满分12分）已知椭圆C 两焦点坐标分别为1(3,0)F -,2(3,0)F ，且经过点
1(3,)2
P ．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）已知点(0,1)A -，直线l 与椭圆C 交于两点,M N ．若△AMN 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，试求直线l 的方程．
试卷答案
1.D
2.A
3.B
4.A
5.C
6.B
7.B
8.D
9.C
10.C
11.B
12.B
13.2
1
14.
1
6
，
33
+
15.42
16.-1≤t≤3
17.
(1)在矩形ABCD中，AD∥BC，又,
AD P BC BC PBC
⊄⊂
Q平面平面
∴AD∥平面PBC
(2)如右图，以A为坐标原点，射线 AB、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴正半轴，建立空间直角坐标系A－xyz.
18.
如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点，
解得222
4
a b ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
，
19.
（1）⇒⊥C A 1平面1ABC ，所以平面1ABC ⊥平面11A ACC ；.......5分
（2）分别取1BB ，1AA 的中点E ，F ，连接EF ，DE ，DF ⇒平面EFD ∥平面1ABC ，⇒DE ‖平面1ABC ，.......8分 ⇒⊥11A C 平面11A ABB ，......................10分
分 20.
(Ⅰ)∵A 为B ，C 的等差中项， 2A B C =+， ················ 2分 ∵A B C π++=,∴A ＝π
3. ························· 4分
(Ⅱ)△ABC 的面积S ＝1
2bcsinA ＝3，故bc ＝4. ················· 6分
而a 2
＝b 2
＋c 2
－2bccosA ，故b 2
＋c 2
＝8. ···················· 8分 解得b ＝c ＝2. 10分
21. (1)⇒3
π
=
A ，......................3分
2
3
sin )sin(cos sin 2=
=--A C B C B ；......................6分 (2)⇒ab c b a -+=2
22，......................8分 ab c b 3)(2
-+=，
2
2
)2
(
3)(b a c b +-+≥, ⇒4≤+c b ，当且仅当2==c b 时，等号成立.............11分 ⇒△ABC 周长的最大值为6........................12分 22.
（Ⅰ）设椭圆标准方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>．依题意
1224a PF PF =+==，所以2a =．
又c =2221b a c =-=．
于是椭圆C 的标准方程为2
214
x y +=． ……………… 5分 （Ⅱ）依题意，显然直线l 斜率存在.设直线l 的方程为y kx m =+，则
由2
214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
得222(41)8440k x kmx m +++-=． 因为2
2
2
2
644(41)(44)0k m k m ∆=-+->,得22410k m -+>． ……………… ①
设1122(,),(,)M x y N x y ，线段MN 中点为00(,)Q x y ，则1222
122841
4441km x x k m x x k ⎧
+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
于是00022
4,4141
km m
x y kx m k k =-
=+=++． 因为AM AN =，线段MN 中点为Q ，所以AQ MN ⊥． （1）当00x ≠，即0k ≠且0m ≠时，
00
1
1y k x +=-，整理得2341m k =+． ………………② 因为AM AN ⊥，1122(,1),(,1)AM x y AN x y =+=+u u u u r u u u r
，
所以22
12121212(1)(1)(1)(1)()21AM AN x x y y k x x k m x x m m =+++=+++++++u u u u r u u u r g
22
222448(1)(1)()2104141
m km
k k m m m k k -=+++-+++=++，
整理得2
5230m m +-=，解得3
5
m =
或1m =-． 当1m =-时，由②不合题意舍去. 由①②知，3
5
m =
时，k =±．
11 （2）当00x =时，
（ⅰ）若0k =时，直线l 的方程为y m =
，代入椭圆方程中得x =±
设()M m -
，)N m ,依题意，若△AMN 为等腰直角三角形，则 AQ QN =.
即1m =+，解得1m =-或35m =
.1m =-不合题意舍去， 即此时直线l 的方程为35
y =. （ⅱ）若0k ≠且0m =时，即直线l 过原点.依椭圆的对称性有(0,0)Q ,则依题意不能有AQ MN ⊥,即此时不满足△AMN 为等腰直角三角形.
综上，直线l 的方程为35
y =
530y -+=
530y +-=. ………………14分。