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练习题
1-1理想流体在同一流管中做定常流动时（ C ）
A.管中各点流体的速度相同；
B. 管中各点的压强相同； C •通过管道中任意横截面上流体的流量相同； D.管中各点流体的速率相同
解答：由于题目中没有给出管道粗细的变化情况，所以管中各点流体的速度 压强都不能确定相同。

A 、B 、D 都不能确定成立。

根据连续性原理 V i S i =V2S 2，只有C 成立。

1- 2理想流体是（ B ）
A.不可压缩的流体；
B.
不可压缩无黏滞性的流体
C.不可压缩有黏滞性的流体；
C.可压缩无黏滞性的流体
答：由理想流体的定义：理想流体是不可压缩无黏滞性的流体。

所以选
B 。

1- 3如图所示，若管中流有理想流体，管的两段水平部分落差为 表横截面积、压强和流速，且有 S=S ，则有（D ）成立。

A.R-F 2 = 0， v 1 - v 2 >0
B. P 1- F 2< 0， v 1- v 2 >0
解：根据连续性原理 v 1 S 1
= v2S 2
S=S 2
.
v 1 二 v 2 v 〔- v ? = 0
_ ,
1 2
1 2
再根据伯努利方程P • - M •「gb = P 2 •-「v 2 • 'gh 2
2 2 得：P + Pgh = R + Pgh 2 P -卩2 =电山2—hj =—Pgh v 0
所以选择D
1- 4如图,已知三管的截面积分别为 S=100cm,
S 2= 40cm 2
, S a = 80cm 2
.在截面 S, S 2两管中的流速分别为 v 1= 40 cm s 4
, v 2= 30 cm s^。

则S3管中的流速为 ________ ； S 管中的流体的流量为 ________ 解：根据 v 1$ = v ?S 2 ■ v3 S 3 有 40 100 =30 40 v 3
80
得S 3管中的流速为v = 35cm s'
S 管中的流体的流
Q 2 =v 2S 2 =30 10，40 10絃=1.2 10“(m 3 s')
h ，S 、P 、v 分别代
C.P 1- F 2> 0 ， v 〔- v ? = 0
D.
P 1- B< 0 ， v 〔- v ? = 0
1-5在水平流管中作稳定流动的理想流体，截面积大的地方流速 ________________ ,流速
小的地方压强 ____________ 。

答：在水平流管中作稳定流动的理想流体， 根据连续性原理，截面积大的地方流速小。

根据伯努利方程，流速小的地方压强大。

1-6有一密闭的大水箱，箱内上部气体的压强为 盛有
水。

在箱的侧面，距水面 h 处开一小孔，问此小 流速为多
大？
解：小孔流速。

如图1 — 6所示,设液面的面积
S A ,小孔的面积为S B （ S A 远远大于S B ）,液面 降的速
率为V A ,小孔的流速为V B ,小孔到液面 离为h 。

任选液
面上的一点A 到小孔B 连接一 线，可以列出伯努利方
程：
由连续性方程有
考虑到S A 远远大于S B ,可以认为V A 0。

另外B 点与大气相通，P B = P o ，已知A 点 的大气压P A 二P P o 为大气压强。

将这些都代入伯努利方程，得
1-7 一个大水池水深H=10m ，在水面下h=3m 处的侧壁开一个小孔，求（1）从小 孔射出的水流在池底的水平射程 R 是多少？ （2） h 为多少时射程最远？最远射程为多 少？
解：（1）根据小孔流速v-..2gh
从小孔射出的水流落在与池底的水平处的高度 h 、H - h = 7（m ） 所用时间 t=俚=J
2（H
~
h ）
水平射程 R = vt=p 莎H J 2（H _h ） =9/7（m ）
H g Y g
\ g
（2） R =vt = J 顽汉 J 2
（H g —h ） =2jh （H _h ）
H
当h=H
=5（ m ）时射程最远。

最远射程为R max =10（ m
2
1-8欲用内径为1cm 的细水管将地面上内径为 2cm 的粗水管中的水引到5m 高的楼 上。

已知粗水管中的水压为4X 105Pa,流速为4m S 若忽略水的黏滞性，问楼上细水管 出口处的流速和压
强为多少？
解：设1代表粗管口，2代表细管口
根据连续性原理得：皿二v 2s, 4 - 12
二v 2二（丄）2
v 2=16 （ms 1）
2 根据伯努利方程得：p 1丄站• 'gg = p 2 1 ?
v | :?
gh 2
2 2
1 1
p 2 = p 1 v ： vf - : g （h 2 - h|^ 2.3 105 （ F a ）
2 2
1-9理想流体在一水平管道中流动,A 处和B 处的横截面分别为S A 和S B 。

B 管口与大
P ,下部 k 孔处的 h 出
为 下 、
的距
条流
1— 6题图
气相通,压强为P0.若在A处用一细管与一容器相连，试证明，当h满足关系h二'（厶-―）
2g s A S B）
时，A 处的压强刚好能将比水平管低h 处的同种液体吸上来，其中 Q 为液体的体积流量
1-10下面是一个测定农药、叶肥等液体黏滞系数的简易方法。

在一个宽大玻璃容器
底部连接一根水平的细玻璃管，测定单位时间内由细管流出的液体质量即可知 。

若已知
细管内直径d=0.1cm,细管长1 = 10cm ,容器内液面高h=5cm ,液体密度为1.9 >103kg m 「3, 测得
1min 内自细管流出的液体质量 m=0.66 >10"3kg ，问该液体的 为多少？
解：由题意 Q V 旦=
0.66 10
[ =5.8 10」（m 3
s 」）
P 60X1.9X103
4
4
根据泊肃叶公式 Qv _二R （R _F 2） _二d （讪）
得液体的黏滞系
V 8 1
16 8 1
数：
1-11如果液体的黏滞系数较大，可采用沉降法测定黏滞系数。

现使一个密度为 2.55 > 103kg m 一3，直径为6mm 的玻璃球在甘油中由静止落下，测得小球的收尾速度为 3.1cm s -1。

已知甘油的密度为1.26 >03kg m _3。

问甘油的黏滞系数为多少？
解：玻璃球受力 G 重力二f 粘滞阻力'f 浮力 即
4
二r 3
：、g =6二 rv T
弓二r 3
「0
g
3 3
其中，T 为玻璃小球密度,g 为重力加速度，「0为甘油的密度，r 为玻璃球的半径，V T 为小球的收尾速度。

得甘油的黏滞系数为
练习题
2-1 接触角为锐角时, 液体（
) A. 润湿固体 B.
不润湿固体 C.
完全润湿固体 D. 完全不润湿固体 解答：由定义，接触角为锐角时，液体润湿固体。

本题选
A 。

2-
2 两个半径不同的
肥皂泡，用一细导管连通后，最终结果是（
）。

A.两个肥皂泡最终一样大
B.大泡变大，小泡变小
而,P A + p gh = P 0
P
B
= P o
代入，得： gh :
=(V
A
2
- V B 2)/2
又，
Q = V
B
S B = V A S A
有： V A = :
Q/S A V
B
= Q/S B
故：
h Q 2
=—(- !J)
B
解： 由伯努力方程知：P A +P V A 2/2 = P B +P V 2
/2
2g S A S B
C.大泡变小，小泡变大
D.不能判断
解答：由附加压强公式P s =—球形液膜的曲率半径越大，附加压强就越小，因而
R
其内部的压强就越小。

小泡内的压强大于大泡内的压强。

一旦两泡连通，在压强差的作用下，小泡内的气体不断流向大泡，直至两泡的曲率半径相同为止。

所以选B。

2- 3 两个完全相同的毛细管，插在两个不同的液体中，两个毛细管（）。

A.两管液体上升高度相同
B.两管液体上升高度不同
C. 一个上升，一个下降
D.不能判断
解答：根据毛细管中液体上升-2〉cosv的公式：
h = -------
得知，液体上升还是下降由两种：?gr液体接触角二决定，在没给定接触角的情况
下无法判断。

所以选D
2- ________________________________________________________________ 4一小孩吹了一个半径R为3cm的肥皂泡，他至少需要做______________________________ 功；这肥皂泡的内外压强差为 __________ 。

（已知：肥皂水的表面强力系数 a =8.6 x 10-2N m j）。

解：（1）小孩吹的肥皂泡作的功，至少等于这个肥皂泡的表面能。

根据公式E : S （其中 = 2 4- R2）
得作功至少为
A»>8 …R2=8.6 x lO^N.m18 3.14 （3 10，）2m=1.94 10"（J）
（2）泡的内外压强差由附加压强公式求得：
2-5 一半径为0.2mm的毛细管,插入表面张力系数 a =5.0 x 10-N m丄的液体中,接触角逐B =45 ° ,则毛细管中液体将__________________ （填上升或下降），上升或下降的高度
为 ___________ 。

液体的密度P =1.0 x 10- kg •m-o
解：（1）因为接触角9 =45。

，润湿管壁，液体上升。

（2）上升的高度由公式得
2-6有一长4cm的金属丝从液表面层拉出，液体的表面张力系数 a =8.6 x 10-2N m^。

要把金属丝完全拉离液面（忽略金属丝的重力），最小需要拉力为N 。

解：根据表面张力的公式 F = f =2〉| =2 8.6 10° 4 10^ = 6.88 10」（N）2-7 把一个半径为5cm的金属细圆环从液体中拉出，圆环环绕的平面与液体表面平行。

已知，刚拉出圆环时需用力28.3 x 10-3N。

若忽略圆环的重力，该液体的表面张力系数为多少？
_3
28^ 10厂 4.5 10/（N・m‘）
解：G=f»l : =G
l 2沃2汇3.14汇5汇10
2-8用液滴法测农药的表面张力系数时，巳知移液管管口内半径为0.35mm，滴
出的318个药滴的重量为4.9 x 10-2N ，求该农药的表面张力系数。

卄
G 49^10^
o 丄
解：G 二 f 「l \=
G
9 10
3=7.01 10^（N *m ）
l 318汇2 汇3.14況0.35江10
2-9 在20平方公里的湖面上,下了一场50mm 的大雨。

雨滴半径r =1.0mm 设温度不 变，求
雨滴落入湖内释放出的能量为多少 ？（雨水的表面张力系数 a =7.3 x 10-2
N m J ）
雨下的总体积 V = 20 106 50 10~=1.0 106(m 3
)
一个雨滴的体积
：V,:r 3
=
4
3.14 (1.0 10，)5
=4.19 10-9
加)
3 3 共下雨滴数
M
V 1.0 106
14
N
9
= 2.4 10
A V 4.19 00
雨滴总面积
，S =N4「：r 2=0.3 1010(m 2)
雨滴落入湖内释放出的能量
AE=rS=7.3 10，0.3 1010
=2.19 108
(J)
2-10 一个U 形玻璃管的两竖直管的直径分别为 2mn ffi 3mm 管内的液体水完全润湿管 壁。

试求两管液面的高度差。

(水的表面张力系数a =8.6 X 10-2
N m J )。

解：根据公式h =
2
： c
°* 其中因管内的液体水完全润湿管壁，所以二=0。

中r
U 形管两个管内液体上升的高度分别为①和h 2
两管液面的高度差 A h -h 2 = 5.85(mm)
2-11 土壤中的悬着水如图所示，上下两液面都与大气接触 。

已知上下液面的曲率半
径分别为Rx 和R^F A v 民)，水的表面张力系数为〉，密度为「。

求悬着水的高度。

解：A 点的压强P A 二P 0
( 1)
R A
2 a B 点的压强 P^ -P 0 一 ?
gh P A
(2)
R A
(1)式带入(2)式得h 二生(亠 -)
Pg R A R B
2-12有一株高H=50m 的树，木质部导管(树液传输管)视为均匀的圆管，其半径r=2.0 X 10-4
mm 设树液的表面张力系数:-=5.0 X 10-2N ・m -1,接触角为45°。

问树根部的最小压强 应为多少
时，方能使树液升到树的顶部？树液的密度 p =1.0 X 103kg -m -3。

解：由毛细现象使树液上升的高度为：
可见，毛细现象产生使树液上升的高度只有 36米，树液上升的高度还要由树根部的 压强作用。

根据压强的公式得树根部的最小压强应为：
练习题三
3- 1 B 3-2 D 3-3 B 3- 4 ⑴不同 ⑵不同 ⑶相同
5 =0.768 - 0.748 =0.020(mHg) "0.08
解:
题2-11图
3-5 解：氧气i =5 E 二芈丄 RT 二丄 PV 二5
2.026
3.00 10^ =0.152 (J)
卩2 2 2 3-6解：气压计内空气等温变化
3-7 解
:
P 1.013 105 10-5
-一讦一 1.38 10 力 300
= 2.45 1010
3-8 解: 设氦气质量M,压强p i, 氧气质量M,压强p2,
3-9
5
1.01 105
分子数密度，
n
唁 'a 10^ 300
25
= 2.44 1025
氧气密度，r 二 n m =2.44 1025 53 1027-1.30 (kg m~)
分子平均平动动能, e t
3 3 23 21
"kT s「
38 10 300"2110 (J)
分子间平均距离，l =
(-)
n
2.44 1025
=3.45 10F)
3-10 解:
2 2 (MR 丿= 3.89 10°2 (J)
3-11 (1)
3 3
质子的平均平动动能，和尹乜伽仗3吩2
.。

710
〜
质子的方均根速率，,V2"73r 8.31 10
=1.58 106(ms J)
3-12 解
: (1)求阿伏伽德罗常数，由\ V2 =1.73
kT
=1.40 106(cms‘)求出k m
3-13 3-14
粒子的平均速率，vJJv2
16
1.40 10—1.30 10^(m s」)
1.73 1.73
解：停止运动后宏观运动的动能转变为气体内能，使温度上升
3 3
(1)分子平均平动动能，e t kT 1.38 10② 300 = 6.21 10 ^1 (J)
2 2
分子平均动能，1.38 10
2 2
解:
広300 =1.035 10 ^0 (J)
31 摩尔氧气分子的平动动能,
摩尔氧气分子的转动动能,
摩尔氧气的内能,
-R^- 8.31 300 = 3.74 103(J) 2 2 2
RT=8.31 300 = 2.49 103(J)
2
5 5 3
E。

RT 8.31 300 = 6.23 10 (J)
2 2
3-15 略
3-16 解: (1
)
M RT 2E
V iV
2 6.75 10
^ =1.35 105 (Pa)
5 2.0 10
分子总数
3-17 )解：傅里叶定律5.4 X 1022个求温度和分子平均平动动能
Q「乎® -齐川，稳定导热不同
r
处Q均相同
练习题四
4- 7 30Kw.h=1.08
108 J > 1.045 108J 不可能
4-
8 完成循环ABCD 系统做净功
吸收净热量 交换热量
Q 2 二 Q -Q i 二；26 74 二—252J
Q 2 <0表明系统吸热。

4-
9 (1
) Q V
=5 牛仃
2
-T i ) = — ~PV(T 2 - Tj
■— 2 RT i
(2) Q P =C P
M
(T 2 -T i )」严豊(T 2 -T i ) 2 RT i
4- i0 ( i ) a > b A=M
RTI n^2
二 PV I
卩 V i V i
(2) c > b A P 二 F2(V 2 -VJ =i i05
(0.044 —0.022) = 2.2 i03
J
考虑a 、b 在同一条等温线上
Q = A P = 2.2 i03 J
联立(i )、(2)解得 巳=9.642 “05
Pa T 2=57iK 4-i2
( i ) V 不变，A=0
⑵
P 不变 A
M / 、 Q P - ：E=C P
(T 2 -T i )
（3） Q =0
A —；E =-i247J
4-i3
（i ） T 不变,
（2）
Q =0
(3)
P 不变，
“辿 >
「二业-273 - =i36.5K
T i T 2
V 2
4-i4 Q =0，imoI 气体做功
dT
Q dr 2二 I’ r
积分得—昇喈
4-ii
PM _ 叨2
>
5R
5xi.0i3xi05
T i T 2
T 2
T i 300
2
7
2
7
P iL P 2」T 2 一 T
5
(i.0i3 i0 )5 300 5 二P 25.T 2
5
(1)
(2)
考虑 -1 二
i i i 所以
A R(「-T 2) 一 -1
(1) a > b 系统做功
系统吸热
Q / =A =：17280J
(2) d —； a 系统吸热 (3) c -； d 系统做功
(4) 系统完成一个循环从高温热源吸取热量
做净功
A 二 A . A 一二 5760J
热效率
n _
A
_
5760
_ 15
Q 1
38055
(1) 1 ) a > b
PV 1 二 P 2V 2
2
)b > c TM 二=T 2V 2 二
4-15
4-16 T 1V 20.4
400 200.4
2 3
V 3 =4.88 10 m
300
4) (4)
da 由前
V 2 _V_ V 1 _V ?
c >
d PV 3 二 P 4V 4
=1 _& =1 —缎=30%
T 1 400 (3)
Q^
= M
RT 1
1n^^PMI=5.065 104
201 n2=702.16J
— V? V 〔
4
P 二 5.0 10 kW, T i = 1000K, T 2 二 300K
4-18
⑷= T 2
=—263
— =
10.52 「-T 2
288-263
6
5
(2) Ag-Q2=1.84 10 -5.0 3.35 10
A _ Q 2 _ 5.0 3.35 105
A 二-
怕
10.1
⑶ Q 二 A Q = 0.165 103
5.0 3.35 1(f = 1.84 106J
4-20
(1 )设混合后温度为t ，则
练习题五
5-
1在一个带正电的金属球附近，放一个带正电的点电荷
q ,测得q 所受的力为F 若考虑q 的带电量不是足够小，则以下判断中正确的是
B 。

A.—大于该点场强E
B. —小于该点场强E
6
-0.165 10 J
4-17
(1) 1. =1
---------- ±
⑵ 实
=70%
⑶
Q1 = P =
实
⑷ Q 2 = mC t
讥二 Q2 =
「一叽 70%
1000 70% = 49%
竺亠.02 108 J
0.49
1 02 況 108
況 0 51
mC
4-19
解
300 5.0 3.35 105
273
= 1.84 1 06J
解2:
T 壬-T 2 273 300-273
-10.1
= 0.165 106
J
(2)
q q C.—等于该点场强E D. 无法判断 q
分析：应考虑q 产生的场强。

5- 2下列说法中，正确的是（ A.带负电的点电荷，在电场中从 势关系为u a > u b
5-
3真空中一半径为R 的球面均匀带电Q,在球心0处有一带电
量为q 的点电荷。

设 则在球内离球心 0距离为r 的P 点处的电势为（B ）
4
二；
o
r
B.
4二；
°
C.
4二;0
r
D.
1 q Q —q
（V ） 4
二；
°
R
2
dr 0dr 2
r
Q
R 〒dr
4二；0r 2 r R 5-4 一点电荷q 位于一立方体中心，立方体边长为 a ，则通过立方体一面的电通量
6 ；0
分析：立方体六个面的总电通量为 ①e =亠，一个面为①
q
6；
5-5静电场的环路定理的数学表达式为 E dl =0，其物理意义是:
静电场的电场
强度沿任意闭合路径的线积分为零；该定理表明静电场是 保守力 场。

5-6在静电场中，一质子（带电量为 e =1.6 x 10-19
C ）沿四 分之一的圆弧轨道从A 点移动到B 点（如5-6题图所示），电场 力做功8.0 x 10-15J 。

则当质子沿四分之三圆弧轨道从 B 点回到A 15
点时，电场力做功 A=-8.0 x 10 J 。

设A 点电势为零，贝U B 点电 势 U B =-5X 104
V o 5-6题
分析：因电荷绕场一周电场力做功为零, 所以
eU A -U B A A AB U B =U A A
AB
5-7在静电场中，某空间内电势处处是
一5 104
V
e
300V ，该空间内的电场强度是_0_;若某处
D ）o
a 点移到
b 点，若电场力做正功，则a 、b 两点的电 B. 由点电荷电势公式u = q
4 二；o r
可知，当r —0时，贝U U —X
C. D. 在点电荷的电场中, 在点电荷的电场中, 离场源电荷越远的点，其电势就越低
离场源电荷越远的点，电场强度的量值就越小
分析： 无论电荷Q 的正负如何，电场强度的量值为
Q
4二；
无穷远处为电势零点,
电势从200V经过1m均匀变化到300V，该处的电场强度是_100V/m_
分析：
E讶；
5-8由相距较近的等量异号电荷的
体系称电偶极子，生物细胞膜及土壤表
面的双电层可视为许多电偶极子的合。

因此，电偶极子是一个十分重要的模
型。

图5-2所示的电荷体系称电四极它由
两个电偶极子组合而成，其中的q 均为已
知，对图5-2中的P点（OP平行方形的
一边），证明当x…丨时其中，p=ql称电
偶极矩。

解：电四极子可看成两个电偶极子的组合。

设左边和右边两个电偶极子在P点产生的
场强分别为E左和E右，由教材例题5-3可知其中，p=ql。

P点处的合场强为
由于X " 1上式可简化为
2
证毕。

5-9 一个均匀带电细棒长为I，带电总量为q。

证明，在棒的垂直平分线上离棒为a处的电场强度为
证明：由题设条件可知，细棒的电荷线密度为T二q.「l。

在5-9题图中，对称的取距
离中点O为x处的电荷元dq , dq dx qdx/l。

两个电荷元在P点产生的电场强度d E和
d E •的水平分量相互抵消，在P点产生的合场强为d E和d E •沿竖直向上的分量之和。

即
于是，整个细棒在P点处的场强为
积分该式，整理后可得
dE合
5-10 一个半径为R的带电圆盘，电荷面密
组成
颗粒
集
物理
子，
和I
于正5-9题图
小为，求：（1）圆盘轴线上距盘心为x处的
CF
任一点P的电场强度；（2）当R-X时，P点的电场强度为多少？（3）当x R时，P点的电场强度又为多少？
解：（1）在半径为R的带电圆盘上取内半径为r、外半径为叶dr的细圆环，如5-10 题图所示。

利用教材中例题5-2的结果可知，该细圆环上的电荷在P点产生的场强为于是，整个圆盘上的电荷在P点产生的场强为
时，上式可化为 E =
2客0
当时,
R-::
x (R2 x2)1/2
即此时可将带电圆盘看作无限大带电平面。

（3）当x . • R时，可将带电圆盘看作点电荷，此时P点电场强度为
5-11大多数生物细胞的细胞膜可以用两个分别带有电荷的同心球壳系统来模拟。

在5-11
题图中，设半径为R和R2的球壳上分别带有电荷Q-］和Q2，求：
（1）I、II 、III三个区域中的场强；（2）若Q1 = — Q2，各区域的电场强度又为多少?
画出此时的电场强度分布曲线（即E — r关系曲线）场
强度分布有个概略的了解。

解：（1）在区域I ,做半径为r < R1的球形高斯
面。

面内无电荷，根据高斯定理可得区域I中的电场强
度为
E= 0
在区域II，以R-：：r ：：：R2为半径做球形高斯
面
斯面内的电荷为Q,高斯定理可写为
由此可解得区域II的电场强度为
在区域III ，做半径r >艮的球形高斯面。

由于该
的电荷为Q+Q，由高斯定理可解得该区域的电场强度
Q1 Q2
2
4二；0r
（2）当Q1= — Q2时，根据以上结果知
区域I的场强为E= 0
区域II的场强为E2
g0r
区域III的场强为E3= 0
根据上述结果可画出5-11题E - r关系曲线。

5-12实验表明，在靠近地面处有相当强的大气电场，电场强度方向垂直地面向下，大小约为100N C-1 ;在离地面1.5 km高的地方，电场强度方向也是垂直地面向下的，大小约为25N C-1o （1）计算从地面到此高度的大气中电荷的平均体密度；（2）若地球上的电荷全部分布在地球表面，求地球表面的电荷面密度；
（3）已知地球的半径为6 106m，地球表面的总电量为多少？
解：（1）由题中条件，在距离地面高度为1.5km处的大气电场E2=25N C-1，地面附近的大气电场为巳=100N C-1o
从1.5 km高处至地面做圆柱形高斯面，如5-12题a图所示。

由于圆柱形高斯面的上底面和下底面相等，设为S,则穿过此高斯面的电通量为
由高斯定理得
Z q
E1S -E2S =-
；0
即
其中，iq为高斯面内的所有电荷的代数和1.5km
5-11题E—r关系曲
于是，
5-12题a图
高斯面内的平均电荷体密度为
（2）在地球表面附近做如5-12题b图所示的圆柱形
高斯面，高斯面的上底面S在地球表面附近，下底面S在地球内部。

上地面处的场强为 E ,并且S=S= S。

由于地球（导体）内部场强为零，设地球表面的电荷面密度为二。

通
过该高斯面的电通量为由高斯定理可得E i
由此解出
（3）地球表面的总电量为负号表示地面带负电。

5-13 随着温度的升高，一般物质依次表现为态和气态。

当温度继续升高时，气体中的大量分子烈碰撞
而离解为电子和正离子，这种主要由带电离状态为物质的第四态，处于该态的物质称等离子体。

放电时形成的等离子体圆柱内的体电荷分布有如下关系5-12题b图
固态、液
将由于激
子组成的
如果气体
其中，0为电荷体密度，‘°为圆柱轴线上的嘉值，a为常量，求电场强度分布
解：在等离子体中取如5-13题图所示的圆柱形闭合高斯面，高斯面的半径为r，高为L。

由于高斯面内的电荷分布是不均匀的，为了求出高斯面内的总电荷，在其中取一个半径为r，厚为dr，长为L的带电薄层，如5-13题图中阴影部分所示。

该带电薄层上所
带的电量即为
于是，高斯面内所包围的总电量
由于穿过高斯面的电通量为
由高斯定理可写出
将前述的q带入，化简后可得
5-14测定土壤颗粒所带电量的方法之一是沉降该法
中，使土壤颗粒在已知黏滞系数：:的液体中沉降，其
收尾速度（即最后的稳定速度）V1。

然后，再通过极压施加一个如5-14题图所示的静电场（假定土壤颗粒5-13题图
法。

在
测出
间电
带正
电荷）。

调节电场强度E使颗粒达到新的收尾速度v2，这时有下列关系成立:
其中，r为土粒的半径，q为土粒所带电量
解：当未施加电场时带电土壤颗粒在重力作用
下沉降，根据斯托克斯公式可得施加电场
后，土壤颗粒的受力为将以上两式联立求解，
可得证毕。

5-15为了将混合在一起的带负电荷的石英
请证明这个关系
5-14
题图颗粒和带
正电荷的磷酸盐颗粒分开，可以使之沿重力方向垂直通过一个电场区域来达到如果电场强度E -5 105N U C‘，颗粒带电率为10%LKg‘，并颗粒
进入电场区域的初速度为零。

欲将石英颗粒和磷颗粒
分离100 mm以上，问颗粒通过电场区域的距离应为多少？该题说明了在农业上很有实用价值的静电技术的原理。

解：正、负带电颗粒在运动过程中受水平
qE
mg mg
“ 酸
至
分
h
方
盐
少
选
向O
+
+
5-15题图
的电场力和竖直方向的重力作用，其运动轨迹如5-15题图所示
对带正电荷的颗粒，满足
对带负电荷的颗粒，满足
设颗粒带电率；「，质量为m .的颗粒带电为q . = m匚，由此可算出同理可算出
于是，颗粒的水平位移为丄=」at2
2 2
竖直位移为h = lgt2
2a
联立上两式消去时间t可得带电颗粒通过电场距离为
5-16水分子的电偶极矩为6.13 10-30C m，如果这个电偶极矩是由一对点电荷土e引起的（e为电子电量），那么，它们的距离是多少？如果电偶极矩的取向与强度为106N C-1的电场方向一致，要使这个电偶极矩倒转成与电场相反的方向需要多少能量（用eV表示）?
解：（1）由电偶极矩的定义得
（2）若使电偶极矩倒转需要能量为A,则
5-17 一个细胞的膜电势差为50mV膜厚度为30x10」0m。

若假定膜中场强为匀强电场，问电场强度为多大？当一个钾离子（KJ通过该膜时需作多少功？
解：依题意得
若令一个钾离子（K ）通过该膜时需做功A,则
5-18动物的一些神经纤维可视为半径10*m、长0.1 m的圆柱体，其内部的电势要比周围流体的电势低0.09V，有一层薄膜将神经纤维和这些流体隔开。

存在于薄膜上的Na •泵（一种运输Na •的特种蛋白）可以将Na •输送出纤维。

若已知每平方厘米薄膜每秒钟可送出 3
10A1mol的Na •，问（1）每小时有多少库仑的电荷被送出纤维？（2）每小时必须反抗电场力作多少功？
解：（1）已知圆柱体半径r=10^cm，圆柱体长度L=10cm，t^3600s， v=3 10J1mol s-1 cm-2，阿伏伽德罗常数N = 6.02 1023，每个电荷的电量e=1.6 10‘9C。

因此，每小时被送出神经纤维的电荷量为
（2）每小时反抗电场力做功 A
A = qU = 6.54 X 10-3X 0.09 = 5.89 X 10-4（ J ）
5-19计算练习5-11中I、U、川区域中的电势。

解：（1）根据题5-4所得I、U、川区域中的电场分布，可得区域I的电势为
由此解得
区域U的电势分布为
区域川的电势分布为
（2）若Q1 = Q，贝U区域I的电势为
区域U的电势为
区域川的电势为
5-19核技术应用中常用的盖革一米勒（G-M）计数管，其外形结构如5-21题图所示，它实质上是一个用玻璃圆筒密封的共轴圆柱形电容器。

设导线（正极）的半径为a，金属圆筒（负极）的半径为R，正、负极之间为真空。

当两极加上电压U时，求导线附近的电场强
度和金属圆筒内表面附近的电场强度。

解：设正极的线电荷密度为•，作半径为r （a ::: 一： R ）长度为L 的圆柱高斯面，据高斯 定理得距轴心为处的场强为：
E =
2二；0r
两极间的电压为
R dr In —
'a
2二；0r 2二；0 a 在内外圆柱体之间做半径r （ R c r £ R 2）， 长度为
I 的圆柱闭合高斯面，应用高斯定理可得距轴心为 r
处场强为
2二；°r
于是，两圆柱间电压为
R2
E ・d r
In 昱 円
2二；0 R 1
由①式解得凳=2二;°rE，将其带入②式，可得 即
则两个圆柱体的空隙中离轴为r 处（R ：：： r ::: R 2）的电势与外圆柱体之间的电势差 为
于是，两个圆柱体的空隙中离轴为r 处（R 1 :: r ::: R 2）的电势为 类似地，两个圆柱体的空隙中离轴为r 处（R ：：： r ::: R2）的电势与内圆柱体之间的电 势差为
于是，两个圆柱体的空隙中离轴为r 处（R 1 :: r ::: R 2）的电势也可表示为
5-21动物体是利用叫做轴突（axon ）的神经纤维中的电脉冲传递信息的。

在结构上轴突 由
圆筒形细胞膜组成。

设圆筒形细胞膜的内半径为R A ，外半径为R B ,细胞膜的相对介电常 量为，求轴突单位长度的电容。

dr =
联立①②式得 令r = a 得正极附近
的场强为 令r = R 得圆筒表面附近的场强为
5-20同轴电缆是由两个很长 此绝缘的同轴金属圆柱体构成，如 题图所示。

设内圆柱体的电势为 半径为R ;外圆柱体的电势为U 2， 柱体的内半径为R 2，两圆柱体之 空气。

求两个圆柱体的空隙中离轴为 （R ::: r ::: R2）的电势。

金属圆筒（一）
5-22题图
且彼
5-22
U i , 外圆 间为
解：（1）设内圆柱体单位长度的电量为 玻璃
…5-21 ■
导线
2二；
0 ；r l
ln
于是，轴突单位长度的电容为
5-22 一个球形电容器，内外壳半径分别为 R 和R 2，两极板间电介质的相对介电常量 为；，球形电容器内极板所带电量为q ，试计算这一电容器所储存的能量。

解：在两极板间以半径r 作一个闭合球形高斯面，由高斯定理可得两极板 之间的场强为 电容器两极板间的电压为 则电容器所储存的能量为 或
5-23两个同轴圆柱面长为I ，半径为R 和R 2（ R C R 2，且R ,、R 2远小于I ），两圆柱 面间充满空气。

（1）当内外柱面分别均匀带电和-Q 时，求圆柱面间储存的电场能。

（2） 由能量关系推算此电容器的电容。

解：（1）由5-15题可知两个圆柱面间场强为
Q 2
两圆柱面间电压为
—I n 邑 2二；0I
于是，两圆柱面之间储存的电场能为
1
⑵由W
-2
CU 2
得电容器电容为
练习题六
6-1在稳恒条件下通过一个电流管任意两个截面（面积不等）的电流强度（ A ）
A.相等
B. 不相等
C.截面大的电流强度大，截面小的电流强度小 6-2直径为2mm 勺导线，如果流过它的电流强度是 阻率p 二3.14 10* Q m ，则导线内部的场强为应是（
D.以上说法都不对
20A,且电流密度均匀，导线的电
D ）。

1 1
A. 2.0 V m
B.1.0 V m
C.0.5 V m
D.0.2 V m '
分析:
U _ I R 巴—I ?
T _「石—(d ¥
H — |
2)
6-3大气中由于存在少量的自由电子和正离子 微
弱的导电性。

已知地球表面附近空气的电导率 匚=3
104^1_1 m _1,场强 E =100NC‘，地球半径
6-3题图
解：设分布在圆筒形细胞膜内半径上单位长度的电量为 为空气时，由习题5-15可知，圆筒形细胞膜内外的电压为 细胞电容为
其中，I 为圆筒形细胞膜的长度。

当细胞膜的相对介电常量为 ；「时，细胞电容为
‘当内外半径之间 5-25题图
而具有
R = 6 106
m 。

若将大气电流视为恒定电流，计算由大气流向地球表面的总电流强度
解：已知10」4门」m J
，E =100N C 」。

在地球表面上取一个微元曲面 dS ，如 图6-1所示。

则由大气流向曲面dS 的电流强度为
（1）对上式积分可得大气流向地球表面的总电流强度为 因为 地球表面积为 于是，大气流向地球表面的总电流为
6-
4截面积为10mm 勺铜线中，允许通过的电流是 60A,试计算铜线中的允许电流密 度。

设每个铜原子贡献一个自由电子，可算得铜线中的自由电子密度是
8.5 1028
m^，试
计算铜线中通有允许电流时自由电子的漂移速度。

解：铜线截面积S=10mm 2 =1.0 10_5m 2，允许通过的电流I = 60A ，则铜线中允许电 流密度 又知铜线中的自由电子密度n = 8.5 1028m‘，则铜线中通有允许电流时自由电子的漂移速 度为
6-5有一个灵敏电流计可以测量小到10」°A 的电流，当铜导线中通有这样小的电流
时，每秒内有多少个自由电子通过导线的任一个截面？如果导线的截面积是 1mm 2
，自由
电子的密度是8.5 1028 m'，自由电子沿导线漂移1cm 需要多少时间?
解：设导线中单位体积的电子数为n ,导线截 电子运动的平均速度为V ，则t 时间内通过截面S N 应为如图6-2所示的圆柱体内的电子数，即
由于I 二neVS ,即n = I （eVS ），将其带入上式得
N = n SVt = J SVt =--
eVS
e
I =10J0A ，t = 1s ,则每秒内通过导线任一个截面的自由
电子数为
又知导线的截面积S -1mm 2 -1 10^m 2，自由电子的密度n -8.5 1028m"，则电子的平 均漂移速率为
于是，自由电子沿导线漂移I =1c m 需要的时间为
6-6 一个铜棒的截面积为20 80mm 2
，长为2.0m ，两端的电势差为50mV 。

已知铜 的电导率
=5.7 107s m 4，铜内自由电子的电荷体密度为1.36 1010
C m^。

求：（1）该 铜棒的电阻；（2）电
流；（3）电流密度；（4）铜棒内的电场强度；（5）铜棒中所消耗的功 率；（6）棒内电子的漂移速度。

解：铜棒的截面积 S=20 80mm 2 =1.6 10“m 2，长 I ，电导率 = 5.7 107s m^，
则
（1） 铜棒电阻为
（2） 由于铜棒两端的电势差为U =50mV=5 10^V ，则电流为 （3） 由电流密度的定义可知电流密度为 （4） 棒内的电场强度 （5） 铜棒中所消耗的功率为
面积为S ， 的电
由已知条件可知，铜导线中电流
6-5题图。