2022-2023学年河南省名校联盟高二上学期开学考试数学试题(解析版)

2022-2023学年河南省名校联盟高二上学期开学考试数学试
题
一、单选题
1．为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中，高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ） A ．简单随机抽样 B ．按性别分层随机抽样 C ．按学段分层随机抽样 D ．其他抽样方法
【答案】C
【分析】根据三个学段学生的视力情况有较大差异得到使用分层抽样，得到答案. 【详解】因为男女生视力情况差异不大，而学段的视力情况有较大差异，所以应按学段分层抽样 故选：C
2．设集合{}
{}2
|40,|20A x x B x x a =-≤=+≥，若{}|12A B x x ⋂=-≤≤，则=a （ ）
A ．4-
B ．2-
C ．2
D ．4
【答案】C
【分析】解一元二次及一元一次不等式求集合A 、B ，根据交集的结果有12
a
-=-，即可得结果.
【详解】{}
2
|40{|22}A x x x x =-≤=-≤≤，
{}|20{|}2
a
B x x a x x =+≥=≥-，
{}|12A B x x ⋂=-≤≤，则12
a
-
=-，解得2a =. 故选：C
3．已知(1i)2z -=，其中i 为虚数单位，则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
【答案】A
【分析】由复数除法求得z 后可得其对应点坐标，从而得出正确选项． 【详解】由题意22(1)2(1)11(1)(1)2
i i z i i i i ++=
===+-+-，对应点为(1,1)，在第一象限．
故选：A
4．在ABC 中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，1a =
，b =45C =︒，则边c 等于（ ） A ．1 B
C
D ．2
【答案】A
【分析】由余弦定理求出答案.
【详解】
由余弦定理得：2222cos 121c a b ab C =+-=+-=，故1c =. 故选：A
5．已知向量(1,2)=-a ，(,4)b m =，且//a b ，那么a b -等于（ ） A ．(4，0) B ．(0，4) C ．(3，－6) D ．(－3，6)
【答案】C
【分析】根据共线向量的性质，结合平面向量减法的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】解析 ∵//a b ，∴λa b 则1,24,m λλ=⎧⎨-=⎩得1,
22,
m λ⎧
=-⎪⎨
⎪=-⎩ ∴(2,4)b =-，
∴a b -＝(1，－2)－(－2，4)＝(3，－6). 故选：C
6．设,a b ∈R ，则“2a <且2b <”是“4a b +<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行推理即可.
【详解】若2a <且2b <，则4a b +<，充分性成立；取1,3a b =-=，则4a b +<成立，但“2a <且2b <”不成立，必要性不成立.因此“2a <且2b <”是“4a b +<”的充分不必要条件. 故选：A.
7．设有两条不同的直线m n ､和两个不同的平面αβ､，则下列命题正确的是（ ） A ．若,m n αα∥∥，则m n ∥
B ．若,,,m n m n ααββ⊂⊂∥∥，则αβ∥
C ．若,m n m α⊂∥，则n α∥
D ．若,m αβα⊂∥，则//m β 【答案】D
【分析】根据线面平行的性质与判定逐个选项分析即可.
【详解】若,m n αα∥∥，则,m n 可以平行､相交或异面，故A 错误； 若,,,,m n m n m ααββ⊂⊂∥∥与n 相交，则αβ∥，故B 错误； 若,m n m α⊂∥，则n α∥或n ⊂α，故C 错误； 若,m αβα⊂∥，则//m β，故D 正确. 故选：D.
8．甲、乙两人有三个不同的学习小组,,A B C 可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组（两人参加各小组的可能性相同），则两人参加同一个学习小组的概率为（ ） A ．13
B ．14
C ．15
D ．16
【答案】A
【分析】根据题意，求得所有参加学习小组的情况，找出满足题意的情况，再根据古典概型的概率计算公式即可求得结果.
【详解】根据题意，甲乙两人所有可能的参加情况有如下9种： ,,,,,,,,AA AB AC BA BB BC CA CB CC ，
两人参加同一个学习小组的情况有如下3种： ,,AA BB CC ，
故两人参加同一个学习小组的概率3193
P ==. 故选：A .
9．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1,BB BC P =为11C D 的中点，则二面角1B PC C
--的大小为（ ）
A ．30
B ．45
C ．60
D ．90
【答案】B
【分析】由二面角的定义证明1BC C ∠即为二面角1B PC C --的平面角，求出此角即得． 【详解】如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1PC ⊥平面11BCC B ，1CC ⊂平面11BCC B ，1BC ⊂平面11BCC B ，所以11PC BC ⊥，且11PC CC ⊥，所以1BC C ∠即为二面角1B PC C
--的平面角，又1BB BC =，易得145BC C ∠=. 故选：B.
10．将函数()sin f x x =的图象上各点横坐标变为原来的1
2，纵坐标不变，再将所得图象
向左平移
12
π
个单位长度，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为（ ） A ．()1
sin 2
12g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
B ．()1
sin 2
24g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
C ．()sin 212g x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
D ．()sin 26g x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
【答案】D
【分析】先根据周期变换求解出第一步变换后的函数解析式，然后根据平移变换得到
()g x 的解析式
【详解】解：将()sin f x x =图象上各点横坐标变为原来的1
2，得sin2y x =，再向左平移
12π
个单位长度后得()sin 2sin 2126g x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
， 故选：D.
11．已知甲，乙，丙三人去参加某公司面试，他们被该公司录取的概率分别是111,,643
，
且三人的录取结果相互之间没有影响，则他们三人中至少有一人被录取的概率为（ ） A ．
1
72
B ．
572
C ．
512
D ．
712
【答案】D
【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式可先求三人都没有被录取的概率，再由对立事件的概率求至少一个被录取的概率.
【详解】因为甲，乙，丙三人被该公司录取的概率分别是111
,,643
，且三人录取结果相
互之间没有影响，所以他们三人都没有被录取的概率为1115
11164312
⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
，故他
们三人中至少有一人被录取的概率为5711212
-=. 故选:D
12．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，在(],0-∞上是增函数，且()20f =，则满足
()()
0f x f x x
+->的x 的取值范围是（ ）
A ．(),2-∞
B ．()2,+∞
C ．()(),20,2-∞-
D ．()2,2-
【答案】C
【分析】根据偶函数的区间单调性判断()f x 的区间符号，再把不等式转化为()0xf x >，进而等价转化为不等式组求解集即可.
【详解】因为()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，()20f =， 所以函数()f x 在()0,+∞上单调递减，()()220f f -==， 当()()2,,2x ∞∞∈+⋃--时()0f x <；当()2,2x ∈-时()0.f x >
不等式
()()
0f x f x x +->，即()0xf x >等价于0()0x f x >⎧⎨>⎩或0()0x f x <⎧⎨<⎩
，解得2x <-或
02x <<.
所以不等式对应x 的范围为()(),20,2-∞-.
故选：C
二、填空题
13．已知扇形的圆心角为150︒，面积为53
π
，则该扇形所在圆的半径为___________. 【答案】2
【分析】通过扇形的面积公式即可得到答案 【详解】解：因为51506π︒=，所以扇形的面积为221552123
r r ππ
α==，
所以24r =，即2r =， 故答案为：2
14．不等式()()210x x +->的解集为___________. 【答案】()2,1-
【分析】解一元二次方程求解集即可.
【详解】由()()210x x +->等价于()()210x x +-<，可得21x -<<. 故答案为：()2,1-
15．如果1x ，2x ，3x ，4x 的方差是1
3
，则13x ，23x ，33x ，43x 的方差为___________.
【分析】根据线性变化后数据间方差的关系计算方差．
【详解】因为1x ，2x ，3x ，4x 的方差是1
3，则13x ，23x ，33x ，43x 的方差为21333
⨯=．
故答案为：3．
16．在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面
,3,90,2ABC PA PB AB BAC AC ∠=====，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为
___________. 【答案】8π
【分析】由题意可确定球心的位置在过BC 的中点垂直于平面ABC 的直线上，继而求得外接球的半径，即可求得答案.，
【详解】如图，取AB 的中点,E BC 的中点D ，连接PE ,
由，3PA PB AB ===PAB △是等边三角形，则PE AB ⊥.
因为平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ⋂平面,ABC AB PE =⊂平面PAB ， 所以PE ⊥平面ABC ，
又ED ⊂平面ABC ，所以PE ED ⊥. 过D 作OD ⊥平面ABC ，则OD PE ∥.
因为90BAC ∠=，即BC 为球的截面圆的直径， 所以三棱锥P ABC -的外接球的球心在DO 上， 设球心为O ，连接,OB OP ，设外接球半径为R ， 由已知2223377
3,2(3)7,24
PE BC BD OD R =
==+===-在直角梯形PEDO 中，2
222
1371,1,2224ED AC R R R ⎛===+-∴= ⎝ 所以三棱锥P ABC -外接球的表面积224π4π(2)8πS R ==⨯=， 故答案为：8π
17．已知幂函数()()231222
33m m f x m m x ++
=-+为奇函数.
(1)求函数()f x 的解析式；
(2)若()()132f a f a +<-，求a 的取值范围.
【答案】(1)()3
f x x =
(2)2,3⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭
【分析】（1）根据题意得出2331m m -+=，求得1m =或2m =，代入解析式，结合()f x 为奇函数，即可求解；
（2）由（1）得到()f x 在R 上为增函数，不等式转化为132a a +<-，即可求解. 【详解】(1)解：由题意，幂函数()()231
2
22
33m m f x m m x
++
=-+，
可得2331m m -+=，即2320m m -+=，解得1m =或2m =， 当1m =时，函数()31
1322
f x x x ++==为奇函数，
当2m =时，()2115232
2
f x x
x ++
==为非奇非偶函数，
因为()f x 为奇函数，所以()3
f x x =.
(2)解：由（1）知()3
f x x =，可得()f x 在R 上为增函数，
因为()()132f a f a +<-，所以132a a +<-，解得2
3
<a ， 所以a 的取值范围为2,3⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭.
18．已知,αβ为锐角，()sin ααβ=-=(1)求sin2α的值； (2)求tan β的值. 【答案】(1)4
5
；
(2)7
【分析】（1）先利用22sin cos 1αα+=和α的范围求cos α=，接着利用二倍角公式即可得到答案；
（2）先利用()sin αβ-的值算出()cos αβ-和()tan αβ-的值，再通过第（1）问算出
tan α，最后利用()βααβ=--即可得到答案
【详解】(1)因为22sin cos 1αα+=，且sin α=所以2
1cos 5α=，
又α为锐角，所以cos α， 因此4
sin22sin cos 5
ααα==
； (2)因为,αβ为锐角，所以,22ππαβ⎛⎫
-∈- ⎪⎝⎭
，
又因为()sin αβ-=
所以()cos αβ-== 因此()()
()sin 1tan cos 3
αβαβαβ--=
=--，
因为cos αα=
=
所以sin tan 2cos α
αα
=
=， 因此()()()
tan tan tan tan 71tan tan ααββααβααβ--⎡⎤=--=
=⎣⎦+-
19．已知向量,a b 满足()
3,2,6a b a a b ==⋅-=. (1)求2a b -；
(2)若()()
a b a b λ+⊥+，求实数λ的值.
【答案】(2)12
7
-
【解析】（1）
()
2
63a a b a a b a b ⋅-=-⋅=⇒⋅=.
()
2
22
2244912a b a b a a b b -=
-=-⋅+=-(2)∵()(
)
a b a b λ+⊥+ ∴()()
0a b a b λ+⋅+=
化简得：2
2
(1)0a a b b λλ++⋅+= 即：93(1)40λλ+++= 解得：12
7
λ=-
【点睛】本题主要考查向量的数量积，属于基础题.在求向量的模长运算时常用结论：
()
2
a a
=
.
20．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，平面ABCD ⊥平面P AB ，E ，F 分别是线段AD ，PB 的中点，PA AB =.证明：
(1)EF ∥平面PDC ； (2)PB ⊥平面DEF . 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析
【分析】（1）根据平行四边形可证明EF DM ∥，利用线面平行判定定理求解即可； （2）根据面面垂直的性质可得AD ⊥平面P AB ，可得AD PB ⊥，再由⊥AF PB 即可得证.
【详解】(1)取PC 的中点M ，连接DM ，MF .
∵M ，F 分别是PC ，PB 的中点，
∴MF CB ∥，1
2
MF CB =.
∵E 为DA 的中点，四边形ABCD 为正方形，
∴DE CB ∥，1
2DE CB =，
∴MF DE ∥，MF DE =， ∴四边形DEFM 为平行四边形. ∴EF DM ∥，
∵EF⊂/平面PDC，DM⊂平面PDC.
∴EF∥平面PDC.
(2)∵四边形ABCD为正方形，∴AD AB
⊥.
又平面ABCD⊥平面P AB，平面ABCD平面PAB AB
=，AD⊂平面ABCD，
∴AD⊥平面P AB.
∵PB⊂平面P AB，∴AD PB
⊥.
连接AF，∵PA AB
=，F为PB中点，∴⊥
AF PB.
又AD AF A
=，AD，AF⊂平面DEF，
∴PB⊥平面DEF.
21．某校为了解高一学生周末的“阅读时间”，从高一年级中随机调查了100名学生进行调查，获得了每人的周末“阅读时间”（单位：小时），按照[)[)[]
0,0.5,0.5,1,,4,4.5分成9组，制成样本的频率分布直方图如图所示.
(1)求图中a的值；
(2)估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数；
(3)采用分层抽样的方法从[)[)
1,1.5,1.5,2这两组中抽取7人，再从7人中随机抽取2人，求抽取的2人恰好在同一组的概率.
【答案】(1)0.40
a=
(2)2.06小时
(3)3 7
【分析】（1）根据频率分布直方图中小长方形的面积之和等于1即可求出结果；（2）根据中位数的概念设出中位数，然后列出方程即可求出结果；
（3）根据古典概型的计算公式即可求出结果.
【详解】(1)由题意，高一学生周末“阅读时间”在[)[)[]0,0.5,0.5,1,,4,4.5的频率分别为0.04,0.08,0.15，0.5,0.25,0.15,0.07,0.04,0.02a .
由()10.040.080.150.250.150.070.040.020.5a -+++++++=，得0.40a =.
(2)设该校高一学生周末“阅读时间”的中位数为m 小时.
因为前5组频率和为0.040.080.150.200.250.720.5++++=>，前4组频率和为0.470.5<，所以2 2.5m <<
由()0.5020.50.47m -=-，得 2.06m =.
故可估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数为2.06小时.
(3)由题意得，周末阅读时间在[)[)1,1.5,1.5,2中的人分别有15人､20人，按分层抽样的方法应分别抽取3人､4人，分别记作,,A B C 及a b c d ,,,.
从7人中随机抽取2人，这个试验的样本空间
Ω{,,,,,,,,,,,,,AB AC Aa Ab Ac Ad BC Ba Bb Bc Bd Ca Cb Cc =，,,,,,,}Cd ab ac ad bc bd cd ，共包含21个样本点，且这21个样本点出现的可能性相等，
抽取的2人在同一组包含的样本点有,,,,,,,,AB AC BC ab ac ad bc bd cd ，共9个， 故所求概率93217
p ==. 22．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知向量(),3m a b =，()cos sin n A B =,，且m n ∥．
(1)求角A 的大小；
(2)若a =ABC 周长的取值范围．
【答案】(1)3A π=
(2)(
【分析】（1）由正弦定理结合向量平行的坐标表示即可得出答案.
（2）由正弦定理可得6b c C π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，根据C 的范围求出sin 6C π⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的值域，即可求出ABC 周长的取值范围.
【详解】(1)∵m n ∥，∴sin cos 0a B A =，
由正弦定理，得sin sin cos 0A B B A =．
又sin 0B ≠，∴tan A =
由于0A π<<，∴3A π=
．
(2)∵a =3A π=
， 由正弦定理sin sin sin a b c A B C
==，得2sin b B =，2sin c C =．
23
2(sin sin )2sin sin 2sin 326b c B C C C C C C ππ⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=-+=+=+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
． ∵3A π
=，∴20,3C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则5,666C πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭． ∴1sin ,162C π⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦．
∴b c +∈，则(
a b c ++∈．
故ABC 周长的取值范围为(
．。