矩阵的可对角化及其应用

附件：分类号O15商洛学院学士学位论文矩阵的可对角化及其应用作者单位数学与计算科学系指导老师刘晓民作者姓名陈毕专业﹑班级数学与应用数学专业07级1班提交时间二0一一年五月矩阵的可对角化及其应用陈毕（数学与计算科学系2007级1班）指导老师刘晓民摘要：矩阵可对角化问题是矩阵理论中的一个重要问题，可对角化矩阵作为一类特殊的矩阵，在理论上和应用上有着十分重要的意义。

本文对可对角化矩阵做出了全面的概括和分析，并利用高等代数和线性代数的有关理论给出了矩阵可对角化的若干条件，同时也讨论了化矩阵为对角形的求解方法，最后总结出可对角化矩阵在求方阵的高次幂﹑利用特征值求行列式的值﹑由特征值和特征向量反求矩阵﹑判断矩阵是否相似﹑向量空间﹑线性变换等方面的应用.关键词：对角化；特征值；特征向量；相似；线性变换Matrix diagonolization and its applicationChen Bi(Class 1,Grade 2007,The Depart of Math and Calculation Science)Advisor:Lecturer Liu Xiao MinAbstract: Matrix diagonolization problem is an important problem in matrix theory diagonolization matrix, as a kind of special matrix, in theory and application has the extremely vital significance. This paper has made diagonolization matrix analysis and generalization, and using higher algebra and linear algebra are given the relevant theory of matrix several conditions diagonolization, also discussed the matrix of the diagonal shape of solving method, and finally summarized; diagonolization matrix in high power, the policy of using eigenvalue beg determinant by characteristic value and value, feature vector reverse matrix, judgment matrix is similar, vector Spaces, the application of linear transformation, etc.Key words: The diagonalization; Eigenvalue; Feature vector; Similar; Linear transformation引言所谓矩阵可对角化指的是矩阵与对角阵相似，而说线性变换是可对角化的指的是这个线性变换在某一组基下是对角阵（或者说线性变换在一组基下的矩阵是可对角化的），同样可以把问题归到矩阵是否可对角化。

本文主要是讨论矩阵可对角化的判定条件以及如何应用可对角化的相关性质将矩阵化为对角形，同时也总结了它在相关方面的运用。

预备知识：定义1：如下形式的n ×n 矩阵Λ= 12000000n λ⎛⎫⎪λ ⎪ ⎪⎪λ⎝⎭称为对角矩阵简记为Λ=diag(1λ,2λ,,n λ)定义2：把矩阵A （或线性变换τ）的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的首项为1的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂（相同的必须按出现的次数计算）称为矩阵A （或线性变换τ）的初等因子。

定义3：设A 是数域P 上的n 级矩阵，如果数域P 上的多项式f(x)使得f(x)=0，则称f(x)以A 为根，在以A 为根的多项式中，次数最低且首项系数为1的多项式称为A 的最小多项式。

定义4：设V 是P 上的线性空间，σ是V 上的一个变换，如果对任意α,β∈V 和k ∈P 都有()()()()()k k σα+β=σα+σβ,σα=σα，则称σ为V 的一个线性变换定义5：设σ是数域P 上线性空间V 的一个线性变换，如果存在P 中的一个数λ和V 中非零元素α使得()σα=λα，则称λ为σ的一个特征值，而称α为σ的属于特征值λ的一个特征向量，由σ的属于特征值λ的全部特征向量再添上零元素构成的集合{()},λν=α|σα=λαα∈ν构成V 的一个子空间，称为σ的一个特征子空间。

定义6:设A,B 为数域P 上的两个n 级矩阵，如果存在数域P 上的n 级可逆矩阵X 使得B=1X -AX ，则称A 相似于B ，记为A ~B ，并称由A 变到B 得变换为相似变换，称X 为相似变换矩阵。

主要结论：1.1A 可对角化当且仅当A 有n 个线性无关的特征向量。

证明：必要性设σ在基1n ε⋯ε下具有对角矩阵1n λ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪λ⎝⎭，这就是说,1,2,i i i i n σε=λε=⋯，因此1n ε⋯ε就是σ的n 个线性无关的特征向量。

反过来，如果σ有n 个线性无关的特征向量1n ε⋯ε，那么就取1n ε⋯ε为基，显然在这组基下σ的矩阵是对角矩阵。

推论1.1.1如果在n 维线性空间V 中，线性变换σ的特征多项式在数域P 中有n 个不同的根，即σ有n 个不同的特征值，那么σ在某组基下的矩阵是对角形的。

推论1.1.2在复数域上的线性空间中，如果线性变换σ的特征多项式没有重根，那么σ在某组基下的矩阵是对角形的。

例：已知σ在一组基下的矩阵为3452A ⎛⎫=⎪⎝⎭，试问A 是否可对角化？若能，写出相应的基变换的过渡矩阵T 。

解：由于()()347252λ--λE -A ==λ-λ+-λ-所以特征值为122λ=7,λ=-。

当1λ=7时，解方程组12440550x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求得它的基础解系是11⎛⎫⎪⎝⎭，因此对应的的1λ=7的特征向量为112ξ=ε+ε。

当22λ=-时，解方程组12540540x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求得它的基础解系是45⎛⎫⎪-⎝⎭，因此22λ=-对应的特征向量为2124ξ=ε-5ε。

综上可知σ的特征值为7，-2对应的特征向量为12ξ,ξ，又()()121214,15⎛⎫ξ,ξ=εε ⎪-⎝⎭，即过渡矩阵T=1415⎛⎫ ⎪-⎝⎭且有154341470991152150299T AT -⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭2.1.A 可对角化当且仅当特征子空间维数之和为n.证明：必要性设σ所对应的矩阵可对角化，即存在V 的一组基12n α,α,⋯α，使σ在这组基下的矩阵为11t r t r E E λ⎛⎫⎪⎪ ⎪λ⎝⎭。

12t λ,λ⋯λ互不相同，显然12r α,α,⋯α1V λ∈，⋯，12tttn r n r n V -+-+λα,α⋯α∈，对于任一向量V α∈，则111111t t r r n r n r n n -+-+α=χα++χα++χα++χα12t=ξ+ξ++ξ这里11111r r V ξ=χα++χα∈，⋯，11t t t n r n r n n V-+-+ξ=χα++χα∈于是1t V V V λλ=++。

下证11,r α⋯α就是1V λ的一组基，显然只需证每个与特征根1λ相应的特征向量都可由11,r α⋯α线性表出，先将α分解，即12t α=ξ+ξ++ξ，12t α-ξ=ξ++ξ如果10α-ξ=，那么α是σ的属于特征根1λ的特征向量，并且2,t ξξ不能全为零。

设其中只有1,k i i ξξ0=，1ki i 是{}2,3,t ⋯中的k 个元素，那么11k i i α-ξ=ξ++ξ，这显然矛盾，故10α-ξ=即11111r r α=ξ=χα++χα。

同理可证与2λ相应的一组基向量2221,r r r ++α⋯α是2V λ的一组基，⋯，与tV λ相对应的一组基向量1,tn r n-+αα是V 的一组基，故V=12t V V V λλλ⊕⊕⊕，即V 的维数等于各特征子空间的维数之和。

充分性取(1,2,)iV i t λ=⋯的一组基1,111r α,⋯α且σ在这组基下的矩阵为1ir E λ，则1,111r α,⋯α1,rtt t ,⋯,α,⋯α为V 的一组基，从而σ在此基下的矩阵为11t r t r E E λ⎛⎫⎪⎪ ⎪λ⎝⎭，故σ可对角化，即σ所对应的矩阵可对角化。

例设A=1001011001101001⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭，试判断A 是否可对角化？若能，则求出可逆矩阵T 使A 成对角形。

解：A的特征多项式()22100101102011011E A λ--λ--λ-==λλ--λ--λ-得12λ=（二重），20λ=（二重）是A 的两个互异的特征根，又有特征矩阵1210011001011001100110011010011001E A E A ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--- ⎪ ⎪λ-=,λ-= ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭。

秩均为2，易得()()()()12210E A E A E A E A λ-λ-=λ-λ-=，令123410100101,,,01011010-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪α=α=α=α= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

则12,αα为A 的属于2λ=0的所有线性无关的特征向量，34,αα为A 的属于1λ=2的所有线性无关的特征向量。

令T= ()123410100101,,,01011010-⎛⎫ ⎪-⎪αααα= ⎪-- ⎪--⎝⎭，则有12000020000000000T AT -⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭3.1.A 可对角化当且仅当A 的所有重特征值对应的线性无关的特征向量的个数等于其重数。

证明：若σ所对应的矩阵可对角化，则有V=12t V V V λλλ⊕⊕⊕，这里12,,t λλ⋯λ是σ的所有互不相同的特征根，取每个iV λ的一组基，1,2,i t =⋯，合起来就是V 的一组基，那么σ在这组基下的矩阵显然是对角形。

A=11t r t r E E λ⎛⎫⎪⎪ ⎪λ⎝⎭。

于是σ的特征多项式为()()11()t rrt f x xE A x x =-=-λ⋯-λ，显然()f x 的根都在F 内，且每个特征根i λ的重数恰是iV λ的维数，必要性得证。

反之，若设12,,t λλ⋯λP ∈是σ的特征多项式的全部根，它们的重数分别设为12,,t r r r ⋯，那么12t r r r n ++⋯+=，取每个V 的一组基1,riii α,⋯,α，合起来凑成一个含有n 个向量的向量组12,,n αα⋯α，从而是V 的一组基，故σ在这组基下的矩阵为对角阵。