矩阵的可对角化及其应用

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分类号O15

商洛学院学士学位论文矩阵的可对角化及其应用

作者单位数学与计算科学系

指导老师刘晓民

作者姓名陈毕

专业﹑班级数学与应用数学专业07级1班

提交时间二0一一年五月

矩阵的可对角化及其应用

陈毕

（数学与计算科学系2007级1班）

指导老师刘晓民

摘要：矩阵可对角化问题是矩阵理论中的一个重要问题，可对角化矩阵作为一类特殊的矩阵，在理论上和应用上有着十分重要的意义。本文对可对角化矩阵做出了全面的概括和分析，并利用高等代数和线性代数的有关理论给出了矩阵可对角化的若干条件，同时也讨论了化矩阵为对角形的求解方法，最后总结出可对角化矩阵在求方阵的高次幂﹑利用特征值求行列式的值﹑由特征值和特征向量反求矩阵﹑判断矩阵是否相似﹑向量空间﹑线性变换等方面的应用.

关键词：对角化；特征值；特征向量；相似；线性变换

Matrix diagonolization and its application

Chen Bi

(Class 1,Grade 2007,The Depart of Math and Calculation Science)

Advisor:Lecturer Liu Xiao Min

Abstract: Matrix diagonolization problem is an important problem in matrix theory diagonolization matrix, as a kind of special matrix, in theory and application has the extremely vital significance. This paper has made diagonolization matrix analysis and generalization, and using higher algebra and linear algebra are given the relevant theory of matrix several conditions diagonolization, also discussed the matrix of the diagonal shape of solving method, and finally summarized; diagonolization matrix in high power, the policy of using eigenvalue beg determinant by characteristic value and value, feature vector reverse matrix, judgment matrix is similar, vector Spaces, the application of linear transformation, etc.

Key words: The diagonalization; Eigenvalue; Feature vector; Similar; Linear transformation

引言

所谓矩阵可对角化指的是矩阵与对角阵相似，而说线性变换是可对角化的指的是这个线性变换在某一组基下是对角阵（或者说线性变换在一组基下的矩阵是可对角化的），同样可以把问题归到矩阵是否可对角化。本文主要是讨论矩阵可对角化的判定条件以及如何应用可对角化的相关性质将矩阵化为对角形，同时也总结了它在相关方面的运用。

预备知识：定义1：如下形式的n ×n 矩阵Λ= 120

00000n λ⎛⎫

⎪λ ⎪ ⎪

⎪λ⎝⎭

称为对角矩阵简记为Λ=diag(1λ,2λ,

,n λ)

定义

2：把矩阵A （或线性变换τ）的每个次数大于零的不

变因子分解成互不相同的首项为1的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂（相同的必须按出现的次数计算）称为矩阵A （或线性变换τ）的初等因子。

定义3：设A 是数域P 上的n 级矩阵，如果数域P 上的多项式f(x)使得f(x)=0，则称f(x)以A 为根，在以A 为根的多项式中，次数最低且首项系数为1的多项式称为A 的最小多项式。

定义4：设V 是P 上的线性空间，σ是V 上的一个变换，如果对任意α,β∈V 和k ∈P 都有()()()()()k k σα+β=σα+σβ,σα=σα，则称σ为V 的一个线性变换

定义5：设σ是数域P 上线性空间V 的一个线性变换，如果存在P 中的一个数λ和V 中非零元素α使得()σα=λα，则称λ为

σ的一个特征值，而称α为σ的属于特征值λ的一个特征向量，

由σ的属于特征值λ的全部特征向量再添上零元素构成的集合{()},λν=α|σα=λαα∈ν构成V 的一个子空间，称为σ的一个特征子空间。

定义6:设A,B 为数域P 上的两个n 级矩阵，如果存在数域P 上的n 级可逆矩阵X 使得B=1X -AX ，则称A 相似于B ，记

为A ~B ，并称由A 变到B 得变换为相似变换，称X 为相似变换矩阵。

主要结论：

1.1A 可对角化当且仅当A 有n 个线性无关的特征向量。 证明：必要性

设σ在基1n ε⋯ε下具有对角矩阵1

n λ⎛⎫ ⎪

⎪ ⎪λ⎝

⎭

，这就是说,1,2,i i i i n σε=λε=⋯，因此1n ε⋯ε就是σ的

n 个线性无关的特征向

量。反过来，如果σ有n 个线性无关的特征向量1n ε⋯ε，那么就取1n ε⋯ε为基，显然在这组基下σ的矩阵是对角矩阵。 推论1.1.1如果在n 维线性空间V 中，线性变换σ的特征多项式在数域P 中有n 个不同的根，即σ有n 个不同的特征值，那么σ在某组基下的矩阵是对角形的。

推论1.1.2在复数域上的线性空间中，如果线性变换σ的特征多项式没有重根，那么σ在某组基下的矩阵是对角形的。

例：已知σ在一组基下的矩阵为3452A ⎛⎫

=

⎪⎝⎭

，试问A 是否可

对角化？若能，写出相应的基变换的过渡矩阵T 。

解：由于

()()34725

2

λ--λE -A =

=λ-λ+-λ-所以特征值为

122λ=7,λ=-。当1λ=7时，解方程组12440550x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫

= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭

⎝⎭，求得它的基础解系是11⎛⎫

⎪⎝⎭

，因此对应的的1λ=7的特征向量为112ξ=ε+ε。当