(试题和答案)九年级数学上学期学力调研(开学考试)数学试题

九年级数学上学期学力调研（开学考试）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．0x ≥
B ．1≥x
C ．1x >
D ．0x ≥且1x ≠ 2．已知△ABC 的三边分别是6，8，10，则△ABC 的面积是（ ）
A ．24
B ．30
C ．40
D ．48
3．某市6月份日平均气温统计如图所示，则在日平均气温这组数据中，众数和中位数分别是（ ）
A ．21，21
B ．21，21.5
C ．21，22
D ．22，22 4．下列命题正确的是（ ）
A ．有一个角是直角的四边形是矩形；
B ．有三个角是直角的四边形是矩形；
C ．对角线相等的四边形是矩形；
D ．对角线互相平分的四边形是矩形；
5．不论实数k 取何值，一次函数y=kx-3的图象必过的点坐标为（ ）
A ．(0，-3)
B ．(0，3)
C ．3(,0)2
D ．(3,2-0) 6．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点
E ，
F 分别是线段AO ，BO 的中点，若24AC BD cm +=，OAB ∆的周长是18cm ，则EF 等于（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
7．对于函数y =-x + 3 ，下列结论正确的是（）
A．当x > 4 时，y < 0 B．它的图象经过第一、二、三象限C．它的图象必经过点（-1, 3）D．y 的值随x 值的增大而增大
8．如图，O既是AB的中点，又是CD的中点，并且AB⊥CD．连接AC、BC、AD、BD，则AC,BC,AD,BD这四条线段的大小关系是（）
A．全相等
B．互不相等
C．只有两条相等
D．不能确定
9．如图，把矩形ABCD沿翻折，使点恰好落在AD边的B处，若矩形的面积为
AE BD
=，60
EFB
∠=，则线段BE的长是（）
A B．3C．2D．6
10．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离A城的距离y(千米)与甲车行驶的时间t(小时)之间的函数关系如图所示.则下列结论:
①,A B两城相距300千米；
②乙车比甲车晚出发1小时,却早到1小时；
③乙车出发后2.5小时追上甲车；
④当甲、乙两车相距50千米时,
515
44 t=或
其中正确的结论有（）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
二、填空题
11=__________．
12．在平面直角坐标系中，点()3,5P -关于y 轴对称的点的坐标是____________． 13．如图，直线12:l y x =与直线2:4l y kx =+交于点P ，则不等式24x kx >+的解集为__________．
14．某校规定学生的期末学科成绩由三部分组成，将课堂、作业和考试三项得分按1：3：6的权重确定每个人的期末成绩．小明同学本学期数学这三项得分分别是：课堂98分，作业95分，考试85分，那么小明的数学期末成绩是_____分．
15．一次函数y=kx+2（k≠0）的图象与x 轴交于点A （n ，0），当n ＞0时，k 的取值范围是_____．
16．如图，矩形ABCD 的对角线AC=8cm ，∠AOD=120°，则AB 的长为_________cm ．
17．已知：如图，正方形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，E ，F 分别是边AD 、CD 上的点，若4AE cm =，3CF cm =，且OE OF ⊥，则EF 的长为__________cm ．
18．如图，//AB CD ，E ，F 分别为AC ，BD 的中点，若5AB =，3CD =，则EF 的长是__．
三、解答题
19．计算下列各题
（1）⎛÷ ⎝
（2）2-
20．如图表示的是热带风暴从发生到结束的全过程，请结合图象回答下列问题：
（1）热带风暴从开始发生到结束共经历了 个小时；
（2）从图象上看，风速在 （小时）时间段内增大的最快？最大风速是 千米/时；
（3）风速从开始减小到最终停止，平均每小时减小多少千米？
21．如图，在三角形纸片ABC 中，90513ACB BC AB ∠=︒==，，在AC 上取一点E ，以BE 为折痕，使AB 的一部分与BC 重合，点A 与BC 延长线上的点D 重合．
（2）求CE的长
22．某校为灾区开展了"献出我们的爱"赈灾捐款活动，九年级（1）班50名同学积极参加了这次赈灾捐款活动，
因不慎，表中数据有两处被墨水污染，已无法看清，但已知全班平均每人捐款38元（1）根据以上信息请帮助小明计算出被污染处的数据，并写出解答过程．
（2）该班捐款金额的众数，中位数分别是多少？
（3）如果用九年级（1）班捐款情况作为一个样本，请估计全校1200人中捐款在40元以上（包括40元）的人数是多少？
23．已知直线y＝kx+b经过点A（0，1），B（2，5）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若直线y＝﹣x﹣5与直线AB相交于点C．求点C的坐标；并根据图象，直接写出关于x的不等式﹣x﹣5＜kx+b的解集．
（3）直线y＝﹣x﹣5与y轴交于点D，求△ACD的面积．
24．如图，在ABCD中，BD AD
=，连接AE.
=，延长CB到点E，使BE BD
（1）求证：四边形AEBD是菱形；
（2）连接DE 交AB 于点F ，若DC =:1:3DC DE =，求AD 的长.
25．某公司计划组织员工外出甲、乙旅行社的服务质量相问，且对外报价都是300元/人，该公司联系时，甲旅行社表示可给每人八折优惠；乙旅行社表示可免去一人的费用，其余人九折优惠．
（1）根据题意，填写下表：
（2）设该公司此次外出有x 人，选择甲旅行社的费用为1y 元，选择乙旅行社的费用为2y 元，分别写出1y ，2y 关于x 的函数关系式
（3）该公司外出人数在什么范围内，选甲旅行社划算？
26．如图1所示，把一个含45角的直角三角板ECF 和一个正方形ABCD 摆放在一起，三角板的直角顶点和正方形的顶点C 重合，点E 、F 分别在正方形的边CB ，CD 上，连接AB 、AF .
（1）求证：AE AF =；
（2）取AF 的中点M ，EF 的中点为N ，
连接MD ，MN ，求证：MD MN =，MD MN ⊥； （3）将图2中的直角三角板ECF ，绕点C 旋转180，如图3所示，其他条件不变，则(2)中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由.
参考答案
1．C
【分析】
利用二次根式和分式有意义的条件进而分析得出答案．
【详解】
解：在实数范围内有意义， ∴0,10x x ≥->．
解得：1x >，
则x 的取值范围是：1x >．
故选：C ．
【点睛】
此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键． 2．A
【详解】
已知△ABC 的三边分别为6，10，8，由62+82=102，即可判定△ABC 是直角三角形，两直
角边是6，8，所以△ABC 的面积为1
2×
6×8=24，故选A ． 3．C
【详解】
这组数据中，21出现了10次，出现次数最多，所以众数为21，
第15个数和第16个数都是22，所以中位数是22.
故选C.
4．B
【分析】
根据矩形的判定定理逐一进行判定即可．
【详解】
A 、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故此选项不能判定是矩形；
B 、有三个角是直角的四边形是矩形，能判定是矩形；
C 、对角线相等的平行四边形是矩形，故此选项不能判定是矩形；
D 、两条对角线互相平分四边形是平行四边形，故此选项不能判定是矩形．
故选B ．
【点睛】
此题考查矩形的判定与性质，解题关键在于掌握矩形的判定定理：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）有三个角是直角的四边形是矩形．（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
5．A
【分析】
根据x=0时，3y =-可得出结论．
【详解】
解：∵当x=0时，3y =-，
∴不论k 取何值，函数图象必过点()0,3-，
故选：A ．
【点睛】
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
6．B
【分析】
由条件AC+BD=24cm ，根据平行四边形的性质可得出OA+OB=12cm ，由条件△OAB 的周长为18cm ，可求出AB 的长，再判断EF 是△OAB 的中位线即可得出EF 的长度．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OA=OC ，OB=OD ，
又∵AC+BD=24cm ，
∴OA+OB=12cm ，
∵△OAB 的周长是18cm ，
∴AB=6cm ，
∵点E ，F 分别是线段AO ，BO 的中点，
∴EF 是△OAB 的中位线，
∴EF=1
2AB=3cm ．
故选：B ．
【点睛】
本题考查三角形的中位线定理，解题关键是熟练掌握平行四边形的对角线互相平分，三角形中位线的判定定理及性质．
7．A
【分析】
根据一次函数的性质对各项进行解答即可．
【详解】
A. 当 x > 4 时， y < 0，正确；
B. 它的图象经过第一、二、四象限，错误；
C. 它的图象必经过点（-1, 4），错误；
D. y 的值随 x 值的增大而减小，错误；
故答案为：A ．
【点睛】
本题考查了一次函数的问题，掌握一次函数的性质是解题的关键．
8．A
【分析】
根据已知条件可判断出ACBD 是菱形，则AC,BC,AD,BD 这四条线段的大小关系即可判断．
【详解】
∵O 既是AB 的中点，又是CD 的中点，
∴,AO OB CO OD == ，
∴ACBD 是平行四边形．
∵AB ⊥CD ，
∴平行四边形ACBD 是菱形，
∴AC BC BD AD === ．
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查菱形的判定及性质，掌握菱形的判定及性质是解题的关键．
9．B
【分析】
根据题意连接BE，由矩形的性质得出AD∥BC，由平行线的性质得出∠DEF=∠EFB=60°，由翻折的性质得出∠EFB=∠EFB′=60°，∠B=∠A′B′F=90°，∠A=∠A′=90°，AE=A′E，AB=A′B′，由三角形内角和定理得出∠EB′F=60°，进而由勾股定理得出线段BE的长．
【详解】
解：连接BE，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠DEF=∠EFB=60°，
∵把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，
∴∠EFB=∠EFB′=60°，∠B=∠A′B′F=90°，∠A=∠A′=90°，AE=A′E，AB=A′B′，
∴∠EB′F=180°-∠DEF-∠EFB′=180°-60°-60°=60°，
Rt△A′EB′中，∠A′B′E=∠A′B′F-∠EB′F=90°-60°=30°，
∴B′E=2A′E，
∵AE=B'D=A′E，
∴4
AD A E AB A B E
='=''='
，,
∵矩形ABCD的面积为
∴
解得：
3
2 A E'=,
∴
3
2
AE AB
=，3
BE===．
故选：B．【点睛】
本题考查翻折的性质、矩形的性质、勾股定理、含30°角直角三角形的性质、三角形面积与矩形面积的计算等知识，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．
10．B
【分析】
观察图象可判断①②，由图象所给数据可求得甲、乙两车离开A城的距离y与时间t的关系式，可求得两函数图象的交点，可判断③，再令两函数解析式的差为50，可求得t，可判断④，可得出答案．
【详解】
解：由图象可知A、B两城市之间的距离为300km，甲行驶的时间为5小时，而乙是在甲出发1小时后出发的，且乙用时3小时，即比甲早到1小时，故①②都正确；
设甲车离开A城的距离y与t的关系式为y甲=kt，
把（5，300）代入可求得k=60，
∴y
甲=60t，
设乙车离开A城的距离y与t的关系式为y乙=mt+n，
把（1，0）和（4，300）代入可得
4300
m n
m n
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，解得
100
100
m
n
=
⎧
⎨
=-
⎩
，
∴y
乙=100t-100，
令y甲=y乙可得：60t=100t-100，解得t=2.5，
即甲、乙两直线的交点横坐标为t=2.5，
此时乙出发时间为1.5小时，即乙车出发1.5小时后追上甲车，故③错误；令|y甲-y乙|=50，可得|60t-100t+100|=50，即|100-40t|=50，
当100-40t=50时，可解得t=5
4
，
当100-40t=-50时，可解得t=15
4
，
令y甲=50，解得t=5
6
，令y甲=250，解得t=
25
6
，
∴当t=5
6
时，y甲=50，此时乙还没出发，此时相距50千米，
当t=25
6
时，乙在B城，此时相距50千米，
综上可知当t的值为5
4
或
15
4
或
5
6
或
25
6
时，两车相距50千米，故④错误；
综上可知正确的有①②共两个，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查一次函数的应用，掌握一次函数图象的意义是解题的关键，学会构建一次函数，利用方程组求两个函数的交点坐标，属于中考常考题型．
11．3
【分析】
=，进行分析求解即可．
a
【详解】
=-=．
33
故答案为：3．
【点睛】
=是解题的关键．
a
12．（-3，-5）
【分析】
根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案．
【详解】
点P（3，-5）关于y轴对称点的坐标是（-3，-5），
故答案为：（-3，-5）．
【点睛】
此题考查关于y轴对称的点的坐标，解题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x
轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
13．x＞1
【分析】
写出直线y=2x在直线y=kx+b上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】
解：不等式2x＞kx+4的解集为x＞1．
故答案为：x＞1．
【点睛】
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b 的值大于（或小于）0的自变量x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b 在x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
14．89.3
【分析】 根据加权平均数公式计算即可：112212............n n n
w x w x w x x w w w +++=
+++（其中w 1、w 2、……、w n 分别为x 1、x 2、……、x n 的权.）.
【详解】 小明的数学期末成绩是
981953856136⨯+⨯+⨯++ =89.3（分）， 故答案为89.3．
【点睛】
本题考查了加权平均数的计算，熟练掌握加权平均数的计算公式是解答本题的关键. 15．k ＜0
【解析】
分析：根据题意可以用含k 的式子表示n ，从而可以得出k 的取值范围.
详解：∵一次函数y=kx+2（k≠0）的图象与x 轴交于点A （n ，0）， ∴n=﹣2k
， ∴当n ＞0时，﹣2k
＞0， 解得，k ＜0，
故答案为k ＜0．
点睛：本题考查一次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答.
16．4.
【详解】
试题解析：∵四边形ABCD 是矩形，
∴OA=12AC ，OB=1
2BD ，BD=AC=8cm ，
∴OA=OB=4cm ，
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=4cm．
考点：矩形的性质．
17．5
【分析】
连接EF，根据条件可以证明△OED≌△OFC，则OE=OF，CF=DE=3Ccm，则AE=DF=4，
根据勾股定理得到==5cm．
【详解】
解：连接EF，
∵OD=OC，
∵OE⊥OF
∴∠EOD+∠FOD=90°
∵正方形ABCD
∴∠COF+∠DOF=90°
∴∠EOD=∠FOC
而∠ODE=∠OCF=45°
∴△OFC≌△OED，
∴OE=OF，CF=DE=3cm，则AE=DF=4，
根据勾股定理得到EF=2222
+=+=5cm．
CE CF
34
故答案为：5．
【点睛】
本题考查正方形的性质以及勾股定理，根据已知条件以及正方形的性质求证出两个全等三角形是解题关键．
18．1
【分析】
连接DE 并延长交AB 于H ，证明△DCE ≌△HAE ，根据全等三角形的性质可得DE=HE ，DC=AH ，则EF 是△DHB 的中位线，再根据中位线的性质可得答案．
【详解】
连接DE 并延长交AB 于H .
∵CD ∥AB ，
∴∠C =∠A ，
∵E 是AC 中点，
∴DE =EH ，
在△DCE 和△HAE 中，
C A CE AE
CED AEH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△DCE ≌△HAE (ASA )，
∴DE =HE ，DC =AH ，
∵F 是BD 中点，
∴EF 是△DHB 的中位线，
∴EF =12
BH ，
∴BH =AB −AH =AB −DC =2，
∴EF =1.
故答案为：1.
【点睛】
本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键
.
19．．
【分析】
(1)先把二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的除法运算即可；
(2)利用完全平方公式和平方差公式展开，然后再进行合并即可.
【详解】
(1)原式
=1；
(2)原式+2)
．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键.
20．（1）16；（2）2到5，54；（3）平均每小时减小9千米.
【分析】
（1）横轴代表时间，看最大时间即为热带风暴经历的时间；
（2）增大的最快从图像上表现为直线坡度最陡，由此可知2到5时之间增大的最快，纵坐标代表风速，纵坐标最大值即为最大风速；
（3）由图像可知，风速从10时开始减小，到16时风速为0，用风速减少量除以时间，即可得到每小时减小量.
【详解】
（1）热带风暴从开始发生到结束共经历了16个小时；
（2）从图象上看，风速在2到5（小时）时间段内增大的最快？最大风速是54千米/时；（3）风速从10时开始减小，到16时风速为0，风速减少量为54千米，
所以平均每小时减小
54
=9 1610
千米.
故答案为（1）16；（2）2到5，54；（3）平均每小时减小9千米.
本题考查利用函数图像解决实际问题，正确理解图像中横纵坐标的意义，理解问题的过程，读懂图像是解决本题的关键.
21．（1）12；（2）103
CE =
【分析】
（1）利用勾股定理计算即可；
（2）根据折叠的性质可得13AB BD ==，由ABC BCE BDE S S S ∆∆∆=+，根据三角形面积公式代入数据计算即可．
【详解】
解：（1）∵90,5,13ACB BC AB ∠=︒==，
∴12AC ，
故答案为12；
（2）根据折叠的性质可得：13AB BD ==，
∵ABC BCE BDE S S S ∆∆∆=+， ∴111512222
BC EC EC BD ⨯⨯=⨯+⨯， ∴130(513)2EC =⨯+， ∴103
CE =． 【点睛】
此题主要考查了翻折变换的性质，勾股定理，根据已知得出ABC BCE BDE S S S ∆∆∆=+是求出CE 的关键．
22．（1）被污染处的人数为11人，被污染处的捐款数为40元，见解析；（2）众数是50，中位数是40；（3）全校1200人中捐款在40元以上(包括40元)的人数是720人
【分析】
（1）利用总人数减去其余捐款数的人数可得被污染处的人数；利用总捐款数减去其余的捐款数，再除以被污染处的人数可得被污染处的捐款数；
（2）根据众数和中位数的定义可得答案；
（3）利用样本估计总体的方法计算即可．
解：（1）被污染处的人数为：50361113611-----=(人)，
被污染处的捐款数50381031563011501[()]36061140⨯-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯÷=，
答：被污染处的人数为11人，被污染处的捐款数为40元；
（2）这组数据中50出现了13次，出现次数最多，则这组数据的众数是50；
将数据从小到大依次排列，最中间的两个数据是40，40，所以中位数为()4040240+÷=；
（3）因为九年级一班捐款数40元以上(包括40元)的有30人，占60%，
因此估计全校1200人中捐款在40元以上(包括40元)的人数是120060%720⨯=（人）， 答：估计全校1200人中捐款在40元以上(包括40元)的人数是720人．
【点睛】
此题主要考查了众数、中位数、加权平均数、以及利用样本估计总体，关键是掌握各种数的概念和计算方法．
23．（1）直线AB 的解析式为y ＝2x+1；（2）x ＞﹣2；（3）△ACD 的面积为6.
【分析】
(1)利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；
(2)联立两直线解析式，解方程组即可得到点C 的坐标；根据函数图象，即可得到x 的取值范围．
(3)得出点D 的坐标，利用三角形的面积公式解答即可．
【详解】
解：（1）将点A （0，1）、B （2，5）代入y ＝kx+b ，
得：125b k b =⎧⎨+=⎩
， 解得：21
k b =⎧⎨=⎩， 所以直线AB 的解析式为y ＝2x+1；
（2）由215y x y x =+⎧⎨=--⎩
得23x y =-⎧⎨=-⎩， ∴点C （﹣2，﹣3），
由函数图象知当x ＞﹣2时，y ＝﹣x ﹣5在直线y ＝2x+1下方，
∴不等式﹣x﹣5＜kx+b的解集为x＞﹣2；
（3）由y＝﹣x﹣5知点D（0，﹣5），
则AD＝6，
×6×2＝6．
∴△ACD的面积为1
2
【点睛】
本题考查一次函数综合应用，解题的关键是掌握一次函数的性质.
24．（1）证明见解析；（2）5
AD=
【分析】
（1）利用AD＝BE和AD∥BE说明四边形AEBD是平行四边形，再借助BE＝BD，则可说明其为菱形；
（2）在菱形AEBD中，AB⊥DE，则易知CD⊥DE，在Rt△EDC中利用勾股定理求出EC 长，易知AD是EC的一半，可求结果．
【详解】
（1）证明：BD AD
=
=，BD BE
∴=
AD BE
又四边形是ABCD平行四边形
AD BE
∴
//
∴四边形AEBD是平行四边形
=
BE BD
∴四边形AEBD是菱形
（2）解：连接BD，
四边形AEBD是菱形
∴⊥
AE DE
AB BE
//
∴⊥
CD DE
DC DE=
10
DC=:1:3
DE ∴=在t R DEC ∆中，利用勾股定理可得
10EC =
BE AD BC ==
152
AD EC ∴== 【点睛】
本题主要考查了菱形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理，解决这类问题要熟记特殊四边形的判定方法，并会转化为三角形进行处理．
25．（1）2400，2700；（2）13000.8240y x x =⨯=，2270270y x =-；（3）当公司外出人数大于9人时，选甲旅行社划算，见解析
【分析】
（1）根据甲、乙旅行社的优惠方案分别计算即可；
（2）根据甲、乙旅行社的优惠方案分别列式即可；
（3）选甲旅行社划算则甲旅行社费用低于乙旅行社．
【详解】
解：（1）根据题意，甲旅行社收费为3000.8102400⨯⨯=；乙旅行社收费为
()3000.91112700⨯⨯-=，
故答案为：2400，2700；
（2）由题意可得：甲旅行社的费用：13000.8240y x x =⨯=，
乙旅行社的费用：()23000.91270270y x x =⨯⨯-=-；
（3）当12y y <时，240270270x x <- ，
解得：9x >，
∴当公司外出人数大于9人时，选甲旅行社划算．
【点睛】
本题为一次函数应用问题，考查了根据题意列函数关系式和一元一次不等式，属于基础题型．
26．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）图3中(2)中的两个结论还成立，理由见解析.
【分析】
（1）先证明BE DF =，再证明ABE ADF ≅，从而可得结论；
（2）证明11,,22
MD AF MN AE == 可得,MD MN = 证明,DAF MDA BAE ∠=∠=∠ 再证明FMN FAE ∠=∠，可得DMN DAB ∠=∠，从而可得结论；
（3）连接AE ，交MD 于点G ，由中位线的性质证明12MN AE =
，再证明ABE ADF ≅，得到AE AF =，由直角三角形的性质可得1,2
DM AF = 从而可得MD MN =，再证明3DMN DGE MAD ∠=∠=∠+∠，即可得到,MD MN ⊥ 从而可得结论．
【详解】
解（1）证明：如图1中
四边形ABCD 是正方形
AB AD BC CD ∴===，90B ADF ∠=∠= CEF 是等腰直角三角形，90C =∠
CE CF ∴=
BC CE CD CF ∴-==
即BE DF =
()ABE ADF SAS ∴≅
AE AF ∴=
（2）如图2中，
在Rt ADF 中，DM 是斜边AF 的中线
2AF DM ∴=，
,M N 分别是,AF EF 的中点，
MN ∴是AEF 的中位线
2AE MN ∴=
AE AF ∴=
DMF DAF ADM ∠=∠+∠，AM AD =
FMN FAE ∠=∠，∠=∠DAF BAE
ADM DAF BAE ∴∠=∠=∠
90DMN DMF FMN DAF BAE FAE DAB ∴∠=∠+∠=∠+∠+∠=∠=
DM MN ∴⊥
（3）如图3中(2)中的两个结论还成立
理由：连接AE ，交MD 于点G
点M 为AF 的中点，点N 为EF 的中点
//MN AE ∴，12
MN AE =
由(1)同理可证 AB AD BC CD ===，B ADF ∠=∠，CE CF =
又BC CE CD CF +=+
即BE DF =
()ABE ADF SAS ∴≅
AE AF ∴=
在Rt ADF 中
点M 为AF 的中点
12
DM AF ∴= DM MN ∴=
ABE ADF ≅
12∠∠∴=
//AB DF
同理可证：24∠∠=
34∴∠=∠
DM AM =
5MAD ∴∠=∠
54390DGE MAD ∴∠=∠+∠=∠+∠=
//MN AE
90DMN DGE ∴∠=∠=
DM MN ∴⊥
【点睛】
本题考查的是三角形外角的性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，中位线的性质，三角形全等的判定与性质，正方形的性质，掌握以上知识是解题的关键．。