福建省2012年高考数学研讨会材料 突出探究

突出探究
例1（2009福建质检文16）
对于实数,,a b c ，若在“①lg 21a c =--;②b a -=23lg ；③lg 4222a c =--;④
c a +=5lg ；⑤lg61a b c =+--”中，有且只有两个式子是不成立．．．
的，则不成
立的式子的序号是 ．
例2(2009福建质检理15）
已知椭圆1
C 的中心在原点、焦点在x 轴上,抛物线2
C 的顶点在原
点、焦点在x 轴上.小明从曲线1
C 、2
C 上各取若干个点（每条曲线上
至少取两个点），并记录其坐标()x ,y 。

由于记录失误，使得其中恰有一个点既不在椭圆1
C 上，也不在抛物线2
C 上。

小明的记录如下:
x
2
-
2
-
2
22
3
y
2
6
22-
2
23
-
据此，可推断椭圆1
C 的方程为_______________。

例3(2010福建质检文20）
已知{}n
a 为递增的等比数列，且1
3
5
{}{1062013416}a a a ⊂---，，，，，，，，，．
（Ⅰ）求数列{}n
a 的通项公式；
(Ⅱ)是否存在等差数列{}n
b ，使得12
1321
n
n n n a b a b
a b a b --++=+?+1
22n n +--对一切都成立？若存在，求出n
b ；若不存
在，说明理
由．
例4（2009考试说明样卷理19） 以F 1(0，—1),F 2(0，1）为焦点的
椭圆C 过点
P （
22
,1)．
(Ⅰ)求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)过点S （13
-，0)的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，
试问:在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得无论l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过点T ？ 若存在,求 出点T 的坐标；若不存在，请说明理由． 例5(2010福建质检文22) 已知函数2
()()x f x ax
bx c e =++在1x =处取得极小值，其图象过点(01)A ，
，且在点处切线的斜率为—1．
（Ⅰ)求()f x 的解析式；
（Ⅱ）设函数()g x 的定义域D ,若存在区间[]m n D ⊆，，使得()g x 在[]m n ，上的值域也是[]m n ，，则称区间[]m n ，为函数()g x 的“保值区间”
． （ⅰ)证明:当1x >时,函数()f x 不存在“保值区间”;
(ⅱ）函数()f x 是否存在“保值区间”？若存在，写出一个“保值区间”(不必证明);若不存在，说明理由．
例6(2011福建质检理20） 已知椭圆E 的中心在原点，焦点在
x 轴上，离心率为3
2
,且过抛物线
C:2
4x
y =的焦点F ．
（Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）过坐标平面上的过点F '作抛物线C 的两条切线1
l 和2
l ，它们
分别交抛物线C 的另一条切线3
l 于A B 、两点．
（ⅰ)若点F '恰好是点F 关于x 轴的对称点,且3
l 与抛物线C 的切点
恰好为抛物线的顶点(如图)求证:ABF '的外接圆过点F ;
（ⅱ）试探究:若改变点F '的位置，或切线3
l 的位置，或抛物线C 的开口大小，（ⅰ）中的结论是否仍然成立？由此给出一个使（ⅰ）中的结论成立的命题,并加以证明．（温馨提示：本小题将根据给出结论的一般性和综合性程度给分，但若给出的命题是假命题，本小题不得分）
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1．（2009福建单科质检理21) 已知x=O 是函数)0()()(2
≥+=a e bx x x f ax 的一个极值点。

(I)求实数b 的值；
（II ）若函数m x f y -=)(恰有一个零点，求实数m 的取值范围； (III)当a=1时,函数)(x f y =的图象在),0(*N n a a x n n ∈>=处的切线与
x 轴
的交点是（1+-n n
a a ，0)。

若1a =1,11
+=
n
n a b ，问是否存在等差数列｛n c }，使得2)12(2 (1)
2211
+-=++++n c b c b c
b n n
n 对一切*N n ∈都成立？若存在,求出数列{n
c }的通项公式；若不存在，请说明理由.
2．(2009福建质检理19） 已知椭圆C
的离心率e =
别为()1
A 2,0-,()2
A
2,0。

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设直线x my 1=+与椭圆C 交于P 、Q 两点,直线1
A P 与2
A Q 交于点S.试问：当m 变化时，点S 是否恒在一条定直线上?若是，请写出
这条直线方程,并证明你的结论；若不是，请说明理由.
3．(2009福建质检理20） 已知函数()f x ax ln x ,a R =+∈.
（Ⅰ）求函数()f x 的极值；
(Ⅱ)对于曲线上的不同两点()1
1
1
P x ,y ，()2
2
2
P x ,y ，如果存在曲线上的点()0
Q x ,y ，且1
2
x x x <<，使得曲线在点Q 处的切线∥12
P P ，则称为弦12
P P 的伴随切线。

特别地,当()()012x x 1x 01=λ+-λ<λ<时,又称为12
P P 的λ－伴随切线.
(ⅰ）求证：曲线y f (x)=的任意一条弦均有伴随切线,并且伴随切线是唯一的；
（ⅱ）是否存在曲线C ，使得曲线C 的任意一条弦均有12
-伴随切线？若存在，给出一条这样的曲线 ，并证明你的结论； 若不存在 ,说明理由。

4．（2009福建质检文22） 已知函数2()(, R)mx
f x m n x n
=
∈+在x=1处取得极值为2．
（I ）求函数)(x f 的解析式;
(II)设A 是曲线()y f x =上除原点O 外的任意一点,过OA 的中点且垂直于x 轴的直线交曲线于点B ．试问：是否存在这样的点A ，使得曲线在点B 处的切线与OA 平行?若存在，求出点A 的坐标；若不存在，说明理由；
(Ⅲ）设函数2
()2g x x
ax a =-+，若对于任意的1 R x ∈，总存在]1,1[2-∈x ，
使得2
1
()()g x f x ≤,求实数a 的取值范围.
5．（2010福建质检理20)
已知函数
()⎩⎨
⎧≥<+++-=1
,ln 1
,23x x a x c bx x x x f 的图象过坐标原点O ，且在点(—
1，f （-1））处的切线的斜率是—5．
（Ⅰ）求实数b ，c 的值;
(Ⅱ)求()x f 在区间[]2,1-上的最大值；
（Ⅲ）对任意给定的正实数a ,曲线()x f y =上是否存在两点P 、Q ，使得POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上?说明理由．
6．（2011福建质检文22) 已知抛物线:C 2
2x
py =（0p >）
上一点(,2)Q m 到其焦点F 的距离为3.
（Ⅰ）求抛物线C 的方程；
（Ⅱ）过坐标平面上的过点F '作抛物线C 的两条切线1
l 和2
l ，分别交 分别交x 轴
于,A B 两点．
(i) 若点'
F 的座标为(0,1)-，如图,求证：'
ABF ∆的外接圆过点F ；
(ii ）试探究：若改变点'
F 的位置,或抛物线C 的开口大小，（i)中的
结论是否依然成立?由此给出一个使(i ）中结论成立的命题，并加以证明.(温馨提示:本小题将根据给出结论的一般性和综合性程度给分,但若给出的命题是假命题，本小题不得分)。