高考数学一轮复习 29实际问题的函数建模课时作业 文 北师大版

第9讲实际问题的函数建模
基础巩固题组
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1)
A．一次函数模型B．幂函数模型
C．指数函数模型D．对数函数模型
解析根据已知数据可知，自变量每增加1函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．
答案 A
2．(2015·合肥调研)某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图像正确的是()
解析前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A，C图像符合要求，而后3年年产量保持不变，故选A.
答案 A
3．(2014·北京东城期末)某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为()
A．10 B．11 C．13 D．21
解析设该企业需要更新设备的年数为x，设备年平均费用为y，则x年后的设备维护费用
为2＋4＋…＋2x＝x(x＋1)，所以x年的平均费用为y＝100＋0.5x＋x（x＋1）
x＝x＋
100
x＋
1.5，由基本不等式得y＝x＋100
x＋1.5≥ 2 x·
100
x＋1.5＝21.5，当且仅当x＝
100
x，即
x＝10时取等号，所以选A.
答案 A
4．(2014·孝感模拟)物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是
()
解析由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得，曲线上的点的切线斜率应逐渐增大，故函数的图像应一直是下凹的，故选B.
答案 B
5. 某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，
B种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)
与打出电话费s(元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，
这两种方式电话费相差
()
A．10元B．20元C．30元 D.40 3
元
解析 设A 种方式对应的函数解析式为s ＝k1t ＋20， B 种方式对应的函数解析式为s ＝k2t ，
当t ＝100时，100k1＋20＝100k2，∴k2－k1＝1
5，
t ＝150时，150k2－150k1－20＝150×1
5
－20＝10.
答案 A 二、填空题 6.(2014·江西六校联考)A 、B 两只船分别从在东西方向上相距145 km 的甲乙两地开出．A 从甲地自东向西行驶．B 从乙地自北向南行驶，A 的速度是40 km h ，B 的速度是 16 km h ，经过________小时，AB 间的距离最短． 解析 设经过x h ，A ，B 相距为y km ，
则y ＝（145－40x ）2＋（16x ）2(0≤x≤29
8)，求得函数的最小
值时x 的值为25
8.
答案
258
7．(2015·长春模拟)一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为 y ＝ae －bt(cm3)，经过 8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一． 解析 当t ＝0时，y ＝a ，当t ＝8时，y ＝ae －8b ＝1
2a ，
∴e －8b ＝1
2，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，
即y ＝ae －bt ＝18a ，e －bt ＝1
8
＝(e －8b)3＝e －24b ，
则t ＝24，所以再经过16 min.
答案 16
8.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.
解析 设内接矩形另一边长为y ，则由相似三角形性质可得
x 40
＝40－y
40
，解得y ＝40－x ，所以面积S ＝x(40－x)＝－x2＋40x ＝－(x －20)2＋400(0＜x ＜40)，当x ＝20时，Smax ＝400. 答案 20
三、解答题 9．(2014·郑州模拟)某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y ＝x2
5－48x ＋8 000，已知此生产线
年产量最大为210吨．
(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；
(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
解 (1)每吨平均成本为y
x (万元)．
则y x ＝x 5＋8 000x
－48≥2 x 5·8 000
x
－48＝32， 当且仅当x 5＝8 000
x
，即x ＝200时取等号．
∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元．
(2)设年获得总利润为R(x)万元． 则R(x)＝40x －y ＝40x －x2
5＋48x －8 000
＝－x2
5
＋88x －8 000
＝－1
5
(x －220)2＋1 680(0≤x≤210)．
∵R(x)在[0，210]上是增函数，∴x ＝210时， R(x)有最大值为－1
5
(210－220)2＋1 680＝1 660.
∴年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元． 10.在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计息)．在甲提供的资料中：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如图所示；③每月需各种开支2 000元．
(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；
(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？ 解 设该店月利润余额为L 元， 则由题设得L ＝Q(P －14)×100－3 600－2 000， 由销量图易得Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2P ＋50 （14≤P≤20），－32P ＋40 （20＜P≤26），
代入①式得
L ＝⎩⎪⎨⎪⎧（－2P ＋50）（P －14）×100－5 600 （14≤P≤20），⎝⎛⎭⎫－32P ＋40（P －14）×100－5 600（20＜P≤26）， (1)当14≤P≤20时，Lmax ＝450元，此时P ＝19.5元； 当20＜P≤26时，Lmax ＝
1 2503元，此时P ＝61
3
元． 故当P ＝19.5元时，月利润余额最大，为450元．
(2)设可在n 年后脱贫， 依题意有12n×450－50 000－58 000≥0，解得n≥20. 即最早可望在20年后脱贫． 能力提升题组
(建议用时：25分钟)
11．为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种为加密密钥密码系统(Private Key Cryptosystem)，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)．现在加密密钥为 y ＝kx3，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“1256”，则解密后得到的明文是
( )
A.12
B.14
C ．2
D.18
解析 由题目可知加密密钥y ＝kx3是一个幂函数型，由已知可得，当x ＝4时，y ＝2，即2＝k×43，解得k ＝243＝132.故y ＝132x3，显然令y ＝1256，则1256＝132x3，即x3＝18，解得x ＝1
2.
答案 A
12.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x ，y 应为 ( ) A ．x ＝15，y ＝12 B ．x ＝12，y ＝15 C ．x ＝14，y ＝10 D ．x ＝10，y ＝14 解析 由三角形相似得24－y 24－8＝x 20.得x ＝54(24－y)，
∴S ＝xy ＝－5
4
(y －12)2＋180，
∴当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15. 答案 A 13．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x ∈N ＋)件．当x≤ 20时，年销售总收入为(33x －x2)万元；当x ＞20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元，则y(万元)与x(件)的函数关系式为________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大(年利润＝年销售总收入－年总投资)． 解析 当0＜x≤20时，y ＝(33x －x2)－x －100＝－x2＋32x －100；当x ＞20时，y ＝260－100－x ＝160－x.
故y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧－x2＋32x －100，0＜x≤20，160－x ，x ＞20(x ∈N ＋)．
当0＜x≤20时，y ＝－x2＋32x －100＝－(x －16)2＋156，x ＝16时，ymax ＝156.而当x ＞20时，160－x ＜140，故x ＝16时取得最大年利润．
答案 y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧－x2＋32x －100，0＜x≤20，
160－x ，x ＞20(x ∈N ＋) 16
14．已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t(单位：分钟)的变化规律：θ＝m·2t ＋21－t(t≥0，
并且m ＞0)．
(1)如果m ＝2，求经过多少时间，物体的温度为5摄氏度； (2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m 的取值范围． 解 (1)若m ＝2，则θ＝2·2t ＋21－t ＝2⎝⎛⎭⎫2t ＋12t ， 当θ＝5时，2t ＋12t ＝52，令2t ＝x≥1，则x ＋1x ＝5
2，
即2x2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝1
2(舍去)，
此时t ＝1.所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度． (2)物体的温度总不低于2摄氏度，即θ≥2恒成立． 亦m·2t ＋2
2t ≥2恒成立，亦即m≥2⎝⎛⎭⎫12t －122t 恒成立． 令1
2t ＝x ，则0＜x≤1，∴m ≥2(x －x2)， 由于x －x2≤14，∴m ≥1
2
.
因此，当物体的温度总不低于2摄氏度时，m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，＋∞.。