天津市津南区2021届新高考第一次质量检测数学试题含解析

天津市津南区2021届新高考第一次质量检测数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若函数()ln f x x x h =-++，在区间1,e e
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上任取三个实数a ，b ，c 均存在以()f a ，()
f b ，()
f c 为边长的三角形，则实数h 的取值范围是（ ） A ．11,
1e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
B ．11,3e e ⎛⎫--
⎪⎝⎭
C ．11,e ⎛⎫
-+∞
⎪⎝⎭
D ．()3,e -+∞
【答案】D 【解析】 【分析】
利用导数求得()f x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小，根据三角形两边的和大于第三边列不等式，由此求
得h 的取值范围. 【详解】
()f x 的定义域为()0,∞+，()'11
1x f x x x
-=-+=，
所以()f x 在1,1e ⎛⎫
⎪⎝⎭
上递减，在()1,e 上递增，()f x 在1x =处取得极小值也即是最小值，
()1ln111f h h =-++=+，1111
ln 1f h h e e e e ⎛⎫=-++=++ ⎪⎝⎭
，()ln 1f e e e h e h =-++=-+，
()1f f e e ⎛⎫
< ⎪⎝⎭
， 所以()f x 在区间1,e e
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值为()1f e e h =-+.
要使在区间1,e e
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上任取三个实数a ，b ，c 均存在以()f a ，()
f b ，()f c 为边长的三角形，
则需()()()f a f b f c +>恒成立，且()10f >，
也即()()()max min f a f b f c +>⎡⎤⎣⎦，也即当1a b ==、c e =时，()()21e f f >成立， 即()211h e h +>-+，且()10f >，解得3h e >-.所以h 的取值范围是()3,e -+∞. 故选：D 【点睛】
本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查恒成立问题的求解，属于中档题.
2．函数的图象可能是下列哪一个？（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】 【分析】 由
排除选项;
排除选项；由函数
有无数个零点，排除选项,
从而可得结果. 【详解】 由
，可排除选项，
可排除选项；由
可得
，即函数
有无数个零点，可排除选项,故选A.
【点睛】
本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的
变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.
3．复数z 满足()11z z i -=+ (i 为虚数单位),则z 的值是( ) A ．1i + B ．1i -
C ．i
D ．i -
【答案】C 【解析】 【分析】
直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可． 【详解】
由()11z z i -=+得：()()()
2
11111i i
z i i i i ++==
=-+- 本题正确选项：C 【点睛】
本题考查复数的除法的运算法则的应用，考查计算能力． 4．复数
12i
i
--的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：由题意可得：
131
255i i i -=--. 共轭复数为3155
i +，故选A. 考点：1.复数的除法运算;2.以及复平面上的点与复数的关系 5．设x ∈R ，则“327x <”是“||3x <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】 【分析】
先解不等式化简两个条件，利用集合法判断充分必要条件即可 【详解】
解不等式327x <可得3x <，
解绝对值不等式||3x <可得33x -<<， 由于{|33}-<<x x 为{|3}x x <的子集，
据此可知“327x <”是“||3x <”的必要不充分条件． 故选：B 【点睛】
本题考查了必要不充分条件的判定，考查了学生数学运算，逻辑推理能力，属于基础题.
6．已知cos(2019)3
πα+=-
，则sin(2)2
πα-=（ ）
A ．
79
B ．
59
C ．59
-
D ．79
-
【答案】C 【解析】 【分析】
利用诱导公式得cos(2019)cos παα+=-，sin(2)cos 22
π
αα-=，再利用倍角公式，即可得答案.
【详解】
由2cos(2019)3πα+=-
可得2cos()3
πα+=-，∴2cos 3α=，
∴225
sin(
2)cos22cos 121299
π
ααα-==-=⨯-=-. 故选：C. 【点睛】
本题考查诱导公式、倍角公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意三角函数的符号.
7．如图，在ABC V 中，,(,),2AD AB BD xAB yAC x y R AD ⊥=+∈=u u u v u u u v u u u v u u u v ，且12AC AD ⋅=u u u v u u u v ，则2x y +=
（ ）
A ．1
B ．2
3
-
C ．13
-
D ．34
-
【答案】C 【解析】 【分析】
由题可0,12AD AB AC AD ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ,所以将已知式子中的向量用AD AB AC u u u r u u u r u u u r
，，表示，可得到的,x y 关系，再由,,B D C 三点共线，又得到一个关于,x y 的关系，从而可求得答案 【详解】
由BD xAB yAC =+u u u v u u u v r r u u u v ，则
(1),[(](1)AD x AB y AC AD AD AD x AB y AC x AD AB y AD AC =++⋅=⋅++=+⋅+⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
，即412y =，
所以13y =，又,,B D C 共线，则1111,,233
x y x x y ++==-+=-. 故选：C 【点睛】
此题考查的是平面向量基本定理的有关知识，结合图形寻找各向量间的关系，属于中档题.
8．对于定义在R 上的函数()y f x =，若下列说法中有且仅有一个是错误的，则错误．．的一个是（ ） A ．()f x 在(],0-∞上是减函数 B ．()f x 在()0,∞+上是增函数
C ．()f x 不是函数的最小值
D ．对于x ∈R ，都有()()11f x f x +=-
【答案】B 【解析】 【分析】
根据函数对称性和单调性的关系，进行判断即可． 【详解】
由(1)(1)f x f x +=-得()f x 关于1x =对称，
若关于1x =对称，则函数()f x 在(0,)+∞上不可能是单调的， 故错误的可能是B 或者是D ， 若D 错误，
则()f x 在(-∞，0]上是减函数，在()f x 在(0,)+∞上是增函数，则(0)f 为函数的最小值，与C 矛盾，此时C 也错误，不满足条件． 故错误的是B ， 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查函数性质的综合应用，结合对称性和单调性的关系是解决本题的关键．
9．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”意思为有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了六天恰好到达目的地，请问第二天比第四天多走了（ ） A ．96里 B ．72里
C ．48里
D ．24里
【答案】B 【解析】 【分析】
人每天走的路程构成公比为1
2
的等比数列，设此人第一天走的路程为1a ，计算1192a =，代入得到答案. 【详解】
由题意可知此人每天走的路程构成公比为
1
2
的等比数列，设此人第一天走的路程为1a ，
则611123781
12
a ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢
⎥⎣⎦=-，解得1192a =，从而可得3
241119296,1922422a a ⎛⎫=⨯==⨯= ⎪⎝⎭，故24962472a a -=-=.
故选：B . 【点睛】
本题考查了等比数列的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.
10．已知函数()()2,2
11,2
2x a x x f x x ⎧-≥⎪
=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭
⎩，满足对任意的实数12x x ≠，都有
()()12120f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()1,+∞ B ．13,
8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦
C ．13,
8⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭
D ．13,8⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意可知函数()y f x =为R 上为减函数，可知函数()2y a x =-为减函数，且()2
12212a ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭
，
由此可解得实数a 的取值范围. 【详解】
由题意知函数()y f x =是R 上的减函数，于是有()2
2012212a a -<⎧⎪⎨⎛⎫
-≤- ⎪⎪⎝⎭⎩
，解得138a ≤， 因此，实数a 的取值范围是13,8⎛
⎤-∞ ⎥⎝⎦
． 故选：B. 【点睛】
本题考查利用分段函数的单调性求参数，一般要分析每支函数的单调性，同时还要考虑分段点处函数值的大小关系，考查运算求解能力，属于中等题.
11．设全集U =R ，集合{}02A x x =<≤，{}
1B x x =<，则集合A B =U （ ） A ．()2,+∞ B ．[)2,+∞
C ．(],2-∞
D ．(],1-∞
【答案】C 【解析】
∵集合{}
02A x x =<≤，{}
1B x x =<， ∴A B ⋃= (]
,2-∞
点睛：本题是道易错题，看清所问问题求并集而不是交集.
12．设3log 0.5a =，0.2log 0.3b =，0.32c =，则,,a b c 的大小关系是( ) A ．a b c << B ．a c b <<
C ．c a b <<
D ．c b a <<
【答案】A 【解析】 【分析】
选取中间值0和1，利用对数函数3log y x =，0.2log y x =和指数函数2x
y =的单调性即可求解.
【详解】
因为对数函数3log y x =在()0,∞+上单调递增, 所以33log 0.5log 10<=,
因为对数函数0.2log y x =在()0,∞+上单调递减, 所以0.20.20.20log 1log 0.3log 0.21=<<=， 因为指数函数2x
y =在R 上单调递增, 所以0.30221>=, 综上可知,a b c <<. 故选:A 【点睛】
本题考查利用对数函数和指数函数的单调性比较大小;考查逻辑思维能力和知识的综合运用能力;选取合适的中间值是求解本题的关键;属于中档题、常考题型. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知一个正四棱锥的侧棱与底面所成的角为60︒，侧面积为，则该棱锥的体积为__________．
【解析】 【分析】
如图所示，正四棱锥P ABCD -，O 为底面的中心，点M 为AB 的中点，则60PAO ∠=o ，设AB a =，根据正四棱锥的侧面积求出a 的值，再利用勾股定理求得正四棱锥的高，代入体积公式，即可得到答案. 【详解】
如图所示，正四棱锥P ABCD -，O 为底面的中心，点M 为AB 的中点，
则60PAO ∠=o ，设AB a =，
∴2
2
OA a =
，∴2PA
a =，∴2272PM PA AM a =-=， ∴174()47222
a a a ⨯⋅⋅=⇒=，
∴22
76442
a a PO a =-=， ∴21463V a PO =⨯⨯=. 故答案为：
46
.
【点睛】
本题考查棱锥的侧面积和体积，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.
14．双曲线22
:143
x y C -
=的左右顶点为,A B ，以AB 为直径作圆O ，P 为双曲线右支上不同于顶点B 的任一点，连接PA 交圆O 于点Q ，设直线,PB QB 的斜率分别为12,k k ，若12k k λ=，则λ=_____. 【答案】34
- 【解析】 【分析】
根据双曲线上的点的坐标关系得20002000324
24PA PB
y y y x x k k x =⋅=+--=，PA 交圆O 于点Q ，所以PA QB ⊥，建立等式1PA QB k k ⋅=-，两式作商即可得解.
【详解】
设()()()00,,2,02,0P x y A B -
2200143x y -=，()22
2000331444
x y x ⎛⎫=-=-
⎪⎝⎭ 200020003
24
24PA PB
y y y x x k k x =⋅=+--= PA 交圆O 于点Q ，所以PA QB ⊥
易知:33441PA PB
PB QB
PA QB k k k k k k λ⎧
=⎪⇒==-⎨
⎪⋅=-⎩ 即1234
k k λ==-. 故答案为：3
4
- 【点睛】
此题考查根据双曲线上的点的坐标关系求解斜率关系，涉及双曲线中的部分定值结论，若能熟记常见二级结论，此题可以简化计算.
15．已知非零向量a r ，b r 满足2b a =v v
，且()b a a -⊥r r r ，则a r 与b r 的夹角为____________.
【答案】
3
π
（或写成60︒） 【解析】 【分析】
设a r 与b r
的夹角为θ，通过()b a a -⊥r r r ，可得()
=0b a a -⋅r r r ，化简整理可求出cos θ，从而得到答案.
【详解】
设a r 与b r
的夹角为θ
Q ()
b a a -⊥r r r
可得()
=0b a a -⋅r r r
，
∴()
2
=0a b a
⋅-r r r
故2cos =0a b a θ⋅⋅-r r r ，将2b a =v v
代入可得
得到1cos 2
θ=
， 于是a r 与b r 的夹角为3
π.
故答案为：3
π. 【点睛】
本题主要考查向量的数量积运算，向量垂直转化为数量积为0是解决本题的关键，意在考查学生的转化能力，分析能力及计算能力.
16．农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为____；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为____．
【答案】
2
6
86π
【解析】
【分析】
(1)先算出正四面体的体积，六面体的体积是正四面体体积的2倍，即可得出该六面体的体积；(2)由图形的对称性得,小球的体积要达到最大,即球与六个面都相切时，求出球的半径，再代入球的体积公式可得答案.
【详解】
(1)每个三角形面积是
133
1
224
S
⎛
=⨯⨯=
⎝⎭
，由对称性可知该六面是由两个正四面合成的，
2
36
1
3
⎛⎫
-=
⎪
⎪
⎝⎭
，故四面体体积为
1362
34312
⨯=，
因此该六面体体积是正四面体的2倍，所以六面体体积是
2
6
；
(2)由图形的对称性得，小球的体积要达到最大，即球与六个面都相切时，由于图像的对称性，内部的小球要是体积最大，就是球要和六个面相切，
连接球心和五个顶点，把六面体分成了六个三棱锥设球的半径为R，
所以
2136
6
6349
R R
⎛⎫
=⨯⨯⨯⇒=
⎪
⎪
⎝⎭
，所以球的体积
3
3
44686
33
V R
ππ
===
⎝⎭
.
故答案为：
2
6
86π
【点睛】
本题考查由平面图形折成空间几何体、考查空间几何体的的表面积、体积计算，考查逻辑推理能力和空间
想象能力求解球的体积关键是判断在什么情况下，其体积达到最大，考查运算求解能力. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．11月，2019全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地-安徽凤阳举办，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲乙两人在同一位置，甲先投，每人投一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得-1分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次投球命中的概率为
12
，乙每次投球命中的概率为2
3，且各次投球互不影响.
（1）经过1轮投球，记甲的得分为X ，求X 的分布列；
（2）若经过n 轮投球，用i p 表示经过第i 轮投球，累计得分，甲的得分高于乙的得分的概率. ①求,,p p p 123；
②规定00p =，经过计算机计算可估计得11(1)i i i i p ap bp cp b +-=++≠，请根据①中,,p p p 123的值分别写出a ，c 关于b 的表达式，并由此求出数列{}n p 的通项公式. 【答案】（1）分布列见解析；（2）①1231743,,636216p p p ===；
②1161
77i i i p p p +-=+，11156n n p ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
. 【解析】 【分析】
（1）经过1轮投球，甲的得分X 的取值为1,0,1-，记一轮投球，甲投中为事件A ，乙投中为事件B ，,A B 相互独立，计算概率后可得分布列；
（2）由（1）得1p ，由两轮的得分可计算出2p ，计算3p 时可先计算出经过2轮后甲的得分Y 的分布列（Y 的取值为2,1,0,1,2--），然后结合X 的分布列和Y 的分布可计算3p ，
由00p =，代入11(1)i i i i p ap bp cp b +-=++≠，得两个方程，解得,a c ，从而得到数列{}n p 的递推式，变形后得1{}n n p p --是等比数列，由等比数列通项公式得1n n p p --，然后用累加法可求得n p ． 【详解】
（1）记一轮投球，甲命中为事件A ，乙命中为事件B ，,A B 相互独立，由题意1()2P A =，2()3
P B =，甲的得分X 的取值为1,0,1-，
(1)()P X P AB =-=1
21()()(1)233
P A P B ==-⨯
=， (0)()()()()()()P X P AB P AB P A P B P A P B ==+=+12121(1)(1)23232
=
⨯+-⨯-=，
121
(1)()()()(1)236
P X P AB P A P B ====⨯-=，
∴X 的分布列为：
（2）由（1）116
p =
， 2(0)(1)(1)((0)(1))p P X P X P X P X P X ==⋅=+==+=111117
()2662636
=⨯+⨯+=，
同理，经过2轮投球，甲的得分Y 取值2,1,0,1,2--： 记(1)P X x =-=，(0)P X y ==，(1)P X z ==，则
2(2)P Y x =-=，(1)P Y xy yx =-=+，2(0)P Y xz zx y ==++，(1)P Y yz zy ==+，2(2)P Y z ==
由此得甲的得分Y 的分布列为：
∴3111111131143()()3362636636636216
p =
⨯+⨯++⨯++=， ∵11(1)i i i i p ap bp cp b +-=++≠，00p =，
∴1212321p ap bp p ap bp cp =+⎧⎨=++⎩，71136664371721636636a b a b c ⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，∴6(1)7
17b a b
c -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩
， 代入11(1)i i i i p ap bp cp b +-=++≠得：1161
77
i i i p p p +-=+， ∴111
()6
i i i i p p p p +--=
-， ∴数列1{}n n p p --是等比数列，公比为1
6q =
，首项为1016
p p -=， ∴11
()6
n
n n p p --=．
∴11210()()()n n n n n p p p p p p p ---=-+-++-L 1
11111()()(1)66656
n n n -=+++
=-L ． 【点睛】
本题考查随机变量的概率分布列，考查相互独立事件同时发生的概率，考查由数列的递推式求通项公式，考查学生的转化与化归思想，本题难点在于求概率分布列，特别是经过2轮投球后甲的得分的概率分布列，这里可用列举法写出各种可能，然后由独立事件的概率公式计算出概率．
18．（江苏省徐州市高三第一次质量检测数学试题）在平面直角坐标系xOy 中，已知平行于x 轴的动直线l 交抛物线C ： 24y x =于点P ，点F 为C 的焦点.圆心不在y 轴上的圆M 与直线l ， PF ， x 轴都相切，设M 的轨迹为曲线E . （1）求曲线E 的方程；
（2）若直线1l 与曲线E 相切于点(),Q s t ，过Q 且垂直于1l 的直线为2l ，直线1l ， 2l 分别与y 轴相交于点
A ，
B .当线段AB 的长度最小时，求s 的值.
【答案】 (1) 2=1y x - ()0y ≠．(2)见解析. 【解析】
试题分析：（1）设(),M m n 根据题意得到
n =，化简得到轨迹方程；（2）设
()
21,Q t t +， ()10,A y ，()20,B y ，33151
232(0)2222t AB t t t t t t t
=+-+=++>，构造函数研究函数的单调性，得到函数的最值. 解析：
（1）因为抛物线C 的方程为2
4y x =，所以F 的坐标为()1,0，
设(),M m n ，因为圆M 与x 轴、直线l 都相切，l 平行于x 轴， 所以圆M 的半径为n ，点P (
)
2
,2n n ，则直线PF 的方程为
2121
y x n n -=-，即()()
2
2110n x y n ---=，
n =，又,0m n ≠，所以22211m n n --=+，即210n m -+=，
所以E 的方程为2
=1y x - ()0y ≠．
（2）设()
2
1,Q t t +， ()10,A y ，()20,B y ，
由（1）知，点Q 处的切线1l 的斜率存在，由对称性不妨设0t >，
由21y x '=
-，所以1221211
AQ t y k t t -==++-，2222111BQ t y k t t -==-+-+， 所以11
22t y t
=
-，3223y t t =+， 所以3
3151232(0)2222t AB t t t t t t t
=+-
+=++>． 令()3
51222f t t t t =++，0t >，则()422
22
5112516222t t f t t t t
'+-=+-=， 由()0f t '>得57324t -+>
，由()0f t '<得573024
t -+<<
，
所以()f t 在区间573
0,
24⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝
⎭单调递减，在573,24⎛⎫-+ ⎪+∞ ⎪⎝⎭
单调递增， 所以当57324
t -+=
时，()
f t 取得极小值也是最小值，
即AB 取得最小值， 此时21973124s t +=+=． 点睛：求轨迹方程，一般是问谁设谁的坐标然后根据题目等式直接求解即可，而对于直线与曲线的综合问题要先分析题意转化为等式，例如0NA NB ⋅=u u u r u u u r
，可以转化为向量坐标进行运算也可以转化为斜率来理解，然后借助韦达定理求解即可运算此类题计算一定要仔细.
19．2018年9月，台风“山竹”在我国多个省市登陆，造成直接经济损失达52亿元.某青年志愿者组织调查了某地区的50个农户在该次台风中造成的直接经济损失，将收集的数据分成五组：[0,2000]，
(2000,4000]，(4000,6000]，(6000,8000]，(8000,10000]（单位：元），得到如图所示的频率分布直
方图.
（1）试根据频率分布直方图估计该地区每个农户的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）台风后该青年志愿者与当地政府向社会发出倡议，为该地区的农户捐款帮扶，现从这50户并且损失超过4000元的农户中随机抽取2户进行重点帮扶，设抽出损失超过8000元的农户数为X ，求X 的分布列和数学期望.
【答案】（1）3360元；（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）根据频率分布直方图计算每个农户的平均损失；
（2）根据频率分布直方图计算随机变量X 的可能取值，再求X 的分布列和数学期望值． 【详解】
（1）记每个农户的平均损失为元，则
10000.330000.4x =⨯+⨯+ 50000.1870000.0690000.063360⨯+⨯+⨯=；
（2）由频率分布直方图，可得损失超过1000元的农户共有（0.00009+0.00003+0.00003）×2000×50＝15（户），损失超过8000元的农户共有0.00003×2000×50＝3（户）， 随机抽取2户，则X 的可能取值为0，1，2； 计算P （X ＝0）＝
＝
，
P （X ＝1）＝＝，
P （X ＝2）＝＝，
所以X 的分布列为； X 0 1 2 P
数学期望为E （X ）＝0×+1×
+2×
＝．
【点睛】
本题考查了频率分布直方图与离散型随机变量的分布列与数学期望计算问题，属于中档题． 20．已知数列}{n a 和}{n b ，}{n a 前n 项和为n S ，且2n S n n =+，}{
n b 是各项均为正数的等比数列，且
3125b =
，12331
+25
b b b +=． （1）求数列}{
n a 和}{
n b 的通项公式； （2）求数列{}4n n a b -的前n 项和n T ．
【答案】（1）2n a n =，1
15n n b -⎛⎫= ⎪
⎝⎭
；（2）()11515n n
T n n ⎛
⎫=+--
⎪⎝
⎭
. 【解析】 【分析】
（1）令1n =求出1a 的值，然后由2n ≥，得出1n n n a S S -=-，然后检验1a 是否符合n a 在2n ≥时的表达式，即可得出数列{}n a 的通项公式，并设数列{}n b 的公比为q ，根据题意列出1b 和q 的方程组，解出这
两个量，然后利用等比数列的通项公式可求出n b ；
（2）求出数列{}n b 的前n 项和n B ，然后利用分组求和法可求出n T . 【详解】
（1）当1n =时，112a S ==，
当2n ≥时，()
()()2
2
1112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=⎣⎦
.
12a =也适合上式，所以，()2n a n n N *=∈.
设数列{}n b 的公比为q ，则0q >，由()
2
3121231125
31125b b q b b b b q q ⎧==⎪⎪⎨⎪++=++=
⎪⎩
，
两式相除得2
3010q q --=，0q >Q ，解得15q =
，11b =，1
1115
n n n b b q --∴==； （2）设数列{}n b 的前n 项和为n B ，则()
11115151114515
n n n n b q B q --⎛⎫===- ⎪-⎝⎭-， ()()51
1414115145
5n n n n
n T S B n n n n ⎛⎫⎛
⎫∴=-=+-⨯-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 【点睛】
本题考查利用n S 求n a ，同时也考查了等比数列通项的计算，以及分组求和法的应用，考查计算能力，属于中等题.
21．已知等差数列{}n a 的公差2d =，且1a ，2a ，4a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设12n
a n
b ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，求数列{}n n a b +的前n 项和n S ．
【答案】（1）2n a n =；（2）2
11
343
n n S n n =+-
+⨯. 【解析】 【分析】
（1）根据等比中项性质可构造方程求得1a ，由等差数列通项公式可求得结果；
（2）由（1）可得n b ，可知{}n b 为等比数列，利用分组求和法，结合等差和等比数列求和公式可求得结果. 【详解】
（1）124,,a a a Q 成等比数列，2
2
14a a a ∴=，即()()2
1113a d a a d +=+，
()()2
11126a a a ∴+=+，解得：12a =，
()2212n a n n ∴=+-=.
（2）由（1）得：2111224n a n n
n b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，114n n b b +∴=，114b =，
∴数列{}n b 是首项为
14，公比为1
4
的等比数列， ()()123123n n n S a a a a b b b b ∴=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+()232211112
4444n
n n ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
++++⋅⋅⋅+⎢⎥
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
211
343
n
n n =+-
+⨯． 【点睛】
本题考查等差数列通项公式的求解、分组求和法求解数列的前n 项和的问题；关键是能够根据通项公式证得数列{}n b 为等比数列，进而采用分组求和法，结合等差和等比数列求和公式求得结果.
22．已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>与x 轴负半轴交于()2,0A -，离心率12e =.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设直线:l y kx m =+与椭圆C 交于()()1122,,,M x y N x y 两点，连接AM,AN 并延长交直线x=4于
()()3344,,,E x y F x y 两点，若
1234
1111
y y y y +=+，直线MN 是否恒过定点，如果是，请求出定点坐标，如果不是，请说明理由.
【答案】（1）22
143
x y +=（2）直线MN 恒过定点()1,0,详见解析
【解析】 【分析】
（1）依题意由椭圆的简单性质可求出,a b ，即得椭圆C 的方程；
（2）设直线AM 的方程为：12x t y =-，联立直线AM 的方程与椭圆方程可求得点M 的坐标，同理可求出点N 的坐标，根据,M N 的坐标可求出直线MN 的方程，将其化简成点斜式，即可求出定点坐标． 【详解】
（1）由题有2a =，12c e a ==.∴1c =，∴222
3b a c =-=.∴椭圆方程为22143
x y +=.
（2）设直线AM 的方程为：12x t y =-，则()1222
1123412014
3x t y t y t y x y =-⎧⎪
⇒+-=⎨+=⎪⎩ ∴0y =或1211234t y t =+，∴211111122111268223434t t x t y t t t -=-=-=++，同理2
222268
34
t x t -=+，222
21234t y t =+ 当3
4x =时，由3132x t y =-有316y t =
.∴164,E t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，同理264,F t ⎛⎫
⎪⎝⎭
，又1234
1111y y y y +
=+ ∴22
1212
123434121266t t t t t t +++=+，()()1212121234126
t t t t t t t t +++⇒= 当120t t +≠时，124t t =-∴直线MN 的方程为()12
1112
y y y y x x x x --=
--
12
22
2112122
22121122
12121212343468686834343434
t t t t t t y x t t t t t t -⎛⎫++-⇒-=- ⎪--++⎝⎭-++211221121126843434t t y x t t t t ⎛
⎫-⇒-=- ⎪+++⎝⎭
211
221212116812443434t t y x t t t t t t -⇒=-⋅+++++()
()
()()2121212
11243444134t x x t t t t t t t +=-=-++++
∴直线MN 恒过定点()1,0，当120t t +=时，此时也过定点()1,0.. 综上:直线MN 恒过定点()1,0. 【点睛】
本题主要考查利用椭圆的简单性质求椭圆的标准方程，以及直线与椭圆的位置关系应用，定点问题的求法等，意在考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力，属于难题．
23．在直角坐标系中，已知曲线C
的参数方程为11x y ϕϕ
⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（ϕ为参数），以原点为极点，x 轴的
非负半轴为极轴建立极坐标系，射线1l 的极坐标方程为6
6θααπ
π⎛⎫=-
≤≤ ⎪⎝⎭，射线2l 的极坐标方程为
2
π
θα=+
.
（Ⅰ）写出曲线C 的极坐标方程，并指出是何种曲线；
（Ⅱ）若射线1l 与曲线C 交于O A 、两点，射线2l 与曲线C 交于O B 、两点，求ABO ∆面积的取值范围. 【答案】（Ⅰ）2cos 2sin r q q =+，曲线C 是以()1,1
为半径的圆；（Ⅱ）[]1,2. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）由曲线C 的参数方程能求出曲线C 的普通方程，由此能求出曲线C 的极坐标方程．
（Ⅱ）令12cos 2sin OA ραα==+，22cos 2sin 22OB ρααππ⎛⎫⎛⎫==+
++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则1212S ρρ∆OAB =，利用诱导公式及二倍角公式化简，再由余弦函数的性质求出面积的取值范围； 【详解】
解：
（Ⅰ）由11x y ϕϕ
⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（ϕ为参数）化为普通方程为()()22
112x y -+-=
()()22
cos 1sin 12ρθρθ-+-=，整理得2cos 2sin r q q =+
曲线C 是以()1,1
为半径的圆. （Ⅱ）令12cos 2sin OA ραα==+
22cos 2sin 2sin 2cos 22
OB ρααααππ⎛⎫
⎛⎫
==+++=-+ ⎪ ⎪⎝
⎭
⎝
⎭
()22121
2cos sin 2cos 22
S ρρααα∆OAB =
=-= 66
αππ-
≤≤Q ，233αππ∴-≤≤，1
cos 212α∴≤≤，12cos22α∴≤≤，
ABO ∆面积的取值范围为[]1,2
【点睛】
本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查三角形的面积的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．。