2020学年高二数学10月月考试题 文

2019学年高二数学10月月考试题 文
考试时间：120分钟 试卷总分：150分 本试卷分第I 卷和第II 卷两部分 第I 卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求，每小题选出答案后，请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．．．．．．．。

1．已知数列135731121,...n -，，，，，，...,，则7是这个数列的 （ ） A. 第4项 B. 第12项 C. 第17项 D. 第25项
2． 等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
3．在ABC ∆中，若6,2,60a b B ︒
===，则此三角形 （ )
A.无解
B.有一解
C.有两解
D.解的个数无法确定 4. 等比数列{}n a 中，若12341,16a a a a +=+=，则公比q 等于 ( ) A ．2
B ．22-或
C ．4
D ．44-或
5. 设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为 （ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形
D.不确定
6. 在等差数列{}n a 中，若351024a a a ++=，则此数列的前13项的和等于 ( ) A. 8
B ．10
C ．12
D ．13
7. 等比数列{}n a 中，2a 和5a 是方程2
1220x x ++=的两个根，则123456=a a a a a a ( ) A ．2 B ． 22 C ．8 D.82 8．已知函数()()sin (0,)2f x x ωϕωϕπ=+><
的最小正周期为6π，
且其图象向右平移23
π
个单位后得到函数()sin g x x ω=的图象，则ϕ等于 （ ） A ．
49π B ．29π C ．6π D ．3
π
9. 已知数列{}n a 是等差数列，若911101130,0,a a a a +><g 且数列{}n a 的前n 项和n s 有最大值，则0n s >时的最大自然数n 等于 （ ） A ．19 B ．20 C ．21 D ．22
10．已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，15＋25＋35＋45，…，令b n =1
a n a n ＋1
，则数列{b n
的前100项的和为 （ ）
A ．
400101 B ．198101 C ．100202 D ．99202
11．设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ， 且sin sin (sin cos )0B A C C +-=，
2,2a c ==，则ABC ∆的面积为 （ ）
A ．
31
2
- B ．
31
2
+ C ．31- D ．31+
12．设等差数列{}n a 满足：
222222444848
39sin cos cos cos sin sin 1sin()
a a a a a a a a -+-=+，公差 (1,0)d ∈-．若当且仅当8n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则首项1a 的取值范围
是 （ ）
A ．9,
8π⎛⎫π ⎪⎝⎭
B ．9,
8π⎡⎤
π⎢⎥⎣⎦
C ．74,63ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣
⎦
D ．7,8π⎛⎫
π
⎪⎝⎭
第II 卷（非选择题，共90分）
二、填空题 ：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的横线上．．．．．．．．．．．．．。

13. 设ABC ∆的内角 A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，4,a =2,b =1
cos 4
C =. 则ABC ∆的周长为 ；
14. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 3，S 2成等差数列，则{a n }的公比q 的值为 ； 15．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是函数f(x)＝x 2
－b n x ＋2n
的两个零点， 则b 10等于 ；
16．已知a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，且a 2
－a －2b －2c ＝0，
a ＋2
b －2
c ＋3＝0，则△ABC 中最大角的正切值为 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

请在答题卡各自题目的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．。

17．（本小题满分10分）
已知等比数列{}n a 中，142,16a a ==。

（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设等差数列{}n b 中，2295,b a b a ==，求数列{}n b 的前n 项和n S .
18．（本小题满分12分）
在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三内角A ，B ，C 所对的三边，已知b 2
＋c 2
＝a 2
＋bc. （1）求角A 的大小； （2）若2
22sin 2sin 122
B C
+=，试判断△ABC 的形状．
19．（本小题满分12分）
在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c. 已知2
cos 3
A =，sin
B ＝5cosC. （1）求tan
C 的值；
（2）若a ＝2，求△ABC 的面积．
20．（本小题满分12分）
设数列{}n a 的前n 项和为2
2n S n =， 数列
{}n b 的通项公式124
n
n b
-=
. （1）求数列
{}n a 的通项公式；
（2）设n
n n
a c
b =，求数列{}n
c 的前n 项和n T .
21．（本小题满分12分） 已知2()3sin cos cos f x x x x =
⋅+.
（Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；
（Ⅱ）在锐角△ABC 的三个角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()1f C =，求222a b c ab
++的
取值范围.
22．（本题满分12分）
已知数列{}n a 与{}n b 满足()112n n n n a a b b ++-=-，n *∈N . （1）若35n b n =+，且11a =，求数列{}n a 的通项公式；
（2）设{}n a 的第0n 项是最大项，即0n n a a >（n *∈N ），问数列{}n b 的第0n 项是否为数列{}n b 的最大项？请说明理由；
（3）设10a λ=<，n n b λ=（n *∈N ），求λ的取值范围，使得{}n a 有最大值M 与最小值m ，且()2,2m
M
∈-.
高二年上学期10月月考数学(文)科试卷（2018.10.21）
参考答案
一、选择题：（每题5分，满分60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
D
B
A
D
B
D
C
B
B
A
A
D
二、填空题：（每题5分，满分20分） 13．10； 14．1
2
-
； 15．64; 16．3-. 15． 依题意有a n a n ＋1＝2n
，所以a n ＋1a n ＋2＝2n ＋1
，两式相除，得
a n ＋2
a n
＝2， 所以a 1，a 3，a 5，…成等比数列，a 2，a 4，a 6，…成等比数列。

而a 1＝1，a 2＝2， 所以a 10＝2·24
＝32，a 11＝1·25
＝32。

又因为a n ＋a n ＋1＝b n ， 所以b 10＝a 10＋a 11＝64。

16． 由a 2
－a －2b －2c ＝0，a ＋2b －2c ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧
c ＝a 2＋3
4，
b ＝a 2
－2a －3
4
，
因为b >0，所以
a 2－2a －3
4>0，所以a >3或a <－1(舍去)． c －a ＝
a 2＋3
4
－a ＝
a 2－4a ＋34
＝
a －3
a －1
4
，
因为a >3，所以(a －3)(a －1)>0，所以c >a .
c －b ＝
a 2＋34－
a 2－2a －34
＝
2a ＋6
4
>0，
所以c >b .所以c 是△ABC 的最大边，即C 是△ABC 的最大角．
cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab
＝
a 2
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－2a －342－⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2
＋342
2a ·
a 2
－2a －3
4
＝－1
2
.
所以tan C =3-
三、解答题：本大题共6小题，共70分 17．（本小题满分10分）
（1）设等比数列{}n a 的公比为q
由已知，得3
162q =，解得2q =…………………………………（2分）
111222n n n
n a a q --∴==⋅=…………………………………………（4分）
（2）由（1）得25294,32,4,32a a b b ==∴==……………………（6分） 设等差数列{}n b 的公差为d ，则
114832
b d b d +=⎧⎨+=⎩ ，解得10
4b d =⎧⎨
=⎩ ………………………………………（8分） ()
211222
n n n S b n d n n -∴=+=-…………………………………（10分）
18. （本小题满分12分）
解：(1)∵b 2
＋c 2
＝a 2
＋bc ，∴c os A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝1
2
，……………………（3分）
∵0<A <π ∴得A ＝π
3. ……………………（5分）
(2)∵2sin 2
B
2＋2sin 2
C
2＝1，则1－cos B ＋1－cos C ＝1. ∴cos B ＋cos C ＝1，………（7分）
即cos B ＋cos(2π3－B )＝1，得到sin(B ＋π
6
)＝1. …………………（9分）
∵0<B <2π3，∴π6<B ＋π6<5π
6
.
∴B ＋π6＝π2，∴B ＝π
3. ……………………（11分）
∴△ABC 为等边三角形． ……………………（12分） 19. （本小题满分12分）
解：(1)∵0<A <π，cos A ＝23，∴sin A ＝1－cos 2
A ＝53.……………………（2分）
又5cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝
53cos C ＋2
3
sin C ，…………（4分） ∴tan C ＝ 5. ……………………（5分） (2)由tan C ＝5，得sin C ＝
56，cos C ＝
16
.
于是sin B ＝5cos C ＝
5
6
. ……………………（7分）
由a ＝2及正弦定理a sin A ＝c
sin C ，得c ＝3， ……………………（10分）
设△ABC 的面积为S ，则S ＝12ac sin B ＝5
2. ……………………（12分）
20.（本小题满分12分）
解：（1）∵当1n =时，112a S ==；
当2n ≥时，22
122(1)42n n n a S S n n n -=-=--=-，
故{}n a 的通项公式为42n a n =-．……………………（5分） （2）11
42(21)424n n n n
n a n c n b ---=
==-∵， 12n n T c c c =+++L ∴，
12113454(21)4n n T n -=+⨯+⨯++-L ∴2141434(23)4(21)4n n n T n n -=
⨯+⨯++-+-L ．
两式相减得
12311
312(4444)(21)4(65)453
n n n n T n n -⎡⎤-=+++++--=--+⎣⎦L ， 1(65)459n
n T n ⎡⎤=-+⎣
⎦∴（或写成5(65)499n n n T -=+）……………………（12分） 21.（本小题满分12分）
解：（I ）2()3sin cos cos f x x x x =⋅+，∴ 1
()sin(2)6
2
f x x π
=+
+
…………（3分） Q 2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-
≤+
≤+
∴3
6
k x k π
π
ππ-
≤≤+
∴函数()f x 的单调递增区间,,3
6Z k k k π
πππ⎡⎤
-
+
∈⎢⎥⎣
⎦
……………………（5分）
（II ）Q ()1
f C =
∴1sin(2)6
2C π
+
=
.
∴2266C k π
π
π+
=+
或52266C k π
π
π+
=+
, k ∈Z . ∴3
C π=, ………………（6分） 由余弦定理得：222
c a b ab =+- ,
∴222222()12()1a b c a b b a
ab ab a b
+++=-=+- .………………（8分）
Q △ABC 为锐角三角形 ∴02
2032A A πππ
⎧
<<⎪⎪⎨
⎪<-<⎪⎩∴62,A ππ<< ……………（9分）
tan A ∴
2
sin()
sin 113,2sin sin 22A b B a A A π-⎛⎫=
==+∈ ⎪⎝⎭
, Q 函数1y x x =+
在区间1,12⎛⎤
⎥⎝⎦
上递减，在区间[)1,2上递增 ， 522b a a b ∴≤
+< ∴[)2222()13,4a b c b a ab a b
++=+-∈. …………………（12分）
22.（本题满分12分）
解：（1）由13n n b b +-=，得16n n a a +-=， 所以{}n a 是首项为1，公差为6的等差数列，
故{}n a 的通项公式为65n a n =-，n *∈N . ……………………（3分） （2）由()112n n n n a a b b ++-=-，得1122n n n n a b a b ++-=-.
所以{}2n n a b -为常数列，1122n n a b a b -=-，即1122n n a b a b =+-.……（5分） 因为0n n a a ≥，n *∈N ，所以011112222n n b a b b a b +-≥+-，即0n n b b ≥. 故{}n b 的第0n 项是最大项. …………………（6分） （3）因为n n b λ=，所以()
112n n n n a a λλ++-=-，
当2n ≥时，()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+⋅⋅⋅+-+ ()()()
1122222n n n n λλλλλλλ---=-+-+⋅⋅⋅+-+ 2n λλ=-. 当1n =时，1a λ=，符合上式.
所以2n n a λλ=-. …………………（9分） 因为0λ<，所以222n
n a λ
λλ=->-，21
212n n a λ
λλ--=--<-.
①当1λ<-时，由指数函数的单调性知，{}n a 不存在最大、最小值；
②当1λ=-时，{}n a 的最大值为3，最小值为1-，而()3
2,21
∉--； ③当10λ-<<时，由指数函数的单调性知，
{}n a 的最大值222a λλM ==-，最小值1m a λ==， 由2222λλ
λ
--<
<及10λ-<<，得1
02
λ-<<.
综上，λ的取值范围是1,02⎛⎫
-
⎪⎝⎭
. …………………（12分）。